Gemeinsame Faktorisierungsbeispiele und Übungen

Der Gemeinsame Faktorisierung einer algebraischen Expression besteht darin, zwei oder mehr Faktoren zu bestimmen, deren Produkt gleich der vorgeschlagenen Expression ist. Auf diese Weise beginnt der Faktorisierungsprozess immer nach dem gemeinsamen Faktor, und beginnt immer.

Dazu wird beobachtet, ob ein gemeinsamer Begriff vorhanden ist, der sowohl Buchstaben als auch Zahlen sein kann. In Buchstaben werden die gemeinsamen Literalen als gemeinsamer Faktor für alle Begriffe angesehen.

Abbildung 1. Bei der gemeinsamen Faktorisierung werden Literale und Koeffizienten für jeden Begriff gesucht. Quelle: Pixabay/F. Zapata.

Das Produkt beider gemeinsamer Faktoren, sofern es sich von 1 unterscheidet, ist der gemeinsame Faktor des Ausdrucks. Sobald festgestellt wurde, dass die endgültige Faktorisierung durch Aufteilung jedes Terms zwischen diesem Faktor festgestellt wurde.

Hier ist ein Beispiel dafür, wie es geht, indem dieses Trinom berücksichtigt wird:

4x⁵-12x³+8x²

Es ist zu sehen, dass alle Begriffe das wörtliche "x" enthalten, dessen geringste Kraft x ist². Was die numerischen Koeffizienten betrifft: 4, -12 und 8 sind alle Vielfachen von 4. Daher ist der gemeinsame Faktor 4x².

Sobald der Faktor gefunden wurde, ist jeder Term des ursprünglichen Ausdrucks zwischen ihm aufgeteilt:

• 4x⁵ / 4x² = x³
• -12x³ / 4x² = -3x
• 8x²/ 4x² = 2

Schließlich wird der Ausdruck als Produkt des gemeinsamen Faktors und der Summe der Ergebnisse der vorherigen Operationen wie folgt umgeschrieben:

4x⁵-12x³+8x² = 4x² (X³ - 3x +2)

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Wie man faktorisiert, wenn es keinen gemeinsamen Faktor gibt

Wenn der gemeinsame Faktor nicht wie im vorherigen Beispiel erkennbar ist, ist es immer noch möglich, den Ausdruck sorgfältig zu beobachten, um festzustellen, ob es möglich ist, eine der folgenden Methoden zu implementieren:

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Unterschied von zwei perfekten Feldern

Es ist ein Binomialausdruck von Form:

Zu² - B²

Dies kann durch die Anwendung des bemerkenswerten Produkts ein Faktor sein:

Zu² - B² = (a+b) ≤ (a-b)

Das Verfahren ist das nächste:

-Extrahieren Sie zuerst die quadratische Wurzel der einzelnen der perfekten Quadrate.

-Bilden Sie dann das Produkt zwischen der Summe dieser Wurzeln und seiner Differenz, wie angegeben.

Perfekte quadratische Trinom

Die Trinome der Form:

X² ± 2a · x + a²

Sie berücksichtigen durch das bemerkenswerte Produkt:

(x+a)² = x² ± 2a · x + a²

Um diese Faktorisierung anzuwenden, muss bestätigt werden.

Trinom der x Form² + mx + n

Wenn der Trinom zu Faktor nicht zwei perfekte Quadrate hat, wird er versucht, ihn als Produkt von zwei Begriffen zu schreiben:

X² + mx + n = x² + (a + b) x + ab = (x + a) (x + b)

Wo sollte es erfüllt werden, wann immer:

N = aëb

M = a+b

Faktorisierung durch Gruppierung von Begriffen

Manchmal hat der Ausdruck als Faktor keinen gemeinsamen Faktor, und er entspricht auch nicht einer der oben beschriebenen Fälle. Wenn jedoch die Anzahl seiner Begriffe ausgeglichen ist, kann dieses Verfahren vor Gericht gestellt werden:

-Gruppenpaare, die einen gemeinsamen Faktor haben.

-Fakten jedes Paar durch gemeinsamen Faktor, so dass die Begriffe in Klammern gleich sind, dh, so dass die Klammern ein gemeinsamer Faktor ist. Wenn es mit der gewählten Gruppe nicht der Fall ist, müssen Sie es mit einer anderen Kombination versuchen, um sie zu finden.

-Die gesuchte Faktorisierung ist das Produkt der Begriffe innerhalb der Klammern für die gemeinsamen Faktoren jedes Paares.

Die Beispiele, die dazu beitragen, die erörterten Fälle zu klären.

Beispiele

Faktor die folgenden algebraischen Ausdrücke:

A) 6AB² - 18²B³

Dies ist ein Beispiel für einen gemeinsamen Faktor. Beginnend mit dem wörtlichen Teil sind die Buchstaben A und B in den beiden Begriffen vorhanden. Für die Variable "a" ist der kleine Exponent 1 und befindet sich in Term 6ab², Während für den Buchstaben "B" der kleine Exponent b ist².

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Dann ab² Es ist ein häufiger Faktor im ursprünglichen Ausdruck.

