Bijektive Funktion Was ist, wie ist es getan, Beispiele, Übungen

A Bijektive Funktion Es ist einer, der dem doppelten Zustand des Seins entspricht Injektiv und übersprachig. Das heißt, alle Elemente der Domäne haben ein einzelnes Bild im Codominium, und das Codominium entspricht dem Bereich der Funktion ( R_F ).

Es wird erfüllt, wenn eine biunivokale Beziehung zwischen den Elementen von Domäne und Codominium berücksichtigt wird. Ein einfaches Beispiel ist die Funktion F: r → R definiert durch die Linie F (x) = x

Quelle: Autor

Es wird festgestellt. Außerdem gibt es kein Codominium -Element, das kein Bild ist.

Daher F: r → R definiert durch die Linie F (x) = x ist bijektiv

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Wie ist eine Bijjektivfunktion??

Um darauf zu reagieren, ist es notwendig, klare Konzepte im Zusammenhang mit Injektivität Und Übereinheitlichkeit einer Funktion, Zusätzlich zu den Kriterien für Konditionierungsfunktionen, um sie an die Anforderungen anzupassen.

Injektivität einer Funktion

Eine Funktion ist Injektiv Wenn jedes der Elemente seiner Domäne mit einem einzelnen Element des Codominiums zusammenhängt. Ein Element des Codominiums kann nur ein Bild eines einzelnen Elements der Domäne sein. Auf diese Weise können die Werte der abhängigen Variablen nicht wiederholt werden.

Berücksichtigen Injektiv Das Folgende muss zu einer Funktion erfüllt sein:

∀ x₁  ≠ x₂   ⇒ f (x₁ ) ≠ f (x₂ )

Übereinheitlichkeit einer Funktion

Eine Funktion wird als klassifiziert als Überspring, Wenn jedes Element seines Codominiums ein Bild von mindestens einem Domänenelement ist.

Berücksichtigen Überspring Das Folgende muss zu einer Funktion erfüllt sein:

Kann Ihnen dienen: Ersatzprobenahme

Sei F: d_F → C_F

∀ B ℮ C_F  UND zu ℮  D_F   / F (a) = b

Dies ist die algebraische Art, dies für jedes „B“ zu ermitteln, das zu C gehört_F Es gibt ein "a", das zu D gehört_F so dass die in "a" bewertete Funktion gleich "b" ist. 

Konditionierung von Funktionen

Manchmal eine Funktion, die nicht ist Bijektiv, kann eine gewisse Konditionierung unterziehen. Diese neuen Bedingungen können es in a verwandeln Bijektive Funktion. Alle Arten von Modifikationen an der Domäne und dem Codominium der Funktion sind gültig, wobei das Ziel darin besteht.

Beispiele: gelöste Übungen

Übung 1

Sei die Funktion F: r → R definiert durch die Linie F (x) = 5x +1

A: [Alle reellen Zahlen]

Es wird beobachtet, dass für jeden Domänenwert ein Bild im Codominium vorhanden ist. Dieses Bild ist einzigartig, was macht F eins sein Injektivfunktion. Auf die gleiche Weise stellen wir fest, dass das Kodominium der Funktion gleich seinem Bereich ist. Somit den Zustand von erfüllen Übereinheitlichkeit.

Injektiv und übersprachig gleichzeitig zu dem Schluss ziehen, dass wir das schließen können

F: r → R definiert durch die Linie F (x) = 5x +1 ist ein Bijektive Funktion.

Dies gilt für alle linearen Funktionen (Funktionen, deren größerer Grad der Variablen eins ist).

Übung 2

Sei die Funktion F: r → R definiert von F (x) = 3x² - 2

Beim Zeichnen einer horizontalen Linie wird beobachtet, dass die Grafik mehr als einmal gefunden wird. Aus diesem Grund die Funktion F Es ist nicht injiziert und daher wird es nicht sein Bijektiv Während der Definition in R → R

Ebenso gibt es Codominiumwerte, die keine Bilder eines Domänenelements sind. Aus diesem Grund ist die Funktion nicht überspringend, was auch verdient, den Ankunftssatz zu konditionieren.

