Wachsende Funktion, wie man es identifiziert, Beispiele, Übungen

Du hast ein wachsende Funktion Wenn der Wert von y zunimmt, wenn das X ebenfalls zunimmt, im Gegensatz zu den abnehmenden Funktionen, bei denen der Wert von und abnimmt, wenn das X zunimmt.

Die folgende Abbildung zeigt eine wachsende Funktion, und es wird deutlich beobachtet. Es wird gesagt, wenn für alles x₂ > x₁, Dann existiert es und₂ > und₁.

Abbildung 1. Eine wachsende Funktion. Quelle: f. Zapata.

Die Punkte p₁ Und P₂ Sie werden gezeigt, sie haben jeweils Koordinaten (x₁, Und₁) und (x₂,Und₂). Sie sind definiert:

Δy = y₂ -Und₁

Δx = x₂ -X₁

In dieser Funktion haben sowohl Δy als auch Δx ein positives Zeichen, was bedeutet, dass und₂ > und₁ und x₂ > x₁, bzw. Dies ist ein klares Zeichen dafür, dass die Funktion effektiv wächst.

Ein gutes Beispiel für immer wachsende Funktion (zunehmend eintönig) ist der neperische Logarithmus einer reellen Zahl. Je höher die Zahl ist, desto größer ist sein Logarithmus.

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Wie man eine wachsende Funktion identifiziert?

In einer einfachen und kontinuierlichen Funktion, wie in Abbildung 1 gezeigt, ist leicht zu bestimmen, ob die Funktion zunimmt oder abnimmt, vorausgesetzt, der Diagramm ist verfügbar.

Komplexere Funktionen können jedoch in einigen Intervallen wachsen und in anderen abnehmen. Deshalb reden wir darüber Wachstumsintervalle und abnehmen einer Funktion.

Im Netzwerk gibt es kostenlose Online -Grafiken wie GeoGebra, die Diagramme aller Arten von Funktionen ermöglichen. Mit dem Diagramm ist es leicht festzustellen, ob die Funktion immer zunimmt, z.

Kriterium des ersten Ableitung

In Anbetracht eines bestimmten numerischen Intervalls I steigt die Funktion, wenn der Quotient zwischen den Größen ΔY und ΔX positiv ist, die Funktion zunimmt. Und im Gegenteil, wenn es negativ ist, nimmt die Funktion ab.

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Sie müssen:

ΔY / Δx> 0 → Wachstumsfunktion

Die Tatsache, dass Δy / Δx> 0 und die Funktion in einem bestimmten Intervall zunehmen, legt nahe, dass die erste, die aus der Funktion oder ihres Vorzeichens abgeleitet wurde Intervall oder sogar an einem bestimmten Punkt Ihrer Domäne.

In der Tat ist das erste Ableitungsbereich in jedem Punkt als die Steigung der Kurve definiert:

Was bedeutet, dass Δx so klein wie Sie möchten. Wenn f '(x)> 0 für einen bestimmten Wert von x, zum Beispiel x = a.

Das folgende Satz bietet ein Kriterium an, um zu wissen, wann eine Funktion im Intervall (a, b) wächst:

Satz

Sei f (x) eine abendbare Funktion in (a, b). Wenn f '(x)> 0 für jeden Wert von X zu diesem Intervall, wird gesagt, dass f (x) in (a, b) wächst.

Der Satz wird angewendet, um herauszufinden, in welchen Intervallen die Funktion wächst, und folgt:

Schritt 1

Finden Sie die Punkte, an denen f '(x) = 0 sowie diejenigen, in denen f' (x) nicht existiert. Diese, genannt kritische Punkte, Dies sind Punkte, an denen F '(x) das Zeichen ändern kann, und daher hat F (x) die Möglichkeit, vom Wachstum zu Abnahme oder umgekehrt zu wechseln.

Schritt 2

Finden Sie das Zeichen von F '(x) für den willkürlichen Wert in jedem der Intervalle, die durch die in Schritt 1 gefundenen Punkte ermittelt werden.

Schritt 3

Verwenden Sie den Satz, um zu wissen, ob die Funktion in jedem Intervall wächst oder nicht.

Beispiele für wachsende Funktionen

Es gibt Funktionen, die einige Wachstumsintervalle und andere abnehmen, aber die unten gezeigten wachsen immer.