Was die Zahlen betrifft, gibt es 6 und -18, letzteres ist ein Vielfaches von 6, da -18 = -(6 × 3). Daher ist der 6 ein numerischer Koeffizient des gemeinsamen Faktors, der mit dem wörtlichen Teil multipliziert ist:

6ab²

Jetzt wird jeder ursprüngliche Begriff durch diesen gemeinsamen Faktor geteilt:

• 6ab² ÷ 6AB² = 1
• (-18²B³) ÷ 6AB² = -3ab

Schließlich wird der ursprüngliche Ausdruck als Produkt zwischen dem gemeinsamen Faktor und der algebraischen Summe der im vorhergehenden Schritt gefundenen Begriffe neu geschrieben:

6ab² - 18²B³ = 6ab² ≤ (1-3ab)

b) 16x² - 9

Dieser Ausdruck ist ein Unterschied zu perfekten Quadraten. Durch die Extrahiere von quadratischen Wurzeln zu beiden Begriffen wird daher erhalten:

√ (16x²) = 4x

√9 = 3

Der ursprüngliche Ausdruck wird als Produkt der Summe dieser quadratischen Wurzeln durch seine Differenz geschrieben:

16x² - 9 = (4x+3) (4x-3)

c) z² + 6z + 8

Es ist ein Trinom der X -Form² + MX + N, da 8 kein perfektes Quadrat einer anderen ganzen Zahl ist, müssen Sie zwei Zahlen A und B finden, so dass sie gleichzeitig entsprechen:

• Zu.B = 8
• A + b = 6

Von Tanteo, dh Testing, sind die gesuchten Zahlen 4 und 2, da:

4 × 2 = 8 und 4 + 2 = 6

So:

z² + 6z+8 = (z+4) ≤ (z+2)

Der Leser kann überprüfen und verteilende Eigenschaften auf der rechten Seite der Gleichheit anwenden, dass beide Ausdrücke gleichwertig sind.

d) 2x² - 3xy - 4x + 6y

Dieser Ausdruck ist ein Kandidat für die Faktorisierung durch Gruppierung von Begriffen, da für das bloße Auge keinen gemeinsamen Faktor offensichtlich ist und auch ein paar Begriffe hat.

Es ist wie folgt gruppiert und weiß, dass die Reihenfolge der Ergänzungen die Summe nicht ändert:

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2x² - 3xy + 4x - 6y = (2x² -3xy) + (4x-6y)

Jede Klammern hat ihren eigenen gemeinsamen Faktor:

(2x²  - 3xy) + (4x-6y) = x (2x-3y) + 2 (2x-3y)

Der endgültige gemeinsame Faktor wurde bereits enthüllt: Es ist die Klammern, die in beiden Begriffen (2x -3y) wiederholt wird.

Jetzt kann es wieder Faktor sein:

• x (2x-3y) ÷ (2x-3y) = x
• 2 (2x-3y) ÷ (2x-3y) = 2

Deshalb:

2x² - 3xy + 4x - 6y = (2x -3y) (x + 2)

Auch hier kann der Leser die Verteilungseigenschaft auf das Recht der Gleichheit anwenden, um die Gleichheit zu bestätigen.

Gelöste Übungen

Faktorisieren:

a) und² - 10y + 25

b) 4x² + 12xy + 9y²

c) x² + 5x - 14

d) 3⁴ + Zu³ + 15a + 5

Lösung für

Es ist ein perfekter quadratischer Trinom, es beginnt mit der Suche nach der Quadratwurzel der perfekten quadratischen Begriffe:

√ (und²) = y

√ 25 = 5

Es wird verifiziert, dass der Begriff des Zentrums das Doppelprodukt dieser beiden ist:

10y = 2. 5. Und

Und die gesuchte Faktorisierung ist:

Und² - 10y + 25 = (y-5)²

Lösung b

Der Ausdruck ist auch ein perfekter quadratischer Trinom:

√ (4x²) = 2x

√ (9y²) = 3y

Der zentrale Begriff wird verifiziert:

12 x 2 x 2 x 3y

Endlich:

4x² + 12xy + 9y² = (2x+3y)²

Lösung c

Das Problem ist ein Trinom vom Typ x x² + MX + N:

n = a asch = -14 = 7 x ( - 2)

m = a + b = 5 = 7 + (- 2) = 5

Die entsprechenden Zahlen sind 7 und -2:

X² + 5x - 14 = (x +7) (x - 2)

Lösung d

3⁴ + Zu³ + 15a + 5 = (3a⁴ + Zu³) + (15a + 5)

Der gemeinsame Faktor von (3⁴ + Zu³) Das³ und das von (15a + 5) ist 5 und wird wie folgt gruppiert:

(3⁴ + Zu³) + (15a + 5) = a³ (3a+1) +5 (3a+1) = (3a+1) (a³ + 5)

Figur 2. Faktorisierungsübungen zum Üben. Quelle: f. Zapata.

Verweise

1. Baldor, a. 2005. Algebra. Kulturelle Heimatgruppe.
2. Larson, r. 2012. Vorkalkulation. 8. Auflage. Cengage Lernen.
3. Mathord. Faktorisierung. Erholt von: Mathworld.Wolfram.com.
4. Mathord. Polynomfaktorisierung. Erholt von: Mathworld.Wolfram.com.
5. Stewart, J. 2007. Präzision: Mathematik zur Berechnung. 5. Auflage. Cengage Lernen.
6. Zill, d. 1984. Algebra und Trigonometrie. McGraw Hill.