Factoring

Was ist die Faktorisierung?

Faktorisierung ist eine Methode, mit der ein Polynom in Form der Multiplikation von Faktoren ausgedrückt wird, die Zahlen, Buchstaben oder beides sein können. Um die Faktoren zu berücksichtigen, die den Begriffen gemeinsam sind, werden das Polynom in mehreren Polynomen zersetzt.

Wenn sich also die Faktoren miteinander vermehren, ist das Ergebnis das ursprüngliche Polynom. Die Faktorisierung ist eine sehr nützliche Methode, wenn es algebraische Ausdrücke gibt, da sie zur Multiplikation mehrerer einfacher Begriffe werden kann. Zum Beispiel: 2² + 2ab = 2a _* (A + b).

Es gibt Fälle, in denen ein Polynom nicht faktorisiert werden kann, da es unter seinen Begriffen keinen gemeinsamen Faktor gibt. Somit sind diese algebraischen Ausdrücke nur zwischen sich und 1 teilbar. Zum Beispiel: x + y + z.

In einer algebraischen Expression ist der gemeinsame Faktor der maximale gemeinsame Teil der Begriffe, aus denen es zusammen ist.

Faktorisierungsmethoden

Es gibt verschiedene Faktorisierungsmethoden, die je nach Fall angewendet werden. Einige davon sind die folgenden:

Gemeinsame Faktorisierung

Bei dieser Methode werden die häufig vorkommenden Faktoren identifiziert; Das heißt, diejenigen, die in den Begriffen des Ausdrucks wiederholt werden. Dann wird die Verteilungseigenschaft angewendet, der maximale gemeinsame Divisor wird entfernt und die Faktorisierung wird abgeschlossen.

Mit anderen Worten, der gemeinsame Faktor des Ausdrucks wird identifiziert und jeder Begriff wird zwischen diesem aufgeteilt; Die resultierenden Begriffe werden mit dem maximalen gemeinsamen Divisor multipliziert, um die Faktorisierung auszudrücken.

Beispiel 1

Faktorisieren (b²x) + (b)²Und).

Lösung

Erstens ist der häufige Faktor jedes Terms, in diesem Fall b², Und dann sind die Begriffe wie folgt zwischen dem gemeinsamen Faktor aufgeteilt:

(B²x) / b² = x

(B²y) / b² = y.

Die Faktorisierung wird ausgedrückt und multipliziert den gemeinsamen Faktor mit den daraus resultierenden Begriffen:

(B²x) + (b)²y) = b² (x + y).

Beispiel 2

Faktorisieren (2²B³) + (3AB²).

Lösung

In diesem Fall haben wir zwei Faktoren, die in jedem Begriff wiederholt werden, die "a" und "b" sind und die an eine Macht angehoben werden. Um sie zuerst zu berücksichtigen, werden die beiden Begriffe in ihrer langen Form unterteilt:

2_*Zu_*Zu_*B_*B_*B + 3a_*B_*B

Es ist ersichtlich, dass der „A“ -Faktor im zweiten Term nur einmal wiederholt wird und der „B“ -Faktor zweimal wiederholt wird. Im ersten Term gibt es also nur 2, einen Faktor "A" und ein "B"; Während in der zweiten Amtszeit nur 3 übrig bleiben.

Daher ist es so oft geschrieben, wie "A" und "B" wiederholt und durch die Faktoren multipliziert werden, die von jedem Begriff übrig bleiben, wie im Bild beobachtet:

Gruppierungsfaktorisierung

Wie nicht in allen Fällen ist der maximale gemeinsame Divisor eines Polynoms klar ausgedrückt. Es ist notwendig, andere Schritte zu unternehmen, um das Polynom umschreiben zu können und somit faktorisieren.

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Einer dieser Schritte besteht darin, die Bedingungen des Polynoms in mehrere Gruppen zu gruppieren und dann die Methode des gemeinsamen Faktors zu verwenden.

Beispiel 1

Faktorisieren Sie AC + BC + AD + BD.

Lösung

Es gibt 4 Faktoren, bei denen zwei häufig sind: Im ersten Term ist es "C" und im zweiten ist es "D". Auf diese Weise werden die beiden Begriffe gruppiert und getrennt:

(AC + BC) + (AD + BD).

Es ist nun möglich, die gemeinsame Faktormethode anzuwenden, jeden Term durch seinen gemeinsamen Faktor zu teilen und diesen gemeinsamen Faktor dann mit wie folgt zu multiplizieren:

(Ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

C (a + b) + d (a + b).

