Gestaffelte Funktionseigenschaften, Beispiele, Übungen

Der gestaffelte Funktion y = s (x) ist eine in Stücken oder Teilen definierte Funktion₀ < x₁ < x₂ <… . x_N.  In jedem offenen Intervall (x_Yo , X_i+1) und hat einen konstanten Wert von Wert s_Yo, Mit Diskontinuitäten -saltos an Punkten x_Yo.

Die Grafik, die aus einer solchen Funktion entsteht, besteht aus Schritten oder Schritten. Schauen wir uns ein Beispiel unten an:

Abbildung 1. Beispiel für gestaffelte Funktionen. Quelle: Wikimedia Commons.

Die Grafik dieser Stufenfunktion hat drei Schritte oder gestaffelte Intervalle, aber im Allgemeinen kann die gestaffelte Funktion eine beliebige Anzahl von Schritten haben. Die Breite der Schritte kann unterschiedlich sein und die Treppe steigt nicht immer auf oder steigt ab.

Die gestaffelte Funktion des Beispiels kann geschrieben werden, indem die Breite und das Hoch eines jeden Schritts angegeben wird:

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Eigenschaften der Stufenfunktion

-Die Funktion empfängt ihren Namen nach der Grafik in Form von Schritten, die durch die Segmente angegeben sind, aus denen sie komponiert werden. Jedes Segment hat einen Teil der Domäne der Funktion und in jedem einzelnen ist die Funktion konstant.

-Die Domäne einer gestaffelten Funktion sind die Werte, die zu dem Intervall gehören, für das sie definiert ist: [A, B], während der Bereich aus den Werten s besteht_Yo der Höhen der Stufen.

Im Beispiel von Abbildung 1 ist die Domäne das Intervall [-3,3] und der Bereich sind die Werte -1, 1 und 2.

-Die gestaffelte Funktion ist kontinuierlich, außer in den Werten, die jeden Schritt abgrenzen, die Punkte x_Yo.

-Escalonada -Funktionen können hinzugefügt und multipliziert werden, um neue Stufenfunktionen zu erzielen.

-Sein Derivat beträgt 0 für die Punkte, an denen es definiert ist, da die Funktion in ihnen konstant ist. Seinerseits existiert das Derivat in Diskontinuitäten nicht.

-Das Integral der Stufenfunktion S (x) zwischen Zu Und B Es existiert und entspricht der Summe der Bereiche der Rechtecke der Breite x_Yo- X_I-1 und Höhe s_k, Gleich dem Schritt.

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Da der Bereich eines Rechtecks ​​das Produkt der Basis nach Höhe ist, müssen wir:

Beispiele für gestaffelte Funktionen

Innerhalb der gestaffelten Funktionen gibt es verschiedene Typen, zum Beispiel die Funktionen von ganzer Teil und die Funktion Einheitlicher Schritt, sowie verschiedene gestaffelte Funktionen, die gemeinsame Situationen beschreiben, wie z. B. viele Dienstleistungen. Schauen wir uns einige Beispiele an:

- Beispiel 1: Die gesamten Parteien

Die gesamte Teilfunktion verwendet häufig die Doppelklasse:

f (x) = [[x]]

Und es ist definiert als eine Funktion, die jeder reellen Zahl der nächsten oder kleineren Ganzzahl zuweist und jegliche Dezimalzahl ignoriert, die die Zahl hat. So haben wir:

Dach- oder Himmelsfunktion

Zuordnet jedem Domänenwert die engste Ganzzahl durch Übermaß zu. Zum Beispiel:

[[+2.56]] = 3

Der Dezimalteil, der 0 ist, wird ignoriert.56 und die engste Ganzzahl wird zugewiesen, die größer als 2 ist.

Ein anderes Beispiel:

[[-4.2]]]= -3

Wieder wird der Dezimalenteil 0 weggelassen.2 und die höchste größte Ganzzahl näher an -4 wird als Wert der Funktion genommen, die -3 ist.

In der folgenden Abbildung befindet sich die Grafik der Deckenfunktion, beachten Sie, dass der Schritt durch einen kleinen Hohlkreis nach links und eine voll nach rechts begrenzt wird, da eine beliebige Anzahl des Intervalls die größte Ganzzahl zwischen den Enden zwischen den zugeordnet ist endet zwischen den Enden des Intervalls.

Figur 2. Die Dach- oder Himmel Funktion. Quelle: Wikimedia Commons.

Zum Beispiel werden alle Werte zwischen 3 und 4 im gesamten 4 zugewiesen, die zwischen -2 und -1 liegen, die -1 und so weiter.

Boden- oder Bodenfunktion

Zugewiesen jedem Domänenwert die engste ganze Zahl standardmäßig. Beispiele für diese Funktion sind:

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[[+3.7]] = 3

[[-1.5]] = -2

[[π]] = 3

Beide Funktionen sind kontinuierlich, bis auf ganze Zahlen, in denen Sprünge präsentiert werden, und es ist konstant für die Werte zwischen den Ganzzahlen K und K+1.

Figur 3. Boden- oder Bodenfunktion. Quelle: Larson, R. Berechnung einer Variablen.

