Gemeinsamer Faktor für Gruppierungsbegriffe Beispiele, Übungen

Er gemeinsamer Faktor für Gruppierungsbegriffe Es ist ein algebraisches Verfahren, das es ermöglicht, einige algebraische Ausdrücke in Form von Faktoren zu schreiben. Um dieses Ziel zu erreichen, muss der Ausdruck zunächst bequem gruppieren und beobachten, dass jede so gebildete Gruppe tatsächlich einen gemeinsamen Faktor hat.

Die richtige Anwendung der Technik erfordert eine gewisse Praxis, aber in kurzer Zeit ist es möglich, zu dominieren. Schauen wir uns zuerst einen veranschaulichend beschriebenen Beispiel für Schritt für Schritt an. Dann kann der Leser das anwenden, was er in jedem der Übungen gelernt hat, die danach erscheinen werden.

Abbildung 1. Entfernen Sie den gemeinsamen Faktor für Gruppierungsbegriffe Erleichterung der Arbeit mit algebraischen Ausdrücken. Quelle: Pixabay.

Angenommen, Sie müssen den folgenden Ausdruck berücksichtigen:

2x² + 2xy - 3zx - 3zy

Diese algebraische Expression besteht aus 4 Monomen oder Begriffen, die durch Zeichen + und -getrennt sind, nämlich:

2x², 2xy, -3zx, -3zy

Sorgfältig beobachten, das X ist den ersten drei gemeinsam, aber nicht in den letzten, während das und der zweite und vierte gemeinsam ist, und das Z ist dem dritten und vierten gemeinsam.

Im Prinzip gibt es also keinen gemeinsamen Faktor für die vier Begriffe gleichzeitig.

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Beispiele

Faktor den Ausdruck: 2x² + 2xy - 3zx - 3zy

Schritt 1: Gruppe

2x² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x² + 2xy) + (-3zx - 3zy)

Schritt 2: Entfernen Sie den gemeinsamen Faktor von jeder Gruppe

2x² + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x² + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2x (x+y) - 3z (x+y)

YoMportante: Das negative Vorzeichen ist auch ein häufiger Faktor, der berücksichtigt werden muss.

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Beachten Sie nun, dass die Klammern (x+y) in den beiden beim Gruppieren erhaltenen Begriffe wiederholt wird. Das ist der gemeinsame Faktor, der gesucht wurde.

Schritt 3: Faktorisieren Sie den gesamten Ausdruck

2x² + 2xy - 3zx - 3zy = (x+y) (2x - 3z)

Mit dem vorherigen Ergebnis wurde das Ziel der Faktorisierung erreicht, was kein anderer als die Transformation eines algebraischen Ausdrucks auf der Grundlage von Summen und Subtraktion von Begriffen im Produkt von zwei oder mehr Faktoren in unserem Beispiel von: (x+ y) ist und (2x - 3z).

Wichtige Fragen zum gemeinsamen Gruppenfaktor

Frage 1: Wie man weiß, dass das Ergebnis korrekt ist?

Antworten: Verteilungseigenschaft wird auf das erhaltene Ergebnis angewendet, und nach der Reduzierung und Vereinfachung muss der so erzielte Ausdruck mit dem ursprünglichen, wenn nicht, ein Fehler vorliegen.

Im vorherigen Beispiel funktioniert es mit dem Ergebnis umgekehrt, um zu überprüfen, ob es in Ordnung ist:

(x+y) (2x - 3z) = 2x² -3zx +2xy - 3zy

Da die Reihenfolge der Addends die Summe nicht ändert, sind nach Anwendung der Verteilungseigenschaft alle ursprünglichen Begriffe enthalten, daher ist die Faktorisierung korrekt.

Frage 2: Könnten Sie auf andere Weise gruppiert haben?

Antworten: Es gibt algebraische Ausdrücke, die mehr als eine Form der Gruppierung zugeben, und andere, die dies nicht tun. Im ausgewählten Beispiel kann der Leser andere Möglichkeiten ausprobieren, z. B. Gruppierung:

2x² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x²- 3zx) + (2xy - 3zy)

Und Sie können sehen, dass das Ergebnis das gleiche ist wie hier erhalten. Die optimale Gruppe zu finden ist eine Frage der Praxis.

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Frage 3: Warum ist es notwendig, einen gemeinsamen Faktor aus einem algebraischen Ausdruck zu erhalten?

Antworten: Weil es Anwendungen gibt, in denen der faktorisierte Ausdruck Berechnungen erleichtert. Angenommen, Sie möchten 2x machen² + 2xy - 3zx - 3zy gleich 0. Was wäre die Möglichkeiten??

