Partialbrüche

Die Zersetzungsmethode in Teilbrüchen wird verwendet, um Integrale zu lösen. Quelle: f. Zapata.

Was sind teilweise Brüche?

Die Methode von Partialbrüche o Einfache Fraktionen werden in Algebra und mathematischer Berechnung verwendet, um einen rationalen Ausdruck zu zersetzen und eine algebraische Summe einfacherer Fraktionen zu hinterlassen.

Als zusätzliche einfache Fraktionen wird die Berechnung von Operationen wie Derivaten und Integralen unter anderem erleichtert.

Betrachten Sie den folgenden rationalen algebraischen Expression, der aus Polynomen P (x) und q (x) im Zähler bzw. dem Nenner besteht:

Sie möchten diesen Ausdruck als die Summe kleinerer Fraktionen schreiben. Dazu ist zu beachten, dass Polynom q (x) im Nenner ein quadratischer Trinom ist, der als Produkt von zwei Faktoren schnell faktorisch sein kann:

X²+x - 12 = (x+4) (x - 3)

Daher bleibt der vorherige Ausdruck wie folgt:

Wenn Sie die Summe der Brüche kennen, führt diese Art, den Ausdruck leicht zu schreiben, leicht zu diesem anderen:

Es bleibt bleibt, die Werte von A und B zu finden, so dass der ursprüngliche Ausdruck als Summe dieser beiden kleineren Fraktionen ausgedrückt wird. Für das gezeigte Beispiel sind die Werte: a = 3 und b = 2, und der Leser kann bestätigen, dass tatsächlich die Summe:

Es entspricht dem ursprünglichen Ausdruck:

Angesichts dessen:

Wie werden teilweise Fraktionen berechnet??

Es gibt Methoden zur Berechnung der Koeffizienten, die in den Zähler der einfachen Fraktionen auftreten müssen, die von der Form des ursprünglichen rationalen Ausdrucks abhängen, dh von der Form von P (x)/q (x).

Erstens muss daran erinnert werden eigener rationaler Ausdruck, Und wenn das Gegenteil auftritt, ist es a unsachgemäßer rationaler Ausdruck.

Die Methoden, um sich in einfachen Brüchen zu zersetzen.

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Dann ist es das Ziel, die Zähler jeder der Fraktionen zu finden, für die vier Fälle unterschieden werden, was von der Faktorisierung des Nenner Q (x) abhängt.

Fall 1: Die Faktoren von Q (x) sind linear und nicht wiederholt

Wenn die Faktoren von Q (x) linear und nicht wiederholt sind, sind sie von der Form (x-a_Yo):

Q (x) = (x -a₁)(für₂)… (für_N)

Mit einem₁ ≠ a₂  ≠ a₃ … ≠ a_N, Das heißt, alle Faktoren von q (x) sind unterschiedlich, der rationale Ausdruck ist geschrieben als:

Die Werte von a₁, ZU₂, ZU₃… ZU_N, Sie müssen bestimmt werden. Der am Anfang gezeigte rationale Ausdruck ist ein Beispiel für diesen Fall.

Fall 2: Q (x) hat wiederholte lineare Faktoren wiederholt

Wenn q (x) aus einem wiederholten Faktor der Form (x - a) besteht^N, Bei n ≥ 2 wird die Zersetzung in Teilfraktionen wie folgt durchgeführt:

Wie im vorherigen Fall müssen Koeffizienten durch algebraische Verfahren bestimmt werden.

Fall 3: Q (x) hat einen nicht reponierten, nicht reduzierbaren quadratischen Faktor

Wenn durch Berücksichtigung von q (x) ein irreduzibler quadratischer Faktor der AX -Form erscheint²+BX+C für diesen Faktor muss in der Zersetzung einbezogen werden, ein Hinzufügen mit dieser Form:

Die Werte von A und B müssen gefunden werden.

Fall 4: Q (x) hat einen nicht reduzierbaren und wiederholten quadratischen Faktor

Angenommen, die Faktorisierung von Q (x) enthält einen irreduziblen und wiederholten quadratischen Faktor²+BX+C)^N, Die folgenden Addoren müssen enthalten sein:

Wie immer müssen die notwendigen Koeffizienten berechnet werden. Die folgenden Beispiele zeigen die erforderlichen algebraischen Verfahren.

Beispiele für Teilbrüche

Beispiel 1

Der folgende eigene rationale Ausdruck:

Es wird bereits mit dem faktorisierten Nenner geliefert, der aus zwei nicht wiederholten linearen Faktoren besteht, also ist Q (x):

Q (x) = (x+2) (x -1)

Anschließend entspricht die Zersetzung in teilweisen Fraktionen, die in der Lage sind, zu schreiben:

Um die jeweiligen Werte von A und B zu finden, wird die Summe der Gleichheit durchgeführt:

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Ausgleichszahlen:

A (x - 1) + b (x + 2) = 3x

Anwenden von Verteilungseigenschaften und Gruppierung ähnlicher Begriffe:

AX - A + BX + 2B = 3x

(A +b) x +( - a +2b) = 3x

Der Koeffizient (A+B) entspricht 3, da beide zu beiden Seiten der Gleichheit zu dem Begriff "x" begleitet werden, zu dem Begriff, der "x" enthält, enthält. Der Koeffizient (−a+2b) ist gleich 0, da es rechts auf Gleichheit Recht gibt, keinen anderen ähnlichen Term.

