Abnahme der Funktion, wie sie identifiziert werden können, Beispiele, Übungen

A abnehmende Funktion F ist einer, dessen Wert mit zunehmender Wert von X abnimmt. Bedeutet, dass in einem bestimmten Intervall unter Berücksichtigung von zwei Werten x berücksichtigt wird₁ und x₂ so dass x₁ < x₂, dann f (x₁)> f (x₂).

Ein Beispiel für eine Funktion, die immer abnimmt, ist f (x) = -x³, deren Diagramm in der folgenden Abbildung zeigt:

Abbildung 1. Eine Funktion, die in seiner gesamten Domäne immer abnimmt, ist f (x) = -x^3. Quelle: f. Zapata durch GeoGebra.

Obwohl einige Funktionen wie diese dadurch gekennzeichnet sind. Die Untersuchung von Wachstums- und Abnahmeintervallen wird genannt Monotonie der Funktion.

Ebenso kann das Wachstum oder die Abnahme der Funktion an einem bestimmten Domänenpunkt berücksichtigt werden. Aber jede Funktion, die in einem bestimmten Intervall abnimmt, ist auch an jedem Punkt, der dazu gehört.

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Wie man eine abnehmende Funktion identifiziert?

Das Funktionsdiagramm zeigt visuell an, ob es abnimmt oder nicht. Wenn, wenn sie sich im zunehmenden Sinne des X bewegen, die Funktion "Abstieg", bedeutet dies, dass es abnimmt.

Und wenn Sie Intervalle haben, in denen es abwechselnd abnimmt und wächst, was am häufigsten ist, da diese durch die Beobachtung des Verhaltens der Funktion während ihrer gesamten Domäne deutlich aufgedeckt werden welches "abstammen".

Wenn das Funktionsdiagramm nicht verfügbar ist, kann analytisch festgestellt werden, ob es an einem Punkt oder in einem Intervall durch das erste Ableitungspunkt abnimmt.

Kriterium des ersten Ableitung

Beachten Sie das Verhalten der in Abbildung 2 gezeigten Abnahmefunktion. Die Pink Line -Segmente sind tangential zu den Punkten, deren Koordinaten [[a, f (a)] Und [A+h, f (a+h)] und eine negative Neigung haben.

Kann Ihnen dienen: Wie werden die Informationen in einer Umfrage erhalten??Figur 2. Die Steigung der Tangentenlinie zum Diagramm von F (x) ist bei x = a negativ, dann nimmt die Funktion an diesem Punkt ab. Quelle: f. Zapata.

Für diese Funktion wird Folgendes erfüllt:

F (a+h) - f (a) < 0 ⇒  F (a+h) < f (a)

Daher kann man angenommen werden, dass die Funktion in in der Abnahme des Ins abnimmt x = a.

Die erste, die aus der Funktion f (x) abgeleitet ist, die bei x = a bewertet wurde und per Definition die Steigung der Tangentenlinie zur Kurve bei x = a ist, ist gegeben durch:

Die Grenze zeigt an, dass der Wert von H so klein wie Sie möchten, und schlägt vor, dass das Zeichen von Fa), Es kann verwendet werden, um zu wissen, ob die Funktion an einem bestimmten Punkt abnimmt oder nicht.

Dann ja Fa) < 0, Es kann bestätigt werden, dass die Funktion abnimmt und im Gegenteil, wenn f '(a)> 0, Dann wächst die Funktion an diesem Punkt.

Theorem für die Verringerung und Wachstum von Funktionen

Zuvor wurde auf das Verhalten der Funktion an einem Punkt Bezug genommen. Der folgende Satz ermöglicht nun die Intervalle, in denen eine Funktion abnimmt, wächst oder konstant:

Sei f eine differenzierbare Funktion im Intervall (a, b). Es stimmt, dass:

-Ja f '(x) < 0 para todo x perteneciente a (a,b), entonces f(x) es decreciente en (a,b).

-Wenn im Gegenteil f '(x)> 0 für alle x zu (a, b), wird gesagt, dass die Funktion f (x) in (a, b) wächst.

-Schließlich, wenn f '(x) = 0 für alle x, die zum Intervall (a, b) gehört, in diesem Intervall konstant ist.

Demonstration

Angenommen f '(x) < 0 para cualquier valor de x en el intervalo (a,b), además se tienen x₁ und x₂ Zugehörigkeit zu diesem Intervall und der Bedingung, die x₁< x₂.

