Zufälliger Experimentkonzept, Stichprobenraum, Beispiele

Da ist rede von zufälliges Experiment Wenn das Ergebnis eines bestimmten Versuchs unvorhersehbar ist, auch wenn die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses festgelegt werden kann.

Es sollte jedoch klargestellt werden, dass es in jedem Versuch des Experiments nicht möglich ist, dasselbe Ergebnis eines zufälligen Systems mit denselben Anfangsparametern und -bedingungen zu reproduzieren.

Abbildung 1. Würfelstart ist ein zufälliges Experiment. Quelle: Pixabay.

Ein gutes Beispiel für ein zufälliges Experiment ist der Start eines Würfels. Selbst wenn Sie darauf achten, die Würfel auf die gleiche Weise zu starten, wird bei jedem Versuch ein unvorhersehbares Ergebnis erzielt. Das einzige, was bestätigt werden kann, ist, dass das Ergebnis einige der folgenden sein kann: 1, 2, 3, 4, 5 oder 6.

Der Start einer Währung ist ein weiteres Beispiel für zufälliges Experiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen: Gesicht oder Siegel. Obwohl die Währung von der gleichen Höhe und auf die gleiche Weise gestartet wird, wird immer der Zufallsfaktor vorhanden sein, was zu einer Unsicherheit für jeden neuen Versuch führt.

Das Gegenteil eines zufälligen Experiments ist ein deterministisches Experiment. Zum Beispiel ist bekannt, dass jedes Mal, wenn Wasser auf Meereshöhe gekocht wird. Aber es kommt nie vor, dass das Ergebnis manchmal 90 ° C, weitere 12 0 ° C und manchmal 100 ºC beträgt.

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Probenraum

Der Satz aller möglichen Ergebnisse eines zufälligen Experiments wird genannt Probenraum. Im zufälligen Experiment der Start eines Würfels lautet der Probenraum:

D = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Bei der Einführung einer Währung ist der Beispielraum für seinen Teil:

M = Gesicht, Seal.

Veranstaltung oder Veranstaltung

In einem zufälligen Experiment a Fall Es ist das Auftreten oder nicht ein bestimmtes Ergebnis. Zum Beispiel ist bei der Einführung einer Währung eine Veranstaltung oder Veranstaltung teuer zu sein.

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Ein weiteres Ereignis in einem zufälligen Experiment könnte wie folgt sein, dass beim Start eines Würfels eine Zahl von weniger als drei veröffentlicht wird.

Falls das Ereignis stattfindet, ist der Satz möglicher Ergebnisse der Satz:

E = 1, 2, 3

Dies ist wiederum eine Untergruppe des Raum- oder Stichprobensatzes:

M = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Beispiele

Im Folgenden finden Sie einige Beispiele, die die oben genannten veranschaulichen:

Beispiel 1

Angenommen, zwei Münzen werden nacheinander geworfen. Es wird angefordert:

a) Geben Sie an, ob es sich um ein zufälliges Experiment oder im Gegenteil ein deterministisches Experiment handelt.

b) Was ist der Probenraum dieses Experiments??

c) Geben Sie das gesamte Ereignis A an, das dem Experiment entspricht.

d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis auftritt.

e) Ermitteln Sie schließlich die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B: nicht dem Ergebnis angezeigt wird.

Lösung 

A) Es ist ein zufälliges Experiment, weil es keine Möglichkeit gibt, vorherzusagen, was das Ergebnis einer Einführung der beiden Münzen sein wird.

b) Der Probenraum ist der Satz aller möglichen Ergebnisse:

S = (c, c), (c, s), (s, c), (s, s)

c) Ereignis A kann in dem vorliegenden Fall die folgenden Ergebnisse erzielen:

A = (c, s), (s, c)

d) Die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A wird erhalten, die Anzahl der Elemente des Satzes A zwischen der Anzahl der Elemente des Satzes zu trennen, der dem Stichprobenraum entspricht:

P (a) = 2/4 = ½ = 0.5 = 50%

e) Der Satz möglicher Ergebnisse, die dem Ereignis B entsprechen (nicht dem Ergebnis zu sehen), lautet:

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B = (s, s)

Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B in einem Aufsatz auftritt, ist das Verhältnis zwischen der Anzahl der möglichen Ergebnisse von B zwischen der Anzahl der Gesamtfälle:

P (b) = ¼ = 0.25 = 25%.

