Häufige Faktormerkmale, Beispiele, Übungen

Er gemeinsamer Faktor eines algebraischen Ausdrucks ist eine Menge, die in allen Begriffen vorhanden ist. Wenn der gemeinsame Faktor bekannt ist, ist es möglich, den Ausdruck in gleichwertiger Weise durch ein Produkt von Faktoren zu schreiben.

Nicht alle algebraischen Ausdrücke haben einen gemeinsamen Faktor, es gibt nur diejenigen, die nur zwischen ihnen und 1 aufgeteilt werden können. Daher ist es nicht möglich, sie als Produkt von Faktoren zu schreiben. Ein Beispiel für den Ausdruck, der keinen gemeinsamen Faktor hat, ist:

x + y

Abbildung 1. Der häufige Faktor einer algebraischen Expression macht es zum angegebenen Produkt zweier Faktoren. Quelle: Pixabay.

Stattdessen Ja:

5a + 10b

Es ist zu sehen, dass die 5 in beiden Begriffen vorhanden ist, da 10 = 5 ∙ 2. Da 5 der gemeinsame Faktor ist, kann Folgendes geschrieben werden:

5a + 10b = 5 ∙ (a + 2b)

Der Leser kann durch die Verteilungseigenschaft nachsehen, dass der Ausdruck rechts dem Original entspricht.

Der gemeinsame Faktor kann auch buchstäblich oder eine Kombination aus Zahlen und Buchstaben sein, zum Beispiel in 4x² - 2x. Der X und das 2 Sie sind zwischen den Faktoren und dem Ausdruck bleibt als Produkt:

4x² -2x = 2xoffe (x -1)

Der Vorteil, den gemeinsamen Faktor eines Ausdrucks zu finden und ihn als Produkt zu schreiben, besteht darin, dass es fast immer einfach ist, damit zu arbeiten. Deshalb wird es in vielen Algebraik- und Berechnungsverfahren verwendet, wie z. B.:

-Bei der Lösung von Gleichungen, deren Lösungen schnell aufgedeckt werden, wenn der gemeinsame Faktor gefunden wird.

-Bei der Berechnung einer Grenze mit einer Unbestimmtheit kann dies durch richtig Factoring verschwinden.

-Die geeignete Faktorisierung erleichtert auch den Betrieb mit rationalen algebraischen Ausdrücken wie Summen und Unterabrechnungen.

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Häufige Faktormerkmale

Die Hauptmerkmale des gemeinsamen Faktors sind wie folgt:

-Es kann eine Zahl, eine algebraische Ausdruck oder eine Kombination von beidem sein.

-Der gemeinsame Faktor muss in jedem der Ausdrucksbedingungen enthalten sein, um Faktor zu fördern.

Können Ihnen dienen: Transzendente Funktionen: Typen, Definition, Eigenschaften, Beispiele

-Gemäß der Menge an Begriffen, die es enthält, kann dies der Fall sein von:

1. Gemeinsamer monomialer Faktor, wenn der gemeinsame Faktor einen einzigen Begriff hat,
2. Gemeinsamer Binomialfaktor, wenn Sie zwei Begriffe haben und
3. Gemeinsamer Polynomfaktor, wenn der gemeinsame Faktor aus mehreren Begriffen besteht.

Wie man den gemeinsamen Faktor eines algebraischen Ausdrucks findet?

Um den in einem Polynom vorhandenen gemeinsamen Faktor zu finden, müssen Sie den maximalen gemeinsamen Divisor oder MCD der numerischen Koeffizienten aller Begriffe sowie die Buchstaben oder Literale jedes Begriffs berechnen und die Kraft mit dem geringsten Exponent wählen.

Die Buchstaben oder Literale können als Monome, Binomien oder Polynome vorgestellt werden, wie in den folgenden Beispielen zu sehen ist.

Die am meisten empfohlene, um den Prozess der Erlangung des gemeinsamen Faktors zu verstehen, besteht darin, die Beispiele zu befolgen und jeweils mehrere Übungen zu lösen.

Beispiele für gemeinsame Faktoren

Wir dürfen die Tatsache nicht aus den Augen verlieren, dass das Ziel des gemeinsamen Faktors ein Ausdruck in ein angegebenes Produkt von Faktoren umgewandelt wird. Dann werden die relevantesten Fälle analysiert:

Gemeinsamer monomialer Faktor

Sie haben die folgenden Monomeen (einzelne algebraische Ausdrücke):

2x²; 10x⁴Und; 100x⁶Und²

Was kann der gemeinsame Faktor für die drei sein?

Beginnend mit den numerischen Koeffizienten: 2, 10 und 100, alle sind gerade und ihr MCD ist 2. Was den wörtlichen Teil betrifft, ist Variable X in drei Begriffen vorhanden, und die niedrigste Leistung ist x², Dann ist der gemeinsame Faktor 2x².

Die drei vorgeschlagenen Begriffe können auf diese Weise als Produkte dieses Faktors geschrieben werden:

2x²= 2x²∙ 1

10x⁴y = 2x² ∙ 5x²Und

100x⁶Und²= 2x²∙ 50x⁴Und²

Multiplizieren Sie die Faktoren rechts, es kann überprüft werden, dass der Begriff der linken erhalten wird.