Der Durchschnittswertsatz stellt fest, dass zwischen x eine reelle Zahl c besteht₁ und x₂, so dass:

Kann Ihnen dienen: gemeinsamer Faktor für Gruppierungsbegriffe: Beispiele, Übungen

Wie seit x festgelegt₁< x₂,  Δx ist positiv. Also, da f '(c) negativ ist, also ist ΔY auch. Deshalb F (x₁) ist größer als F (x₂) Und die Funktion nimmt effektiv an allen Punkten im Intervall (a, b) effektiv ab.

Schritte, um zu wissen, ob eine Funktion abnimmt

Um die Intervalle der Abnahme und des Wachstums einer Funktion durch Anwenden des vorherigen Satzes zu ermitteln, werden diese Schritte befolgt:

-Finden Sie den ersten abgeleiteten aus der Funktion und stimmen Sie sie mit Null ab, wodurch die resultierende Gleichung gelöst wird. Bestimmen Sie auch die Punkte, an denen das Derivat nicht existiert.

Alle diese Punkte werden genannt kritische Punkte Und es ist notwendig, sie zu finden, da in ihnen das Derivat die Möglichkeit hat, ihr Zeichen zu ändern, was darauf hinweist.

-Die Domäne der Funktion wird in Intervalle unterteilt, an denen die Punkte bestimmt werden.

-Schließlich wird das Zeichen des Derivats an einem willkürlichen Punkt untersucht, der zu jedem der im vorherigen Schritt erhaltenen Intervalle gehört.

Beispiele für abnehmende Funktionen

Die Funktionen nehmen nicht alle mit gleicher Geschwindigkeit ab, einige tun es schneller als andere. Die folgenden Funktionen, die in der Praxis häufig erscheinen, nehmen ab:

Die exponentielle Funktion

Eine Funktion der Form f (x) = a^X, Mit einem zwischen 0 und 1, nicht einbezogenen, nimmt sie in ihrer gesamten Domäne schnell ab.

Funktion 1/x

Durch ein Online -Grafikprogramm als Geogebra wird das Diagramm der Funktion f (x) = 1/x erstellt, was bestätigt, dass es in seiner gesamten Domäne abnimmt.

Figur 3. Die Funktion f (x) = 1/x nimmt ab. Quelle: f. Zapata durch GeoGebra.

Die damit verbundene Funktion

Die Funktionen der Form y = mx + b mit m<0 tienen gráficas que son rectas de pendiente negativa y por lo tanto son funciones decrecientes.

Kann Ihnen dienen: mathematische Gleichheit

Übung gelöst

Finden Sie gegebenenfalls die Abnahmeintervalle der Funktion:

f (x) = x⁴ - 6x² - 4

Lösung

Der erste Schritt ist zu finden f '(x):

f '(x) = 4x³ - 12x

Die erste Ableitung von F (x) ist eine kontinuierliche Funktion, dh keine Diskontinuitätspunkte, sondern wird in:

4x³ - 12x = 0 = 4x (x²-3) = 0

Die Lösungen dieser Gleichung sind: x₁ = 0, x₂ = - √3 und x₃ = √3. Dies sind die kritischen Punkte, die die Domäne von F (x) in die Intervalle teilen: (-∞,- √3); (- √3.0); (0, √3); (√3, ∞+).

Dann wird der erste abgeleitete in einem willkürlichen X -Wert bewertet, der zu jedem Intervall gehört. Diese Werte wurden ausgewählt:

Für (-∞,- √3)

F '(-2) = 4 (-2)³ - 12x (-2) = -32+24 = -8

Für (- √3.0)

F '(-1) = 4 (-1)³ - 12x (-1) = -4+12 = 8

Für (0, √3)

f '(1) = 4 (1)³ - 12x (1) = 4-12 = -8

Für (√3, ∞+)

f '(2) = 4 (2)³ - 12x (2) = 32-24 = 8

Wie mehrere Intervalle ist es eine gute Idee, eine Tabelle zu erstellen, um die Ergebnisse zu organisieren. Der Aufwärtspfeil zeigt an, dass die Funktion wächst und abnimmt, was abnimmt:

Es wird der Schluss gezogen, dass die Funktion in den Intervallen (-∞,- √3) und (0, √3) abnimmt und in den verbleibenden Intervallen wächst. Die ursprüngliche Funktion in GeoGebra wird einfach durch Grafik überprüft.

Verweise

1. Ayres, f. 2000. Berechnung. 5ed. Mc Graw Hill.
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4. Matemobile. Funktionen, wachsen, abnehmen und konstant. Erholt von: Matemovil.com
5. Stewart, J. 2006. Präzision: Mathematik zur Berechnung. 5. Auflage. Cengage Lernen.