Demonstration für unabhängige Ereignisse, Beispiele, Übungen

Zwei Ereignisse sind unabhängig, Wenn die Wahrscheinlichkeit, dass einer von ihnen geschieht.

Dieser Umstand wird immer angegeben, dass sich der Prozess, der durch das Ergebnis von Ereignis 1 erzeugt wird. Wenn dies jedoch nicht der Fall ist, wird gesagt, dass die Ereignisse abhängig sind.

Abbildung 1. Farbige Murmeln werden häufig verwendet, um die Wahrscheinlichkeit unabhängiger Ereignisse zu erklären. Quelle: Pixabay.

Eine Situation unabhängiger Ereignisse ist wie folgt: Angenommen, zwei Würfel von sechs Seiten werden geworfen, ein Blau und das andere rosa. Die Wahrscheinlichkeit einer 1 im blauen Würfel ist unabhängig von der Wahrscheinlichkeit, dass ein 1 -ODER nicht herauskommt - in den rosa Würfel.

Ein weiterer Fall von zwei unabhängigen Ereignissen besteht darin, zweimal hintereinander eine Münze zu starten. Das Ergebnis des ersten Starts hängt nicht vom Ergebnis des zweiten und umgekehrt ab.

[TOC]

Demonstration von zwei unabhängigen Ereignissen

Um zu überprüfen, ob zwei Ereignisse unabhängig sind, werden wir das Konzept der konditionierten Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in Bezug auf ein anderes definieren. Dafür ist es notwendig, zwischen exklusiven und integrativen Ereignissen zu unterscheiden:

Zwei Ereignisse sind ausschließlich, wenn möglich, Werte oder Elemente von Ereignis A, die mit den Werten oder Elementen von Ereignis B nichts gemeinsam haben.

Daher ist bei zwei exklusiven Ereignissen der Schnittpunkt von A mit B die Leere:

Exklusive Ereignisse: a∩b = Ø

Im Gegenteil. In diesem Fall:

Inklusive Ereignisse: a∩b ≠ Ø

Dies führt uns dazu, die konditionierte Wahrscheinlichkeit von zwei integrativen Ereignissen zu definieren, mit anderen Worten, die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Ereignis A, vorausgesetzt, dass das Ereignis B auftritt:

P (a ...b) = P (a∩b)/p (b)

Daher ist die konditionierte Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit, die durch die Wahrscheinlichkeit auftritt, die b auftritt, b. Die Wahrscheinlichkeit, die auf a basiert:

P (b ...A) = P (a∩b)/p (a (a)

Kriterien, um zu wissen, ob zwei Ereignisse unabhängig sind

Als nächstes werden wir drei Kriterien geben, um zu wissen, ob zwei Ereignisse unabhängig sind. Es ist genug, dass einer der drei erfüllt ist, so dass die Unabhängigkeit der Ereignisse demonstriert wird.

1.- Wenn die Wahrscheinlichkeit, die auftritt, so lange wie b gleich der Wahrscheinlichkeit von A ist, sind dies unabhängige Ereignisse:

Es kann Ihnen dienen: Eigentum der Algebra -Sperre: Demonstration, Beispiele

P (a ...b) = p (a) => a ist unabhängig von b

2.- Wenn die Wahrscheinlichkeit von B gegeben wird, ist gleich der Wahrscheinlichkeit von B, dann haben sie unabhängige Ereignisse:

P (b ...A) = p (b) => b ist unabhängig von a

3.- Wenn die Wahrscheinlichkeit, die auf und B auftritt, dem Produkt der Wahrscheinlichkeit entspricht, die für die Wahrscheinlichkeit bildet, die b auftritt, sind dies unabhängige Ereignisse. Der Gegenstand ist auch wahr.

P (a∩b) = P (a) P (b) A und B sind unabhängige Ereignisse.

Beispiele für unabhängige Ereignisse

Die von zwei verschiedenen Lieferanten produzierten Gummisohlen werden verglichen. Die Proben jedes Herstellers werden mehreren Versuchen unterzogen, aus denen sie zu dem Schluss gezogen werden, ob sie sich in den Spezifikationen befinden oder nicht. 

Figur 2. Vielfalt von Gummisohlen. Quelle: Pixabay.

Die resultierende Zusammenfassung der 252 Proben lautet wie folgt:

Hersteller 1; 160 erfüllen Spezifikationen; 8 Erfüllen Sie keine Spezifikationen.

