Allgemeine Formel quadratische Gleichungen, Beispiele, Übungen

Der Allgemeine Formel, das ist auch als die bekannt Lösungsmittelformel In einigen Texten wird es verwendet, um Gleichungen zweiten Grades zu lösen: Axt² + BX + C = 0.

In ihnen Zu, B Und C Sie sind echte Zahlen mit der Bedingung, dass Zu unterscheidet sich von 0, Sein X Das Unbekannte. Dann präsentiert die allgemeine Formel die Freigabe des Unbekannten durch einen Ausdruck, der die Werte von beinhaltet Zu, B Und C folgendermaßen:

Abbildung 1. Die allgemeine Formel in Mathematik wird verwendet, um quadratische Gleichungen zu lösen. Quelle: f. Zapata.

Und durch diese Formel finden Sie die Lösung einer beliebigen zweiten Grad- oder quadratischen Gleichung, sofern diese Lösung vorliegt.

Laut Historikern war die allgemeine Formel bereits durch die alte babylonische Mathematik bekannt. Es wurde anschließend an andere Völker wie die Ägypter und die Griechen durch den kulturellen Austausch übertragen.

Die Formel und ihre Varianten kamen dank der muslimischen Mathematiker in Europa an. Sie benutzten jedoch nicht die algebraische Notation, die wir derzeit verwenden. Diese Notation ist auf den kryptografischen Experten des französischen Mathematikers und den 16. Jahrhundert zurückzuführen.

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Quadratische Gleichungen nach der allgemeinen Formel

Mal sehen, wie die allgemeine Formel entsteht, um ihre Gültigkeit zu überprüfen. Ausgehend von einer allgemeinen quadratischen Gleichung:

Axt² + BX + C = 0

Lassen Sie uns einige einfache algebraische Manipulationen in die Praxis umsetzen, um die Freigabe des Unbekannten zu erreichen. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, dies zu tragen, z.

Demonstration der allgemeinen Formel

Wir fügen mit (-C) auf beiden Seiten der Gleichheit hinzu:

Axt² + Bx = - c

Und jetzt wird es mit 4a multipliziert, immer auf beiden Seiten der Gleichheit, um den Ausdruck nicht zu verändern:

4² X² + 4AB x = - 4AC

Hinzufügen b²:

4²≤ x² + 4AB·x + b² = - 4AC + B²

Der Zweck dieser. Daher:

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-Der erste Term: 4² X² Es ist das perfekte Quadrat von 2AX

-Der letzte, der b ist², Es ist das perfekte Quadrat von B.

-Und der zentrale Begriff ist das Doppelprodukt von 2AX und B: 2offe 2AXX = 4ABX

Deshalb haben wir ein quadratisches Binomial:

4²≤ x² + 4AB·x + b² = (2AX + B)²

Und wir können schreiben:

(2AX + B)² = - 4AC + B²

Wir sind einen Schritt von der Entfernen des Unbekannten entfernt X:

Und wir erhalten bereits die allgemeine Formel, die wir kennen:

Es gibt andere Möglichkeiten, um die quadratische Gleichung algebraisch zu manipulieren und dasselbe Ergebnis zu erzielen.

Beispiele für die Verwendung der allgemeinen Formel

Um die allgemeine Formel anzuwenden, werden die Werte von A, B und C sorgfältig bestimmt und in der Formel ersetzt. Beachten Sie das Symbol mehr weniger im Zähler; Dies zeigt an, dass wir zwei Möglichkeiten bezüglich des Betriebs berücksichtigen müssen, eines mit dem Zeichen + und einem mit dem Zeichen -.

Die quadratische Gleichung kann die folgenden Lösungen entsprechend dem Wert der subradikalen Menge haben, die als bekannt als diskriminieren:

-Ja b² - 4AC> 0, die quadratische Gleichung hat zwei reale und unterschiedliche Lösungen.

-Wenn b² - 4AC = 0, die Gleichung hat eine eindeutige Lösung, die von:

x = -b/2a

-Schließlich, wenn b² - 4AC < 0, la ecuación no tiene soluciones reales, pero sí tiene soluciones complejas.

Schauen wir uns einige Beispiele an, in denen die allgemeine Formel angewendet wird, und bemerkt, dass wenn eines der Koeffizienten, die das Unbekannte begleiten. Und wenn der unabhängige Begriff derjenige ist, der nicht gefunden wird, dann ist er 0 wert.