Gewicht basierend auf dem Alter

Das Gewicht der Person seit ihrer Geburt ist bis zu Ende der Adoleszenz fast immer eine wachsende Funktion des Alters. Babys und Kinder wachsen und entwickeln sich im Laufe der Jahre, und dann, wenn sie das Erwachsenenalter erreichen, wird erwartet, dass der Rest ihres Lebens ein stabiles Gewicht hat, obwohl die Höhen und Tiefen sehr häufig sind.

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Die Logarithmusfunktion

Die Funktionen des realen variablen Logarithmus Neperian f (x) = ln x und Dezimal -Logarithmus f (x) = log x wachsen immer.

Die Quadratwurzelfunktion einer reellen Zahl

Eine andere Funktion, die immer wächst, ist die Quadratwurzelfunktion einer positiven reellen Zahl:

y = √x

Die damit verbundene Funktion und lineare Funktion

Die damit verbundene Funktion:

f (x) = mx + b

Es wächst dann, wenn die Linie eine positive Neigung ist. In ähnlicher Weise Identität und lineare Funktionen:

f (x) = x und f (x) = ax mit a> 0

Sie wachsen in all ihrer Domäne.

Die exponentielle Funktion

Eine exponentielle Funktion wie f (x) = e^X  Und im Allgemeinen die Funktion der Form:

f (x) = a^X, Mit einem> 1

Sie wachsen in all ihrer Domäne.

Die potenzielle Impar -Indexfunktion

Die potenziellen Funktionen von ungeraden Exponenten wie folgt:

• f (x) = x³
• g (x) = x⁵

Sie wachsen immer.

Übungen

Übung 1

Bestimmen Sie, in welchen Intervallen die in der folgende Grafik dargelegte Funktion zunimmt:

Figur 2. Funktionen mit Wachstum und Abnahme von Intervallen. Quelle: f. Zapata.

Lösung

Wenn die Grafik verfügbar ist, wird aus seiner sorgfältigen Beobachtung festgestellt, dass die Funktion das folgende Verhalten hat:

-Von x → -∞ bis x = 0 steigt die Funktion, da die Werte von y immer weniger negativ werden. Es wurden kleine Steigungssegmente in lila gezeichnet, um die Steigung der Tangentenlinie an der Kurve an verschiedenen Stellen anzuzeigen (die Steigung der Tangente an die Kurve ist genau das erste Derivat).

Diese Segmente haben eine positive Steigung, daher stellt der Satz sicher, dass die Funktion in diesem Intervall wächst.

-Aber bei x = 0 wird die Steigung der Kurve abgebrochen, was mit einem kleinen horizontalen roten Segment angezeigt wird. Das ist ein kritischer Punkt der Funktion.

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Von dort aus beginnt die Funktion abzunehmen und wird negativer die Werte von und negativer. Diese Situation wird bis x = 2 fortgesetzt, was ein weiterer kritischer Punkt ist.

Im Intervall von x = 0 bis x = 2 nimmt die Funktion ab.

-Aus x = 2 wird die Funktion immer weniger negativ, bis bei x = 3 die x -Achse überschreitet und jedes Mal positiver wird. Daher ist dies ein Wachstumsintervall.

Schlussfolgerung: Die Wachstumsintervalle sind (-∞, 0) und (2, ∞+), während das Abnahmeintervall (0,2) beträgt (0,2).

Übung 2

Bestimmen Sie die Wachstumsintervalle der folgenden Funktion durch die Kriterien des ersten Ableitung:

f (x) = x² - 2x

Lösung

Nach den oben angegebenen Schritten wird die erste Ableitung berechnet und entspricht 0, um die kritischen Punkte zu finden:

f '(x) = 2x -2

2x - 2 = 0

x = 1

Dieser Wert bestimmt die Existenz der Intervalle (-∞, 1) und (1, ∞+). Es werden zwei willkürliche Werte ausgewählt, die zu jedem gehören:

-Für x = 0, was zu (-∞, 1) gehört, müssen Sie f '(0) = 2.0 - 2 = -2. In diesem Zusammenhang nimmt die Funktion in diesem Intervall ab.

-Für x = 3, gehört zu (1, ∞+), ist das erste Ableitungsabgang wert, (3) = 2.3 - 2 = 4. Da das Ergebnis positiv ist, wird der Schluss gezogen, dass die Funktion in diesem Intervall wächst.

Der Leser kann die ursprüngliche Funktion f (x) = x gratschen² - 2x in einer Online -Grafik, um dieses Ergebnis zu bestätigen.

Verweise

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6. Stewart, J. 2006. Präzision: Mathematik zur Berechnung. 5. Auflage. Cengage Lernen.