Exponentialfunktion Eigenschaften, Beispiele, Übungen

Der Exponentialfunktion Es ist eine mathematische Funktion von großer Bedeutung für die vielen Anwendungen, die es hat. Es ist wie folgt definiert:

f (x) = b^X, Mit b> 0 und b ≠ 1

Wobei B eine echte Konstante ist, die immer positiv ist und sich von 1 unterscheidet, was als bekannt ist als Base. Beachten Sie, dass die reale Variable X ist in der gefunden Exponent, Auf diese Weise ist f (x) immer eine echte Zahl.

Abbildung 1. Exponentialfunktionen mit Basen 2 und 1/2

Beispiele für exponentielle Funktionen sind die folgenden:

-f (x) = 2^X

-g (x) = 5ºE^-3x

-H (x) = 4 Märische (10)^2x)

Dies sind Funktionen, die nach dem Vorzeichen des Exponenten wachsen oder abnehmen, so dass das „exponentielle Wachstum“ die Rede ist, wenn eine gewisse Größe sehr schnell zunimmt. Aus diesem Grund sind sie angemessen, das Wachstum von Lebewesen wie Bakterien zu modellieren.

Eine weitere sehr interessante Anwendung ist die von Zinsinteresse. Je mehr Geld Sie auf einem Konto haben, desto mehr Interessen und sie können jedes bestimmte Zeitintervall berechnen, so klein wie Sie möchten.

Mit Hilfe der logarithmischen Funktion, die die umgekehrte Funktion des Exponentials ist, ist dies bekannt, nachdem ein bestimmtes Kapital auf einen bestimmten Wert erhöht wird.

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Exponentialfunktion Eigenschaften

Figur 2. Beispiele für exponentielle Funktionen. Quelle: f. Zapata.

Im Folgenden sind die allgemeinen Eigenschaften einer beliebigen exponentiellen Funktion aufgeführt:

-Der Diagramm jeder exponentiellen Funktion schneidet immer die vertikale Achse am Punkt (0.1), wie in Abbildung 2 zu sehen ist. Das liegt daran, dass b⁰ = 1 für jeden B -Wert.

-Die exponentielle Funktion überschneidet sich nicht auf der x -Achse, diese Achse ist eine horizontale Asymptote für die Funktion.

-Seit b¹ = B, Punkt (1, b) gehört immer zur Funktionsgrafik.

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-Die Domäne der exponentiellen Funktion ist der Satz realer Zahlen und f (x) = b^X Es ist in seiner gesamten Domäne kontinuierlich.

-Der Bereich der exponentiellen Funktion ist alle reelle Zahlen größer als 0, was auch mit den Grafiken festgestellt wird.

-Die exponentielle Funktion ist einzeln, dh jeder x -Wert, der zur Domäne der Funktion gehört, hat ein eindeutiges Bild im Ankunftssatz.

-Die Umkehrung des Exponentials ist die logarithmische Funktion.

Bestimmte Eigenschaften der Exponentialfunktion

Wie wir bereits gesagt haben, kann die exponentielle Funktion zunehmen oder abnehmen.

Wenn der Diagramm von Abbildung 2 sorgfältig untersucht wird, wird darauf hingewiesen, dass die Funktion beispielsweise y = 3 wächst, wenn b> 1 wächst, beispielsweise y = 3^X, Aber im Fall von y = (1/3)^X, mit B < 1, la función decrece.

Wir haben zwei Arten von exponentiellen Funktionen mit den folgenden bestimmten Eigenschaften:

Für b> 1

-Die Funktion wächst immer.

-Wenn der Wert von B zunimmt, wächst die Funktion schneller, zum Beispiel y = 10^X wächst schneller als y = 2^X.

-Wenn die Variable größer als 0 ist, erfasst die Funktion Werte von mehr als 1, dh:

Für x> 0: y> 1

-Und wenn x<0, entonces f(x) < 1.

Für b < 1

-Die Funktion nimmt immer ab.

-Durch die Verringerung des Wertes von B nimmt die Funktion immer noch schneller ab. Zum Beispiel y = (1/5)^X nimmt schneller ab als y = (1/3)^X.

-Für Werte von x niedriger als 0 nimmt die Funktion Werte mehr als 1, dh:: heißt:

Für x 1

-Schließlich, wenn x> 0, dann und < 1.

Beispiele für exponentielle Funktionen

Die exponentielle Funktion ist sehr nützlich für die Modellierung von Phänomenen in Wissenschaft und Wirtschaft, wie wir unten sehen werden:

Natürliche exponentielle Funktion

Abbildung 3: Natürliche Exponentialfunktion Graph

Es ist die Funktion, deren Basis die Zahl E oder Euler -Nummer ist, eine irrationale Zahl, deren Wert lautet:

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E = 2.718181828…

Diese Basis, auch wenn es sich um keine runde Zahl handelt, funktioniert für zahlreiche Anwendungen sehr gut. Daher wird es als wichtigste Grundlage aller exponentiellen Funktionen angesehen. Die natürliche exponentielle Funktion wird auf mathematische Weise ausgedrückt:

f (x) = e^X

Die exponentielle Funktion erscheint häufig in Wahrscheinlichkeit und Statistik, da verschiedene Wahrscheinlichkeitsverteilungen wie Normalverteilung, Poisson und andere durch Exponentialfunktionen ausgedrückt werden können.