Kann Ihnen dienen: Set -Theorie: Merkmale, Elemente, Beispiele, Übungen

Die Domäne und das Codominium der Funktion sind konditioniert

                                               F: [0 , ∞] → [ - 2 , ∞ ]

Wo beobachtet wird, dass die neue Domäne Werte von Null bis positiv unendlich abdeckt. Vermeiden Sie die Wiederholung von Werten, die die Injektivität beeinflusst.

Somit wurde das Codominium modifiziert und zählt von „-2“ zur positiven Unendlichkeit, wodurch die Werte, die keinem Domänenelement entsprachen

Auf diese Weise kann sichergestellt werden F : [0 , ∞] → [ - 2 , ∞ ] definiert von F (x) = 3x² - 2

Es ist bijektiv

Übung 3

Sei die Funktion F: r → r definiert von F (x) = sin (x)

In der Pause [ -∞ , +∞ ] Die Sinusfunktion variiert ihre Ergebnisse zwischen Null und einem.

Quelle: Autor.

Die Funktion F Es entspricht nicht den Injektivitäts- und Überspritzkriterien, da die abhängigen Variablenwerte jedes π -Intervall wiederholt werden. Zusätzlich die Begriffe des Codominiums außerhalb des Intervalls [ -elf ] Sie sind kein Bild eines Domänenelements.

Beim Studium der Funktionsgrafiken F (x) = sin (x) Intervalle werden beobachtet, wo das Verhalten der Kurve die Kriterien von erfüllt Bijektivität. Wie das Intervall  D_F  = [  π/2,3π/2  ] Für Domain. UND C_F  = [-1, 1] Für Kodominium.

Wobei die Funktion variiert, die sich von 1 bis -1 ergibt, ohne einen Wert in der abhängigen Variablen zu wiederholen. Und gleichzeitig entspricht das CO -ANINIUM den Werten, die der Ausdruck angewendet haben Sünde (x)

Auf diese Weise die Funktion F: [  π/2,3π/2  ] → [-1, 1]  definiert von F (x) = sin (x). Es ist bijektiv

Übung 4

Die notwendigen Bedingungen für d erheben_F und C_F. So dass der Ausdruck

Kann Ihnen dienen: Stichprobenfehler: Formeln und Gleichungen, Berechnung, Beispiele

F (x) = -x²  Bijection sein.

Quelle: Autor

Die Wiederholung der Ergebnisse wird beobachtet, wenn die Variable entgegengesetzte Werte annimmt:

F (2) = f (-2) = -4

F (3) = f (-3) = -9

F (4) = f (-4) = -16

Die Domäne ist konditioniert und beschränkt sie auf die rechte Seite der realen Linie.

D_F = [0 , +∞ ]

Auf die gleiche Weise wird beobachtet, dass der Bereich dieser Funktion das Intervall ist [ -∞ , 0], was durch das Dienen als Codominium den Überlagungsbedingungen entspricht.

Auf diese Weise können wir daraus schließen

Der Ausdruck F: [0 , +∞ ] → [ -∞ , 0] definiert von F (x) = -x²   Es ist bijektiv

Vorgeschlagene Übungen

Überprüfen Sie, ob die folgenden Funktionen bijektiv sind:

F: [0 , ∞) → R definiert von F (x) = 3 (x + 1)²  +2

F: [ 3π/2,5π/2  ] → R definiert von F (x) = 5CTG (x)

F: [ -π,π  ] → R definiert von F (x) = cos (x - 3)

F: r → R definiert durch die Linie F (x) = -5x + 4

Verweise

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5. Mathematische Analyseprinzipien. Enrique Linés Escardó. LETORIAL REVERTé s. Bis 1991. Barcelona, ​​Spanien.