Um dieses Problem zu reagieren, ist die faktorisierte Version viel nützlicher als die ursprüngliche Entwicklung in Begriffen. Es entsteht so:

(x+y) (2x - 3z) = 0

Eine Möglichkeit, dass der Ausdruck 0 wert ist, ist das x = -y, unabhängig vom Wert von z. Und das andere ist, dass x = (3/2) z, ohne den Wert von y zu beachten.

Übungen

- Übung 1

Erhalten Sie den gemeinsamen Faktor des folgenden Ausdrucks durch Gruppierung von Begriffen:

ax+ay+bx+durch

Lösung

Die ersten beiden sind gruppiert, wobei der gemeinsame Faktor "A" und die letzten beiden mit dem gemeinsamen Faktor "B":

Ax+ay+bx+by = a (x+y)+b (x+y)

Sobald dies erledigt ist, wird ein neuer gemeinsamer Faktor aufgedeckt, der (x+y) ist, so dass:

Ax+ay+bx+by = a (x+y)+b (x+y) = (x+y) (a+b)

Ein anderer Weg zur Gruppe

Dieser Ausdruck gibt eine andere Art der Gruppierung zu. Mal sehen, was passiert, wenn die Begriffe neu angeordnet sind und eine Gruppe hergestellt wird, mit der sie X und eine andere mit denen enthalten, die enthalten und:

ax +ay +bx +by = ax +bx +ay +by = x (a +b) +y (a +b)

Auf diese Weise ist der neue gemeinsame Faktor (A+B):

ax+ay+bx+by = ax+bx+ay+by = x (a+b)+y (a+b) = (x+y) (a+b)

Das führt zum gleichen Ergebnis der ersten Art der Gruppierung, die es getestet wurde.

- Übung 2

Es ist erforderlich, den folgenden algebraischen Ausdruck als das Produkt mit zwei Faktoren zu schreiben:

3³ - 3²B+9AB²-Zu²+AB-3B²

Kann Ihnen dienen: Coplanares -Punkte: Gleichung, Beispiel und gelöste Übungen

Lösung

Dieser Ausdruck enthält 6 Begriffe. Versuchen wir, die Erste und Vierte, den zweiten und dritten und schließlich fünften und sechsten zu gruppieren:

3³ - 3²B+9AB²-Zu²+AB-3B² = (3³ -Zu²) + (- 3²B+9AB²) + (AB-3b²)

Jetzt ist jede Klammung Faktor:

= (3³ -Zu²) + (- 3²B+9AB²) + (AB -3b²) = a² (3a -1) + 3ab (3b -a) + b (a -3b)

Auf den ersten Blick scheint es, dass die Situation kompliziert war, aber der Leser sollte nicht entmutigt werden, da wir den letzten Begriff umschreiben werden:

Zu² (3a -1) + 3ab (3b -a) + b (a -3b) = a² (3a - 1) + 3ab (3b -a) - b (3b -a)

Die letzten beiden Begriffe haben jetzt einen gemeinsamen Faktor, der (3B-A) ist, sodass sie faktorisiert werden können. Es ist sehr wichtig, die erste Amtszeit nicht aus den Augen zu verlieren² (3a - 1), die weiterhin alles wie das Hinzufügen begleiten muss, sodass Sie nicht mit ihm arbeiten:

Zu² (3a - 1) + 3ab (3b -a) - b (3b -a) = a² (3a-1) + (3b-a) (3ab-B)

Der Ausdruck wurde auf zwei Begriffe reduziert und im letzten ist ein neuer gemeinsamer Faktor, der "B" ist. Jetzt bleibt es:

Zu² (3a-1) + (3b-a) (3ab-b) = a² (3a-1) +b (3b-a) (3a-1)

Der nächste gemeinsame Faktor beim Erscheinen ist der 3. - 1:

Zu² (3a - 1) +b (3b -a) (3a -1) = (3a - 1) [a² + B (3B-A)]

Oder wenn Sie es ohne quadratische Klammern bevorzugen:

(3. - 1) [a² + B (3b -a)] = (3a - 1) (a² -AB + 3B²)

Kann der Leser eine andere Art der Gruppierung finden, die zu demselben Ergebnis führt??

Figur 2. Vorgeschlagene Faktorisierungsübungen. Quelle: f. Zapata.

Verweise

1. Baldor, a. 1974. Elementaralgebra. Venezolanische kulturelle s.ZU.
2. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
3. Hauptfälle von Faktorisierung. Erholt von: Julioprofe.Netz.
4. Unam. Grundlegende Mathematik: Faktorisierung durch Gruppierung von Begriffen. Rechnungswesen und Verwaltung.
5. Zill, d. 1984. Algebra und Trigonometrie. MacGraw Hill.