Jetzt wird ein Binomial erhalten, das für beide Begriffe üblich ist. Um es zu berücksichtigen, wird es mit den verbleibenden Faktoren multipliziert; Auf diese Weise müssen Sie:

AC + BC + AD + BD =  (C + d) _* (A + b).

Inspektionsfaktorisierung

Diese Methode wird verwendet, um quadratische Polynome zu berücksichtigen, auch Trinome genannt; Das heißt, diejenigen, die als AX strukturiert sind² ± BX + C, wobei der Wert von „A“ von 1 unterscheidet. Diese Methode wird auch verwendet, wenn das Trinom die X -Form hat² ± BX + C und der Wert von "a" = 1.

Beispiel 1

Faktor X² + 5x + 6.

Lösung

Sie haben eine quadratische Trinom des X -Form² ± BX + C. Um es zuerst zu berücksichtigen, müssen zwei Zahlen festgestellt werden, dass sich beim Multiplizieren zum „C“ -Wert (dh 6) und deren Summe dem „B“ -Koeffizienten entspricht. Diese Zahlen sind 2 und 3:

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Auf diese Weise wird der Ausdruck wie folgt vereinfacht:

(X² + 2x) + (3x + 6)

Jeder Begriff ist Faktor:

• Für (x² + 2x) Der gemeinsame Begriff wird entfernt: x (x + 2)
• Für (3x + 6) = 3 (x + 2)

Somit bleibt der Ausdruck:

x (x +2) +3 (x +2).

Da Sie ein gemeinsames Binomial haben, um den Ausdruck zu verringern, multipliziert es dies mit übrig gebliebenen Begriffen und muss:

X² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Beispiel 2

Faktorisieren Sie 4a² + 12a +9 = 0.

Lösung

Sie haben eine quadratische Trinom der AX -Form² ± BX + C und multipliziert den gesamten Ausdruck mit dem X -Koeffizienten²; In diesem Fall 4.

4² + 12a +9 = 0

4² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a² + 12a (4) + 36 = 0

4² Zu² + 12a (4) + 36 = 0

Jetzt müssen zwei Zahlen festgestellt werden, dass bei der Multiplizierung miteinander den Wert von „C“ (was ist 36) und dass beim Beitritt zum Koeffizienten des Begriffs „A“, der 6 Jahre alt ist.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Auf diese Weise wird der Ausdruck umgeschrieben, unter Berücksichtigung dieser 4² Zu² = 4a _* 4. Daher wird die Verteilungseigenschaft für jeden Begriff angewendet:

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(4a + 6) _* (4a + 6).

Schließlich wird der Ausdruck durch den Koeffizienten von a geteilt²; das heißt 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6)/ 2).

Der Ausdruck ist wie folgt:

4² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Faktorisierung mit bemerkenswerten Produkten

Es gibt Fälle, in denen die Polynome mit den vorherigen Methoden vollständig berücksichtigt werden, es wird zu einem sehr langen Prozess.

Deshalb kann ein Ausdruck mit den Formeln bemerkenswerter Produkte entwickelt werden, und daher wird der Prozess einfacher. Zu den am häufigsten verwendeten bemerkenswerten Produkten gehören:

• Unterschied von zwei Quadraten: (a² - B²) = (a - b) _* (A + b)
• Perfektes Quadrat einer Summe: a² + 2ab +b² = (a + b)²
• Perfektes Quadrat eines Unterschieds: a² - 2ab + b² = (a - b)²
• Unterschied von zwei Würfeln: a³ - B³ = (a-b)_*(Zu² + AB + b²)
• Summe von zwei Würfeln: a³ - B³ = (a + b) _* (Zu² - AB + b²)

Beispiel 1

Faktorisieren (5² - X²)

Lösung

In diesem Fall gibt es einen Unterschied von zwei Quadraten; Daher wird die Formel des bemerkenswerten Produkts angewendet:

(Zu² - B²) = (a - b) _* (A + b)

(5² - X²) = (5 - x) _* (5 + x)

Beispiel 2

Faktorisieren Sie 16x² + 40x + 25²

Lösung

In diesem Fall gibt es ein perfektes Quadrat einer Summe, da zwei quadratische Begriffe identifiziert werden können und der übrig gebliebene Begriff das Ergebnis des Multiplizierens von zwei mit der Quadratwurzel des ersten Terms mit der Quadratwurzel des zweiten Terms ist.

Zu² + 2ab +b² = (a + b)²

Zum Faktor werden nur die quadratischen Wurzeln des ersten und dritten Terms berechnet:

√ (16x²) = 4x

√ (25²) = 5.