Hersteller 2; 80 erfüllen Spezifikationen; 4 Erfüllen Sie keine Spezifikationen.

Ereignis A: "Die Stichprobe stammt vom Hersteller 1".

Ereignis B: "Dass die Stichprobe die Spezifikationen erfüllt".

Es ist zu wissen, ob diese Ereignisse A und B unabhängig sind oder nicht, für die wir eines der drei im vorherigen Abschnitt genannten Kriterien anwenden.

Kriterien: p (bped) = p (b) => b ist unabhängig von a

P (b) = 240/252 = 0.9523

P (b ...A) = P (a ⋂ b)/p (a) = (160/252)/(168/252) = 0.9523

Schlussfolgerung: Ereignisse A und B sind unabhängig.

Angenommen, ein Ereignis C: "Dass die Show vom Hersteller 2 stammt"

Wird es Ereignis B unabhängig von Ereignis C sein?

Wir wenden eines der Kriterien an.

Kriterien: P (b ...c) = p (b) => b ist unabhängig von c

P (b ...c) = (80/252)/(84/252) = 0.9523 = P (b)

Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Gummi -Sohle die Spezifikationen entspricht, unabhängig vom Hersteller. 

Verwandeln Sie ein unabhängiges Ereignis in eine Abhängigkeit

Schauen wir uns das folgende Beispiel an, um zwischen Ereignissen zu unterscheiden Angehörige e unabhängig. 

Wir haben eine Tasche mit zwei weißen Schokoladenkugeln und zwei schwarzen Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit, einen weißen oder schwarzen Ball zu bekommen, ist im ersten Versuch gleich.

Angenommen, das Ergebnis war ein weißer Ball. Wenn die extrahierte Kugel in der Tasche aufgefüllt wird, wird die ursprüngliche Situation wiederholt: zwei weiße Kugeln und zwei schwarze Kugeln.

In einem zweiten Ereignis oder einer Extraktion sind die Möglichkeiten, einen weißen Ball oder einen schwarzen Ball herauszunehmen, mit denen des ersten Males identisch. Es sind daher unabhängige Ereignisse.

Aber wenn der weiße Ball im ersten Ereignis nicht aufgefüllt wird, weil wir ihn gegessen haben, gibt es in der zweiten Extraktion größere Möglichkeiten, einen schwarzen Ball zu bekommen. Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer zweiten Extraktion erneut weiß erhalten wird, unterscheidet sich von der des ersten Ereignisses und wird durch das vorherige Ergebnis konditioniert.

Kann Ihnen dienen: Scaleno -Dreieck

Übungen

- Übung 1

In einer Schachtel setzen wir die 10 Murmeln in Abbildung 1, von denen 2 grün, 4 blau und 4 weiß sind. Sie werden zwei zufällige Murmeln auswählen, eines zuerst und einen danach. Es wird gebeten, das zu finden
Wahrscheinlichkeit, dass keiner von ihnen unter folgenden Bedingungen blau ist:

a) mit dem Ersatz, das heißt, zurück in die Box im ersten Marmor vor der zweiten Auswahl in die Box zurückzukehren. Geben Sie an, ob sie unabhängige oder abhängige Ereignisse sind.

b) ohne Ersatz, damit der erste Marmor extrahiert wird, ist zum Zeitpunkt der zweiten Auswahl aus dem Box. In ähnlicher Weise weisen Sie darauf hin, ob sie abhängige oder unabhängige Ereignisse sind.

Lösung für

Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit, dass der erste extrahierte Marmor nicht blau ist, was weniger ist, die Wahrscheinlichkeit, dass es blau p (a) ist, oder direkt, dass es nicht blau ist, weil es grün oder weiß herauskam:

P (a) = 4/10 = 2/5

P (nein blau) = 1 - (2/5) = 3/5

Ach ja:

P (grün oder weiß) = 6/10 = 3/5.

Wenn der Marmor zurückgegeben wird, ist alles wieder wie zuvor. In dieser zweiten Extraktion gibt es auch 3/5 der Wahrscheinlichkeit, dass der extrahierte Marmor nicht blau ist.

P (kein Blau, kein Blau) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Die Ereignisse sind unabhängig, da der extrahierte Marmor in die Schachtel zurückgekehrt ist und das erste Ereignis nicht die Wahrscheinlichkeit des Auftretens des zweiten beeinflusst.

Lösung b

Für die erste Extraktion ist dieselbe im vorherigen Abschnitt vorhanden. Die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht blau ist, beträgt 3/5.