Anschließend wird das folgende System von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten gebildet:

A+b = 3
−a+2b = 0

Deren Lösung ist:

A = 2
B = 1

Deshalb:

Der Leser kann die Gleichheit überprüfen und die Summe der Abschnitte rechts durchführen.

Beispiel 2

In diesem anderen Ausdruck:

Auch faktorisiert wird das Erscheinungsbild des wiederholten Term (x+1) beobachtet², Zusätzlich zum linearen Term (x+2). In diesem Fall lautet die Zersetzung in Teilfraktionen, wie in Fall 2 angegeben,:

Um die Werte von A, B und C zu finden, wird die Summe des Rechts ausgeführt und nur der Zähler wird verwendet:

Der Zähler des resultierenden Ausdrucks entspricht dem des ursprünglichen Ausdrucks und entwickelt sich algebraisch, um die ähnlichen Begriffe zu trennen:

A (x+1)² + B (x+2) (x+1)+c (x+2) = x - 3

A (x²+2x+1)+b (x²+3x+2)+c (x+2) = x --3

(A+b) x² + (2a+3b+c) x+(a+2b+2c) = x - 3

Aus dem Ergebnis ein System von drei Gleichungen mit drei Unbekannten A, B und C:

A + b = 0
2a+3b+c = 1
A+2b+2c = -3

Die Systemlösung lautet:

A = –5
B = 5
C = –4

Die Zersetzung in angeforderten Teilbrüchen lautet:

Übung gelöst

Dieser Abschnitt zeigt eine aufgelöste Übung, die die Anwendung der Methode der teilweisen Brüche oder einfachen Brüche auf die Berechnung von unbestimmten Integralen veranschaulicht. Das Ziel ist es, die Integration einfacher zu schreiben.

Sobald neu geschrieben wurde, werden die resultierenden einfachen Integrale in einer Tabelle gesucht oder durch eine einfache variable Änderung gelöst.

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Es wird gebeten, das folgende Integral zu berechnen:

Lösung

Das erste ist zu überprüfen. Sein Nenner ist leicht zu berücksichtigen und bleibt übrig:

Daher ist Q (x)::

Q (x) = x (x²+2)

Und es besteht aus einem linearen Begriff: x und einem nicht reduzierbaren quadratischen Begriff nicht wiederholt: x x²+2, daher handelt es sich um eine Kombination aus Fall 1 und Fall 3. Die Zersetzung in Teilfraktionen der Integration ist:

Machen Sie die Summe rechts von Gleichheit:

Wie immer funktioniert für teilweise Brüche nur mit dem Zähler des Summenausdrucks, der immer gleich dem des ursprünglichen Ausdrucks sein sollte:

A (x² + 2) + x (bx + c) = 2

Entwicklung:

Axt² + 2a + bx² + CX = 2

Gruppierung ähnlicher Begriffe:

(A+b) x² + Cx + 2a = 2

Gleich den Koeffizienten der ähnlichen Begriffe wird das zu gelöste Gleichungssystem mit den Unbekannten A, B und C erhalten:

A + b = 0
C = 0
2a = 2

Aus der zweiten Gleichung ist bereits bekannt, dass c = 0 aus der letzten aus folgt, dass a = 1, daher b = -1, so dass der erste. Mit diesen Werten wird es erhalten:

Jetzt wird es im ursprünglichen Integral ersetzt:

Und zwei einfache Integrale mit Elementarfunktionen werden erhalten, die in den Tabellen oder eine schnelle Auflösung enthalten sind.

Die erste ide dieser Integral ist elementar:

Und das zweite Integral:

Es wird mit der folgenden Variablenänderung aufgelöst: u = x²+4, du = 2xdx, das entsteht::

Rückgabe des Variablenwechsels:

Schließlich wird die Lösung bestimmt, beide Ergebnisse zu sammeln:

Die beiden Integrationskonstanten gehen in einen ein, genannt C.

Verweise

1. Araujo, f. 2018. Integralrechnung. Salesianische Polytechnische Universität. Abya-Yala University Editorial. Quito, Ecuador.
2. Arcega, r. Integration durch Zersetzung in Teilbrüche. Geborgen von: VAIEH.Edu.mx.
3. Larson, r. 2012. Vorkalkulation. 8. Auflage. Cengage Lernen.
4. Purcell, e. J. 2007. Berechnung. 9na. Auflage. Prentice Hall.
5. Swokowski, e. 2011. Algebra und Trigonometrie mit analytischer Geometrie. 13. Auflage. Cengage Lernen.