Beispiel 2

Eine Tasche enthält 10 weiße Murmeln und 10 schwarze Murmeln. Aus der Tasche werden sie zufällig entfernt und ohne nacheinander drei Murmeln in drei Murmeln zu schauen. 

a) Bestimmen Sie den Probenraum dieses zufälligen Experiments.

b) Bestimmen Sie die Ergebnisse, die dem Ereignis entspricht, dass nach dem Experiment zwei schwarze Murmeln vorhanden sind.

c) Ereignis B soll mindestens zwei schwarze Murmeln erhalten und den Satz B der Ergebnisse für dieses Ereignis bestimmen.

d) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis stattfindet??

e) Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B B.

f) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis des zufälligen Experiments ist, dass mindestens ein schwarzer Marmor. Diese Veranstaltung wird C genannt.

Figur 2. Schwarze und schwarze Murmeln für zufällige Experimente. Quelle: Needpix.

Lösung für

Um den Probenraum zu bauen, ist es nützlich, ein Baumdiagramm zu erstellen, wie in Abbildung 3 gezeigt:

Figur 3. Baumdiagramm für Beispiel 2. Vorbereitet von Fanny Zapata.

Der ω -Satz möglicher Ergebnisse des Extrahierens von drei Murmeln aus einer Tasche mit der gleichen Anzahl schwarzer und schwarzer Murmeln ist genau der Probenraum dieses zufälligen Experiments.

Ω = (b, b, b), (b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n) , (n, n, b), (n, n, n)

Lösung b

Der Satz möglicher Ergebnisse, die Ereignis A entsprechen, die aus zwei schwarzen Murmeln besteht, ist:

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A = (b, n, n), (n, b, n), (n, n, b)

Lösung c

Ereignis B ist definiert als: "Mindestens zwei schwarze Murmeln zu haben, nachdem er die zufällige Extraktion von drei von ihnen gemacht hat". Der Satz möglicher Ergebnisse für Ereignis B lautet:

B = (b, n, n), (n, b, n), (n, n, b), (n, n, n)

Lösung d

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A ist das Verhältnis zwischen der Anzahl der möglichen Ergebnisse für dieses Ereignis und der Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse, dh der Anzahl der Stichprobenraumelemente.

P (a) = n (a) / n (ω) = 3/8 = 0.375 = 37.5%

Es gibt also 37.5% Wahrscheinlichkeit, zwei schwarze Murmeln zu haben, nachdem zufällig drei Murmeln aus der Tasche extrahiert wurden. Beachten Sie jedoch, dass wir in keiner Weise das genaue Ergebnis des Experiments vorhersagen können.

Lösung e

Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis B aus mindestens einem schwarzen Marmor besteht, ist:

P (b) = n (b) / n (ω) = 4/8 = 0.5 = 50%

Dies bedeutet, dass die Möglichkeit von Ereignis B gleich der Wahrscheinlichkeit ist, die nicht auftritt. 

Lösung f

Die Wahrscheinlichkeit, mindestens einen schwarzen Marmor zu erhalten, ist nach drei von ihnen gleich 1 weniger die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis "die drei weißen Murmeln" ist, "die drei weißen Murmeln".

P (c) = 1 - p (b b b) = 1 - ⅛ = ⅞ = 0.875 = 87.5%

Jetzt können wir dieses Ergebnis überprüfen und feststellen, dass die Anzahl der Möglichkeiten angesichts des Ereignisses C gleich der Anzahl der Elemente der möglichen Ergebnisse für Ereignis C ist:

C = (b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n), (n, n, b) , (n, n, n)

N (c) = 7

P (c) = n (c) / n (ω) = ⅞ = 87.5%

Verweise

1. Canalphi. Zufälliges Experiment. Erholt von: YouTube.com.
2. Mathemovil. Zufälliges Experiment. Erholt von: YouTube.com
3. Pishro Nick H . Einführung in die Wahrscheinlichkeit. Abgerufen von: Wahrscheinlichkeitscourse.com
4. Ross. Wahrscheinlichkeit und Statistiken für Ingenieure. Mc-Graw Hill.
5. Wikipedia. Experiment (Wahrscheinlichkeitstheorie). Abgerufen von: in.Wikipedia.com
6. Wikipedia. Deterministisches Ereignis. Geborgen von: ist. Wikipedia.com
7. Wikipedia. Zufälliges Experiment. Geborgen von: ist.Wikipedia.com