Homographische Funktion, wie man grafisch darstellt, gelöste Übungen

Der FunktionHomographisch oder rational Ón Es ist eine Art mathematischer Funktion, die aus der Teilung von zwei Polynomkomponenten besteht. Es folgt der Form P (x)/q (x), wobei q (x) keine Nullform annehmen kann.

Zum Beispiel entspricht der Ausdruck (2x - 1)/(x + 3) einer homographischen Funktion mit p (x) = 2x - 1 y q (x) = x + 3.

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Homografische Funktionen bilden einen Studienabschnitt mit analytischen Funktionen, der aus dem Graphing -Ansatz sowie aus der Domain- und Range -Studie behandelt wird. Dies ist auf die Einschränkungen und Fundamente zurückzuführen, die für ihre Auflösungen angewendet werden müssen.

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Was ist eine homographische Funktion?

Sie sind rationale Ausdrücke einzigartiger Variable, obwohl dies nicht bedeutet, dass es für zwei oder mehr Variablen keinen ähnlichen Ausdruck gibt.

Sie haben in einigen Fällen echte Wurzeln, aber die Existenz vertikaler und horizontaler Asymptoten ist immer beibehalten, ebenso wie Wachstums- und Abnahmeintervalle. Normalerweise ist nur einer dieser Trends vorhanden, aber es gibt Ausdrücke, die in der Lage sind, beide in ihrer Entwicklung zu zeigen.

Seine Domäne wird durch die Wurzeln des Nenner eingeschränkt, da es keine Trennung zwischen null realer Zahlen gibt.

Gemischte homographische Funktion

Sie sind sehr häufig in der Berechnung, insbesondere differentiell und umfassend und sind für abgeleitet und gegen Anti -Angels unter bestimmten Formeln erforderlich. Einige der häufigsten sind unten klassifiziert.

N -ter Paar homographischer Funktion

Schließt alle Elemente der Domäne aus, die das Argument negativ machen. Die in jedem Polynom vorhandenen Wurzeln zeigen bei der Bewertung Nullwerte.

Diese Werte werden vom Radikal akzeptiert, obwohl die grundlegende Einschränkung der homographischen Funktion berücksichtigt werden sollte. Wobei Q (x) Nullwerte nicht empfangen können.

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Intervalle -Lösungen müssen abgefangen werden:

Um Kreuzungen zu erreichen, kann unter anderem die Zeichenmethode verwendet werden.

Homografische Funktion Logarithmus

Schließt die Domänenwerte aus, die negative Intervalle und Nullen werfen. Da die Nullen bereits vom Nenner ausgeschlossen sind, sind die Lösungen von:

Es ist auch üblich, beide Ausdrücke in einem, unter anderem mögliche Kombinationen zu finden.

Wie man eine homographische Funktion grafisch darstellt?

Homografische Funktionen entsprechen grafisch mit Hyperbolas in der Ebene. Die horizontal und vertikal entsprechend den Werten transportiert werden, die die Polynome definieren.

Es gibt mehrere Elemente, die wir definieren müssen, um eine rationale oder homographische Funktion zu gratschen.

Anwesen

Der erste werden die Wurzeln oder Nullen der Funktionen p und q sein.

Die erreichten Werte werden auf der x -Achse der Grafik bezeichnet. Zeigen Sie die Kreuzungen des Diagramms mit der Achse an.

Vertikale Asymptote

Entsprechen vertikale Linien, die den Diagramm entsprechend den Trends, die sie präsentieren. Sie berühren die X -Achse in den Werten, die den Nenner Null machen, und werden niemals von der Grafik der homographischen Funktion berührt werden.

Horizontale Asymptote

Die durch eine horizontale Stichlinie dargestellte Grenze, für die die Funktion nicht am genauen Punkt definiert wird. Trends werden vor und nach dieser Linie beobachtet.

Um es zu berechnen, müssen wir auf eine Methode zurückgreifen, die der L'Hopital -Methode ähnelt, die zur Lösung rationaler Funktionsgrenzen verwendet wird, die zu Unendlichkeit tendieren. Die Koeffizienten der höchsten Kräfte im Zähler und des Nenner der Funktion müssen genommen werden.

Zum Beispiel hat der folgende Ausdruck eine horizontale Asymptote bei y = 2/1 = 2.

Wachstumsintervall

Die Werte der geordneten sind aufgrund der Asymptoten im Diagramm Trends im Diagramm markiert. Im Falle des Wachstums erhöht sich die Funktion von den Werten, wenn die Elemente der Domäne von links nach rechts bewertet werden.