- Beispiel 2

In einer Stadt beträgt der Taxisatz 3.$ 65, für die ersten 100 m. Und für jede 100 m sind 0.18 US -Dollar, die Grenze pro Route von 50 km.

Es ist erwünscht, die Funktion zu etablieren, die die Route in Metern mit den Kosten des Dienstes um $ bezieht, das dieses Formular haben muss:

f (x) = 3.65 + 0.18. [[x /100]] $

Wobei die gesamte Teilfunktion von der Sky -Funktion sein kann, zu der die Basisrate 3 hinzugefügt wird.$ 65. Zum Beispiel, wenn wir wissen wollen, wie viel es für eine 6 -jährige Reise bezahlt wird.25 km = 6250 m, wir werden:

f (x) = 3.65 + 0.18. [[x /100]] $ = 3.65 + 0.18 . [[6250/100]] $ = 3.65 + [[11).25]] $ = 15.$ 65

Wenn das Taxisunternehmen eine Bodenfunktion wählt, würde der Kunde etwas weniger für die Reise bezahlen:

f (x) = 3.65 + 0.18. [[x /100]] $ = 3.65 + 0.18 . [[6250/100]] $ = 3.65 + [[11).25]] $ = 14.$ 65

Gelöste Übungen

- Übung 1

Ferngespräche zwischen den Städten A und B kosten 0.40 $ 10 Minuten. Nach diesem Zeitraum ist der Bruch oder die zusätzliche Minute 0 wert.05 $.

Drücken Sie die Kosten c (t) eines Anrufs aus, der eine bestimmte Anzahl von Minuten dauert.

Lösung

Wir können diese Funktion ausdrücken, wenn wir analysieren, was mit jeder Option für die Dauer eines Anrufs passiert:

Für t ≤ 10 Minuten

Wenn t, der Zeitpunkt ist, den der Anruf dauert, wird weniger oder gleich 10 Minuten lang ist, wird 0 bezahlt 0.$ 40.

Kann Ihnen dienen: 2 -digit -Abteilungen gelöst

Deshalb:

f (t) = 0.$ 40 für T zwischen 0 und 10 Minuten eingeschlossen.

Wir haben bereits einen Teil der Funktion.

Für t> 10 Minuten

Entero t Fall

Lassen Sie uns nun sehen, was passiert, wenn die Zeit von t = 10 Minuten überschritten wird: Es kann passieren, dass der Überschuss eine Ganzzahl ist, beispielsweise, dass das Gespräch genau 11, 12, 13, 14 Minuten oder mehr dauert. In diesem Fall wird die Höhe des Anrufs:

f (t) = 0.40 + 0.05 (t-10) $ für t mehr als 10 Minuten mit ganzem t.

Das heißt das in diesem Fall: t = 11, 12, 13, 14, 15 ... Minuten.

Angenommen, das Gespräch dauert genau 15 Minuten, die Kosten sind:

f (15) = 0.40 + 0.05 (15-10) $ = 0.$ 65

Dezimalfall

Betrachten Sie schließlich den Fall, in dem der Anruf eine Zeit lang mit einem Dezimalteil dauert. Nehmen wir zum Beispiel an, dass der Anruf 15 Minuten und 45 Sekunden dauert, was dezimal 15 sein würde.75 Minuten.

Wir können es in Bezug auf den gesamten Teil des Bodentyps ausdrücken, vorausgesetzt, das Unternehmen möchte dem Kunden oder dem Himmel mehr Vorteile geben:

f (t) = 0.40 + 0.05 · [[T-9]] $

Mal sehen, was der Kunde bezahlen würde, wenn es sich um eine Bodenfunktion handelt:

F (15.75) = 0.40 + 0.05 · [[15.75-9]] $ = 0.40 + 0.05indern [6.75]] $ = 0.40 + 0.05 × 6 $ = 0.$ 70.

Oder als Sky -Funktion, in diesem Fall wären die Kosten:

F (15.75) = 0.40 + 0.05 [15.75-9]] $ = 0.40 + 0.05indern [6.75]] $ = 0.40 + 0.05 × 7 $ = 0.75 $.

Funktion und Grafik

Als eine von Teilen definierte Funktion lautet:

Die Grafik der Funktion wäre so, sofern die gesamte Deckentypfunktion ausgewählt wurde:

Figur 4. Grafik der Stufenfunktion der Übung gelöst 1. Quelle: Larson, R. Berechnung einer Variablen.

- Übung 2

Berechnen Sie das integrale ∫s (x) dx zwischen -3 und 3 der Stufenfunktion:

Lösung

Wir wenden die Definition für das Integral der gestaffelten Funktion an:

Deshalb suchte das Integral I Is:

I = 1. [(-1)-(-3)] + 2.[1- (-1)]+(-1).[3-1] = 2+4-2 = 4

Verweise

1. Jiménez, r. 2006.Mathematische Funktionen. Pearson Ausbildung.
2. Larson, r. 2010. Berechnung einer Variablen. 9na. Auflage. McGraw Hill.
3. Mathematik IV. Funktionen. Erholt von: Cobaqroo.Edu.mx.
4. Wikipedia. Gesamte Teilfunktionen. Geborgen von: ist.Wikipedia.Org.
5. Wikipedia. Gestaffelte Funktion. Geborgen von: ist.Wikipedia.Org.