Kontinuierliches Zinsinteresse

Abbildung 4: Vergleich von einfachem und Zinsenzinteresse

Es heißt auch Kontinuierliche Kapitalisierung. Um den Geldbetrag zu kennen ZU Du hast danach T Jahre wird exponentieller Ausdruck verwendet:

A (t) = p ≤ e^Rt

Wo p der ursprünglich eingezahlte Geldbetrag ist, ist R der Zinssatz pro Jahr und schließlich T ist die Anzahl der Jahre.

Bakterienwachstum

Abbildung 5: Bakterienwachstumskurve, in der die Latenz-, Exponenti-, stationären und Todesphasen beobachtet werden

Bakterien wachsen exponentiell, so dass das Wachstum modelliert werden kann durch:

N (t) = n_entweder ⋅ e ^Kt

Wo N (t) die vorhandene Bevölkerung nach T -Zeit ist (fast immer in Stunden), n_entweder Es ist die anfängliche Bevölkerung und K ist eine Konstante, die vom Bakterientyp und den Bedingungen abhängt, unter denen die Nährstoffe verfügbar sind.

Radioaktiver Zerfall

Bestimmte Kerne in der Natur sind instabil und lehnen es ab, sich in stabilere zu verwandeln, ein Prozess, der sehr kurz sein kann oder Tausende von Jahren dauern kann, abhängig von der Isotope. Während der radioaktiven Zerfallspartikel werden Partikel emittiert und manchmal auch Photonen.

Einige radioaktive Isotope haben medizinische Anwendungen, beispielsweise das radioaktive Iod Iodin I-131, das Ärzte bei der Diagnose und Behandlung bestimmter Schilddrüsenerkrankungen verwenden.

Der radioaktive Zerfall wird durch eine exponentielle Funktion modelliert.

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Gelöste Übungen

Die Gleichungen, in denen das Unbekannte als Exponent erscheint, werden als Exponentialgleichungen bezeichnet. Um den Wert der unbekannten, unterschiedlichen algebraischen Manipulationen und die Verwendung der Logarithmusfunktion zu löschen, die die umgekehrte Funktion des Exponentials ist.

Schauen wir uns einige gelöste Übungen an, die den Punkt veranschaulichen.

- Übung 1

Lösen Sie die folgenden Exponentialgleichungen:

bis 5^X = 625

b) 5^X = 2^X-1

Lösung für

Die Zahl 625 ist ein Vielfaches von 5, bei dem wir sie zerlegen, dass wir Folgendes finden:

625 = 5⁴

Deshalb können wir schreiben:

5^X = 5⁴

Da die Basen sowohl links als auch rechts gleich sind, können wir mit den Exponenten übereinstimmen und erhalten:

x = 4

Lösung b

Für diese Übung können wir nicht auf die zuvor verwendete Technik zurückgreifen, da die Basen nicht gleich sind. Auf diese Weise können wir aber Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichheit anwenden:

5^X = 2^X-1

Protokoll (5^X) = log (2^X-1)

Nun wird die folgende Eigenschaft der Logarithmen angewendet:

Log m^N = nebooklog m

Und bleibt: bleibt:

x · log 5 = (x-1) ≤log 2

Xoge (log 5 - log 2) = -log 2

x = - log 2 ÷ (log 5 - log 2)

- Übung 2

Geben Sie zu welcher Funktion an, welche der unten gezeigten Grafiken entspricht:

Abbildung 6. Grafiken parastieren die exponentiellen Funktionen der gelösten Übung 2. Quelle: Stewart. J. Vorkalkulation.

Lösung für

Da es sich um ein wachsendes Diagramm handelt, ist B größer als 1 und wir wissen, dass der Punkt (2.9) zum Diagramm gehört, deshalb:

y = b^X → 9 = b²

Wir wissen das 3² = 9, deshalb b = 3 und die Funktion ist y = 3^X

Lösung b

Wieder ersetzen wir den angegebenen Punkt (-1, 1/5) bei y = b^X zu bekommen:

1/5 = b^-1 = 1/b

Dann b = 5 und die gesuchte Funktion ist:

y = 5^X

Verweise

1. Figuera, j. 2000. Mathematik 1st. Diversifiziert. Co-Bo-Editionen.
2. GID Hoffmann, J. Auswahl der Mathematikfragen für den 4. Platz. Jahr. Ed. Spphinx.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Larson, r. 2010. Berechnung einer Variablen. 9na. Auflage. McGraw Hill.
5. Stewart, J. 2006. Präzision: Mathematik zur Berechnung. 5. Auflage. Cengage Lernen.