- Beispiel 1

Lösen Sie die folgenden quadratischen Gleichungen:

A) 6x² + 11x -10 = 0

b) 3x² -5x -1 = 0

Antwort auf

Wir schreiben die Koeffizienten jedes Begriffs: a = 6, b = 11, c = -10 und ersetzen die Werte in der allgemeinen Formel:

Kann Ihnen dienen: Besteuerung

x = (-11 ± 19) /12

Das Ergebnis führt zu den folgenden zwei realen Lösungen:

X₁ = (-11 + 19)/12 = 8/12 = 2/3

X₂ = (-11 -19)/12 = -5/2

Antwort b

Wieder werden die Koeffizienten bestimmt: a = 3, b = -5 und c = -1. Durch Ersetzen in der Formel:

Im Gegensatz zum vorherigen Fall ist die Quadratwurzel von 37 keine Ganzzahl, aber wir können auch die beiden Lösungen erhöhen und die Wurzel verlassen oder den entsprechenden Dezimalwert mit Hilfe des Taschenrechners finden:

X₁ = (-5 + √37)/6 ≈ 0.18

X₂ = (-5 - √37)/6 ≈ - 1.85

- Beispiel 2

Lösen Sie die Gleichung zweiten Grades x² - 4x +13 = 0.

Antworten

Wie immer identifizieren wir die Werte der Koeffizienten und ersetzen die allgemeine Formel: a = 1, b = - 4, c = 13. Dies führt zu:

Wir haben eine negative Wurzel, daher sind die Lösungen dieser Gleichung komplexe Zahlen. Die Wurzel kann in Bezug auf ausgedrückt werden Yo, Die Imaginäre Einheit:

√ (36i²) = 6i

Seit ich² = -1, daher sind die komplexen Lösungen:

X₁ = (4 + 6i)/2 = 2 + 3i

X₂ = (4 - 6i)/2 = 2 - 3i

Übung gelöst

Eine 10 m lange Treppe ruht an einer vertikalen Wand, mit dem Fuß 6 m von dieser Wand entfernt. Die Treppe rutscht und der Fuß ist 3 m mehr von der Basis getrennt.

Finden Sie die vertikale Entfernung, die durch die Oberseite der Treppe verläuft.

Figur 2. Eine Treppe, die an einer Wand getragen wird, rutscht ein wenig aus und der obere Stopp bewegt. Quelle: f. Zapata.

Lösung

Um den vertikalen Abstand zu finden, der die Oberseite der Treppe schiebt, müssen Sie die Position finden, in der sie ursprünglich in Bezug auf den Boden ging. Wir können es mit dem Pythagoras -Theorem machen, weil die gebildete Figur die eines rechten Dreiecks ist:

H = (10² - 6²) ^½ = 8 m

Sobald die Treppe rutscht, bewegt sich eine Entfernung D, Messen Sie, da die Oberseite 8 m hoch war, bis sie seine neue Position erreichte, auf (h-d) Messgeräten über dem Boden. Das Unbekannte zu klären ist D.

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Um es zu finden, schlagen wir ein neues Rechteck -Dreieck vor, das sich gebildet hat, nachdem die Leiter ein wenig rutscht. Dieses Dreieck hat immer noch Hypotenusa in Höhe von 10 m und der parallele Kateto beträgt jetzt 6m + 3 m = 9 m, deshalb:

(H-d)² = 10² - 9² = 100 - 81 = 19

Wir ersetzen H = 8m, zuvor berechnet:

(8-d)² = 19

Die Gleichung kann auf verschiedene Arten gelöst werden, einschließlich der Verwendung der allgemeinen Formel, die wir unten mit diesen Schritten anzeigen werden:

Schritt 1

Entwickeln Sie die bemerkenswerte Linke links:

64 -16d + D² = 19

Schritt 2

Legen Sie die Gleichung zweiten Grades für unbekanntes D fest:

D² - 16d + 45 = 0

Schritt 3

-Die Koeffizienten sind: a = 1, b = -16 und c = 45, wir ersetzen sie in der allgemeinen Formel:

Die Lösungen der Gleichung sind:

D₁ = (16 + √76)/2 ≈ 12.36 m

D₂ = (16 - √76)/2 ≈ 3.64 m

Schritt 4

Die erhaltenen Lösungen werden analysiert: Der erste ist nicht physisch sinnvoll, da die Leiter nicht möglich ist, 12 zu kompilieren.36 m, wenn ursprünglich der Stopp 8 m hoch auf dem Boden lag.

Daher ist die richtige Antwort die zweite Lösung: die Oberseite der Treppenschlupfe d = 3.64 m.

Kann der Leser das Problem lösen, indem er eine andere Methode anwendet??

Verweise

1. Baldor. 1977. Elementaralgebra. Venezolanische Kulturausgaben.
2. Hoffman, J. Auswahl der Mathematikfragen. Band 2.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Präzision: Mathematik zur Berechnung. 5. Auflage. Cengage Lernen.
5. Zill, d. 1984. Algebra und Trigonometrie. McGraw Hill.