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Abnehmendes Intervall

Die geordneten Werte nehmen ab, wenn die Elemente der Domäne von links nach rechts bewertet werden.

Die in den Werten gefundenen Sprünge werden nicht berücksichtigt, wenn zunimmt oder abnimmt. Dies tritt auf, wenn der Diagramm nahe an einer vertikalen oder Horizont liegt.

Kreuzung mit y

Null den Wert von x machen, ist der Schnittpunkt mit der Achse der Ordinaten. Dies ist eine sehr nützliche Tatsache, um das Diagramm der rationalen Funktion zu erhalten.

Beispiele

Definieren Sie den Graphen der folgenden Ausdrücke, finden Sie seine Wurzeln, vertikale und horizontale Asymptoten, Wachstums- und Abnahmeintervalle und Schnittstellen mit der Achse der geordneten.

Übung 1

Dem Ausdruck fehlt Wurzeln, weil er im Zähler einen konstanten Wert hat. Die zu beantragte Einschränkung ist x anders als Null. Mit horizontaler Asymptote bei y = 0 und Asymptote vertikal bei x = 0. Es gibt keine Schnittpunkte mit der Achse und.

Es wird beobachtet, dass es in x = 0 keine Wachstumsintervalle gibt, auch wenn der Sprung von weniger zu unendlicher ist.

Das Abnahmeintervall ist

Id: (-∞; o) u (0, ∞)

Übung 1.2

2 Polynome werden wie in der anfänglichen Definition beobachtet, daher gehen wir nach den festgelegten Schritten voran.

Die gefundene Stamm.

Die vertikale Asymptote liegt bei x = - 4, was der von der Domäne aufgrund der rationale Funktionsbedingung ausgeschlossene Wert ist.

Die horizontale Asymptote ist in y = 2, dies nach der Teilen 2/1, den Koeffizienten der Variablen der Klasse 1.

Es hat eine Kreuzung mit denen, die bei y = - 7/4 bestellt wurden. Wert gefunden nach dem Ausgleich des x auf Null.

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Die Funktion wächst ständig, mit einem Sprung von mehr bis weniger unendlich um die Wurzel x = -4.

Sein Wachstumsintervall ist (-∞, - 4) u ( - 4, ∞).

Wenn der Wert von x nahezu unendlich ist, nimmt die Funktion Werte nahe bei 2. Das gleiche passiert, wenn sich das X unendlicher nähert.

Die Expression nähert sich unendlich unendlich, wenn sie in - 4 links bewertet werden, und weniger unendlich, wenn sie in - 4 rechts bewertet werden.

Übung 2

Die Grafik der folgenden homographischen Funktion wird beobachtet:

Beschreiben Sie ihr Verhalten, ihre Wurzeln, ihr vertikales und horizontales Asymptoten, ihre Wachstums- und Abnahmeintervalle und die Schnittstelle mit der geordneten Achse.

Der Expressionskenner zeigt an, indem der Unterschied der Quadrate (x + 1) (x - 1) die Werte der Wurzeln berücksichtigt wird. Auf diese Weise können beide vertikalen Asymptoten definiert werden als:

x = -1 und x = 1

Die horizontale Asymptote entspricht der Achse der Abszisse, da die Hauptkraft im Nenner liegt.

Die einzige Wurzel ist durch x = -1/3 definiert.

Der Ausdruck nimmt immer von links nach rechts ab. Es nähert sich Null, wenn es um Unendlichkeit tendiert. Weniger unendlich, wenn sie sich links -1 nähern. Unendlicher, wenn man sich auf der rechten Seite nähert. Weniger unendlich, wenn sie sich 1 links nähern und mehr Unendlichkeit, wenn sie sich 1 rechts nähern.

Verweise

1. Näherung mit rationalen Funktionen. Donald J. Neuer Mann. American Mathematical Soc., 31. Dezember. 1979
2. Orthogonale Bewertungsfunktionen. Universität La Laguna Teneriffa Adhemar BOLTHEEL, Adhemar Bultheel, Pablo Gonzalez-Vera, Erik Hendriksen, Olav Njstada. Cambridge University Press, 13. Februar. 1999
3. Bewertungsnäherung der realen Funktionen. P. P. Petrushev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3. März. 2011
4. Algebraische Funktionen. Gilbert Ames Bliss. Couer Corporation, 1. Januar. 2004
5. Magazin der spanischen Mathematical Society, 5-6 Bände. Spanische Mathematische Gesellschaft, Madrid 1916