Figur 2. Illustration, die den gemeinsamen Faktor darstellt. Quelle: Wikimedia Commons.

Diese Technik wird angewendet, wenn sie benötigt wird, um einen algebraischen Ausdruck zu berücksichtigen, wie in den folgenden Beispielen:

• Beispiel 1

Tatsache der folgende Ausdruck:

Es kann Ihnen dienen: Isosceles Dreieck

5x³und + 10x²Und² + 5xy²

Der MCD der numerischen Koeffizienten jedes Begriffs lautet:

MCD (5.10) = 5

Was den wörtlichen Teil betrifft, beide sind beide X als die Und Sie sind in drei Begriffen vorhanden und der am wenigsten Exponent von jedem ist 1, daher ist der gemeinsame Faktor 5xy Und Sie können schreiben:

5x³und + 10x²Und² + 5xy²= 5xy ∙ (x² +2xy²+Und)

Gemeinsamer Polynomfaktor

Der gemeinsame Faktor kann aus einem Binomial, einem Trinom oder im Allgemeinen in einem Polynom bestehen. In diesem Fall sind die Anweisungen im vorherigen Abschnitt weiterhin gültig und wählen als gemeinsamer Faktor mit dem geringsten Exponenten.

• Beispiel 2

Schreiben Sie den folgenden Ausdruck als Produkt zweier Faktoren:

2a (x - 1) - 3b (x - 1)

Durch direkte Inspektion ist der gemeinsame Faktor das Binomial (X-1), So:

2a (x - 1) - 3b (x - 1) = (x -1) ∙ (2a - 3b)

Faktorisierung durch Gruppierung von Begriffen

Manchmal ist die Existenz eines gemeinsamen Faktors nicht erkennbar, aber es zeigt sich, ob die Begriffe bequem gruppiert werden:

• Beispiel 3

Faktorisieren Sie 3x³ - 9AX² - x + 3a

Auf den ersten Blick gibt es in diesen vier Begriffen keinen gemeinsamen Faktor, da zum Beispiel die X Es ist in den ersten drei vorhanden, aber nicht in der letzten. Und das Zu Es ist im zweiten und im letzten nichts mehr.

In Bezug.

Es scheint, dass die beschriebenen Techniken diesmal nicht angewendet werden können. Der Ausdruck kann jedoch berücksichtigt werden, indem die ersten beiden und die letzten beiden Begriffe gruppiert werden, wobei bei der Platzierung der Klammern vorsichtig ist, dass die Zeichen geeignet sind, das Original nicht zu ändern:

Kann Ihnen dienen: rechteckige Komponenten eines Vektors (mit Übungen)

3x³ - 9AX² - x + 3a = (3x³ - 9AX²) - (x - 3a)

Beachten Sie das negative Zeichen inmitten von Klammern: Es ist notwendig, da sich der ursprüngliche Ausdruck ansonsten ändern würde.

In der linken Klammer ist der gemeinsame Faktor 3x², Deshalb:

(3x³ - 9AX²) - (x - 3a) = 3x²≤ (x - 3a) - (x - 3a)

Und es wird beobachtet, dass bereits ein gemeinsamer Faktor aufgetaucht ist: (x - 3a), Das heißt, es ist ein Faktor zum zweiten Mal, um zu erhalten:

3x² (X- 3a) - (x - 3a) = (x - 3a) ∙ (( 3x²- 1)

Gemeinsame Faktorübungen

Übung 1

Lösen Sie die 4x -Gleichung³ +7x²  +6x = 0

Lösung

"X" ist daher ein häufiger Faktor:

3x³ –5x²  +2x = x (3x² –5x +2) = 0

Für den Ausdruck nach links ist es 0, es ist genug, dass eine dieser beiden Bedingungen erfüllt ist:

x = 0

ENTWEDER:

3x² –5x +2 = 0

Dies handelt. Die Lösungen dieser Gleichung sind:

x = 1

x = 2/3

Sobald es gefunden wurde, ist es veranschaulichend, die Gleichung als Produkt von 3 Faktoren zu schreiben, obwohl die Aussage nicht danach verlangte. Es wäre so:

xoge (x-1) ≤ (x-2/3) = 0

Übung 2

Berechnen Sie die folgende Grenze, wenn es vorhanden ist:

Lösung

Zunächst wird es bei x = –2 ersetzt, um zu versuchen, die Grenze zu bewerten. Dabei wird es erhalten:

Da es sich um eine Unbestimmtheit der 0/0 Form handelt, müssen Sie Faktor sein, um zu versuchen, sie zu beseitigen. Der Nenner kann nicht Faktor sein, aber der Zähler tut dies.

Im Zähler ist der gemeinsame Faktor X:

X²+2x = x ∙ (x+2)

Der faktorisierte Ausdruck wird in der Grenze ersetzt und auf diese Weise verschwindet die Unbestimmtheit:

Es wird der Schluss gezogen, dass die Grenze existiert und –2 wert ist.

Verweise

1. Baldor, a. 2005. Algebra. Kulturelle Heimatgruppe.
2. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
3. Larson, r. 2012. Vorkalkulation. 8. Auflage. Cengage Lernen.
4. Stewart, J. 2007. Präzision: Mathematik zur Berechnung. 5. Auflage. Cengage Lernen.
5. Zill, d. 1984. Algebra und Trigonometrie. McGraw Hill.