Für die zweite Extraktion haben wir 9 Murmeln in der Tasche, da der erste nicht zurückkehrte, aber nicht blau, also sind 9 Murmeln und 5 Nicht -Blau in der Tasche gelassen:

P (grün oder weiß) = 5/9.

P (keine blau) = P (zuerst nein blau). P (zweiter Nicht -Blue /First war nicht blau) = (3/5) . (5/9) = 1/3

In diesem Fall geht es nicht um unabhängige Ereignisse, da der erste Ereignis die zweite ist.

- Übung 2

Ein Geschäft hat 15 Hemden in drei Größen: 3 kleine, 6 mittel und 6 große Hemden. 2 Hemden werden zufällig ausgewählt.

a) Welche Wahrscheinlichkeit sind beide ausgewählten Hemden klein, wenn einer zuerst entfernt wird und ohne das Los ein anderes zu ersetzen?

b) Was wahrscheinlich ist, dass beide ausgewählten Hemden klein sind, wenn einer zum ersten Mal entfernt wird, wird die zweite ersetzt und die zweite entfernt?

Es kann Ihnen dienen: Real Variable -Funktion und ihre grafische Darstellung

Lösung für

Hier sind zwei Veranstaltungen:

Ereignis A: Das erste ausgewählte Hemd ist klein

Ereignis B: Das zweite ausgewählte Hemd ist klein

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist: p (a) = 3/15

Die Wahrscheinlichkeit, die von Ereignis B stammt, lautet: p (b) = 2/14 2 klein.

Mit anderen Worten, die Wahrscheinlichkeit von A und B ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten:

P (a und b) = p (bped) p (a) = (2/14) (3/15) = 0.029

Daher entspricht die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A und B dem Produkt, dem das Ereignis aufgrund der Wahrscheinlichkeit von Ereignis B ist, wenn das Ereignis gegeben wurde.

Es ist darauf hinzuweisen, dass:

P (b ...A) = 2/14

Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B unabhängig davon ist, ob das Ereignis angegeben ist oder nicht, ist:

P (b) = (2/14) Wenn der erste klein war, oder p (b) = 3/14, wenn der erste nicht klein war.

Im Allgemeinen kann Folgendes abgeschlossen werden:

P (bped) ist nicht gleich p (b) => b ist nicht unabhängig von a

Lösung b

Es gibt wieder zwei Ereignisse:

Ereignis A: Das erste ausgewählte Hemd ist klein

Ereignis B: Das zweite ausgewählte Hemd ist klein

P (a) = 3/15

Denken Sie daran, was das Ergebnis ist, das Hemd wird aus dem Grundstück ersetzt und entfernt wieder zufällig ein Hemd. Die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B, wenn das Ereignis A gegeben wurde:

P (b ...A) = 3/15

Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignisse A und B erteilt werden, ist:

P (a und b) = p (bped) p (a) = (3/15) (3/15) = 0.04

Beachten Sie, dass: 

P (b ...A) ist gleich p (b) => b ist unabhängig von a.

- Übung 3

Betrachten Sie zwei unabhängige Ereignisse A und B. Es ist bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis auftritt, 0,2 und die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B auftritt. Was wird die Wahrscheinlichkeit sein, dass beide Ereignisse auftreten??

Lösung 2

Zu wissen, dass die Ereignisse unabhängig sind, ist es bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse auftreten, das Produkt einzelner Wahrscheinlichkeiten ist. Das heißt,

P (a∩b) = p (a) p (b) = 0,2 * 0,3 = 0,06

Beachten Sie, dass es eine viel geringere Wahrscheinlichkeit ist als die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Ereignis unabhängig vom Ergebnis des anderen auftritt. Oder mit anderen Worten, viel weniger als die individuellen Wahrscheinlichkeiten.

Verweise

1. Berenson, m. 1985. Statistiken für Verwaltung und Wirtschaftswissenschaften. Inter -American s.ZU. 126-127.
2. Monterrey Institute. Wahrscheinlichkeit unabhängiger Ereignisse. Erholt von: Monterreyinstitute.Org
3. MATS Professor. Unabhängige Ereignisse. Erholt von: YouTube.com
4. Superprof. Arten von Ereignissen, abhängige Ereignisse. Erholt von: Superprof.Ist
5. Virtueller Tutor. Wahrscheinlichkeit. Abgerufen von: Vitutor.Netz
6. Wikipedia. Unabhängigkeit (Wahrscheinlichkeit). Erholt von: Wikipedia.com