Dann werden die beiden resultierenden Begriffe durch das Vorzeichen des Betriebs getrennt ausgedrückt, und das gesamte quadratische Polynom wird erhöht:

16x² + 40x + 25² = (4x + 5)².

Beispiel 3

Faktorisieren Sie 27a³ - B³

Lösung

Der Ausdruck stellt eine Subtraktion dar, bei der zwei Faktoren zum Würfel erhöht werden. Um sie zu berücksichtigen, wird die Formel des bemerkenswerten Produkts der Würfelunterschiede angewendet, dh:

Zu³ - B³ = (a-b)_*(Zu² + AB + b²)

Zum Faktor wird die Kubikwurzel aus jeder Laufzeit des Binomialen entfernt und mit dem Quadrat des ersten Terms sowie dem Produkt des ersten bis zum zweiten Term sowie dem zweiten Term quadriert multipliziert.

27a³ - B³

"(27a"³) = 3a

³√ (-B³) = -B

27a³ - B³ = (3a - b) _* [(3a)² + 3ab + b²)]

27a³ - B³ = (3a - b) _* (9a² + 3ab + b²)

Faktorisierung mit der Ruffini -Regel

Diese Methode wird verwendet, wenn Sie ein Polynom von Grad größer als zwei haben, um den Ausdruck auf mehrere kleinere Polynome zu vereinfachen.

Beispiel 1

Faktorisierung q (x) = x⁴ - 9x² + 4x + 12

Lösung

Zunächst werden die Zahlen von 12 Jahren gesucht, was der unabhängige Begriff ist; Diese sind ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 und ± 12.

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Dann wird das x durch diese Werte vom wenigsten bis zum größten ersetzt und so bestimmt, welche der Werte die Teilung genau sein wird; Das heißt, der Rest muss 0 sein:

x = -1

Q (-1) = (-1)⁴ - 9 (-1)² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1⁴ - 9 (1)² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2⁴ - 9 (2)² + 4 (2) + 12 = 0.

Und so weiter für jeden Divisor. In diesem Fall sind die gefundenen Faktoren für x = -1 und x = 2.

Die Ruffini -Methode wird nun angewendet, wonach die Expressionskoeffizienten durch die gefundenen Faktoren geteilt werden, damit die Teilung genau ist. Polynomische Begriffe werden von größer bis niedrigerer Exponent geordnet. In dem Fall, dass ein Begriff mit dem Abschluss fehlt, der in der Sequenz folgt, wird eine 0 platziert.

Die Koeffizienten befinden sich in einem Schema, das im folgenden Bild zu sehen ist.

Der erste Koeffizient wird gesenkt und vom Divisor multipliziert. In diesem Fall ist der erste Divisor -1 und das Ergebnis in der folgenden Spalte platziert. Dann wird der Wert des Koeffizienten mit diesem erhaltenen Ergebnis vertikal hinzugefügt und das Ergebnis unten platziert. Auf diese Weise wird der Vorgang bis zur letzten Spalte wiederholt.

Dann wird die gleiche Prozedur wieder wiederholt, jedoch mit dem zweiten Divisor (der 2), weil der Ausdruck noch vereinfacht werden kann.

Für jede Wurzel hat das Polynom einen Begriff (x - a), wobei „a“ der Wert der Wurzel ist:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Andererseits sollten diese Begriffe mit dem Rest multipliziert werden, der von der Regel von Ruffini 1: 1 und -6 verbleibt, die Faktoren sind, die einen Abschluss darstellen. Auf diese Weise bildet der Ausdruck: (x² + X - 6).

Das Ergebnis der Polynomfaktorisierung nach Ruffinis Methode zu erhalten, ist:

X⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (X² + X - 6)

Schließlich kann das im vorherige Ausdruck angezeigte Polynom des Grades 2 als (x+3) (x-2) neu geschrieben werden. Daher ist die endgültige Faktorisierung:

X⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2)_*(x+3)_*(X-2).

Verweise

1. Arthur Goodman, L. H. (neunzehn sechsundneunzig). Algebra und Trigonometrie mit analytischer Geometrie. Pearson Ausbildung.
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3. Manuel Morillo, a. S. (S.F.). Grundlegende Mathematik mit Anwendungen.
4. Roelse, p. L. (1997). Lineare Methoden zur Polynomfaktorisierung über endliche Felder: Theorie und Implementierungen. Universität Essen.
5. Sharpe, d. (1987). Ringe und Faktorisierung.