Injektivfunktion, woraus sie besteht, wofür es ist und Beispiele

A Injektivfunktion Es ist jede Beziehung von Domänenelementen zu einem einzigen Kodominelement. Auch als Funktion bezeichnet Einer nach dem anderen ( elf ), sind Teil der Klassifizierung von Funktionen bezüglich der Art und Weise, wie ihre Elemente verwandt sind.

Ein Element des Codominiums kann nur ein Bild eines einzelnen Elements der Domäne sein. Auf diese Weise können die Werte der abhängigen Variablen nicht wiederholt werden.

Quelle: Autor.

Ein klares Beispiel wäre es, Männer mit Arbeit in einer Gruppe A und in einer Gruppe B an alle Bosse zu gruppieren. Die Funktion F Es wird derjenige sein, der jeden Arbeiter mit seinem Chef verknüpft. Wenn jeder Arbeiter mit einem anderen Chef durcheinander ist durch F, So F  Es wird eins sein Injektivfunktion.

Berücksichtigen Injektiv Das Folgende muss zu einer Funktion erfüllt sein:

∀ x₁  ≠ x₂   ⇒ f (x₁ ) ≠ f (x₂ )

Dies ist die algebraische Art zu sagen Für alle x₁ anders als x₂ Sie haben ein f (x₁ ) Anders als F (x₂ ).

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Was sind Injektivfunktionen für?

Die Injektivität ist eine Eigenschaft kontinuierlicher Funktionen, da sie die Zuweisung von Bildern für jedes Domänenelement sicherstellen, wesentlicher Aspekt in der Kontinuität einer Funktion.

Beim Zeichnen einer Linie parallel zur Achse X In der Grafik einer Injektivfunktion sollte nur der Diagramm an einem einzigen Punkt berührt werden, unabhängig von welcher Höhe oder Größe von UND Die Linie wird gezeichnet. Dies ist die grafische Art, die Injektivität einer Funktion zu beweisen.

Eine andere Möglichkeit zu testen, ob eine Funktion ist Injektiv, Löscht die unabhängige Variable X In Bezug auf die abhängige Variable UND. Dann sollte es verifiziert werden, wenn die Domäne dieses neuen Ausdrucks die realen Zahlen enthält, gleichzeitig wie für jeden Wert von UND Es gibt einen einzelnen Wert von X.

Auftragsfunktionen oder Beziehungen befolgen unter anderem die Notation F: d_F→C_F

Das liest F Das geht von D_F zu c_F

Wo die Funktion F Beziehen Sie die Sets Domain Und Codominium. Auch als Startsatz und Ankunftssatz bekannt.

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Die Herrschaft D_F  Enthält die zulässigen Werte für die unabhängige Variable. Das Kodominium C_F  Es wird durch alle verfügbaren Werte für die abhängige Variable gebildet. Die Elemente von C_F bezüglich D_F  Sie wissen wie Funktionsbereich (r_F ).

Konditionierung von Funktionen

Manchmal kann eine Funktion, die nicht injiziert wird, eine gewisse Konditionierung durchlaufen. Diese neuen Bedingungen können es in a verwandeln Injektivfunktion. Alle Arten von Modifikationen an der Domäne und dem Codominium der Funktion sind gültig, wo das Ziel darin besteht, die Injektivitätseigenschaften in der entsprechenden Beziehung zu erreichen.

Beispiele für Injektivfunktionen zu gelösten Übungen

Beispiel 1

Sei die Funktion F: r → R definiert durch die Linie F (x) = 2x - 3

A: [Alle reellen Zahlen]

Quelle: Autor.

Es wird beobachtet, dass für jeden Domänenwert ein Bild im Codominium vorhanden ist. Dieses Bild ist eindeutig, was F zu einer injektiven Funktion macht. Dies gilt für alle linearen Funktionen (Funktionen, deren größerer Grad der Variablen eins ist).

Quelle: Autor.

Beispiel 2

Sei die Funktion F: r → R definiert von F (x) = x² +1

Quelle: Autor

Beim Zeichnen einer horizontalen Linie wird beobachtet, dass die Grafik mehr als einmal gefunden wird. Aus diesem Grund die Funktion F ist nicht injektiv, während er definiert ist  R → R

Die Domäne der Funktion ist konditioniert:

                                               F: r⁺ ODER 0 → R

Quelle: Autor

Jetzt nimmt die unabhängige Variable keine negativen Werte an, auf diese Weise wird es vermieden, die Ergebnisse und die Funktion zu wiederholen F: r⁺ ODER 0 → R definiert von F (x) = x² + 1 ist injektiv.

Eine andere homologe Lösung wäre, die Domäne nach links zu begrenzen, dh die Funktion einzuschränken, um nur negative und Nullwerte zu nehmen.

Die Domäne der Funktion ist konditioniert

                                               F: r^- ODER 0 → R

Quelle: Autor

Jetzt nimmt die unabhängige Variable keine negativen Werte an, auf diese Weise wird es vermieden, die Ergebnisse und die Funktion zu wiederholen F: r^- ODER 0 → R definiert von F (x) = x² + 1 ist injektiv.

Trigonometrische Funktionen haben Verhaltensweisen ähnlich wie Wellen, bei denen es sehr häufig ist, Repetitions von Werten in der abhängigen Variablen zu finden. Durch spezifische Konditionierung können wir auf der Grundlage des Vorkenntnisses dieser Funktionen die Domäne einschränken, um die Injektionsbedingungen zu erfüllen.

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Beispiel 3

Sei die Funktion F: [ -π/2, π/2 ] → R definiert von F (x) = cos (x)

In der Pause [ -π/2 → π/2 ] Die Kosinusfunktion variiert ihre Ergebnisse zwischen Null und einem.

Quelle: Autor.

Wie in der Grafik zu sehen ist. Starten Sie von Grund auf neu x = -π/2 und dann maximal Null erreicht. Es ist danach x = 0 dass sich die Werte wiederholen, bis sie auf Null zurückkehren x = π/2. Auf diese Weise ist es bekannt F (x) = cos (x) ist nicht injektiv Für das Intervall [ -π/2, π/2 ] .

Beim Studium der Funktionsgrafiken F (x) = cos (x) Intervalle werden beobachtet, wo sich das Verhalten der Kurve an die Injektivitätskriterien anpasst. Wie das Intervall

[0 , π ]

Wobei die Funktion variiert, die sich von 1 bis -1 ergibt, ohne einen Wert in der abhängigen Variablen zu wiederholen.

Auf diese Weise die Funktionsfunktion F: [0 , π ] → R definiert von F (x) = cos (x). Es ist injiziert

Es gibt nichtlineare Funktionen, in denen ähnliche Fälle vorgestellt werden. Für rationale Ausdrücke, bei denen der Nenner mindestens eine Variable beherbergt, gibt es Einschränkungen, die die Injektivität der Beziehung verhindern.

Beispiel 4

Sei die Funktion F: r → R definiert von F (x) = 10/x

Die Funktion ist für alle reellen Zahlen außerhalb dessen definiert 0 Wer präsentiert eine Unbestimmtheit (sie kann nicht zwischen Null aufgeteilt werden).

Wenn sich Null links nähert.

Diese Störung macht den Ausdruck F: r → R definiert von F (x) = 10/x

Nicht injektiv sein.

Wie in den vorherigen Beispielen zu sehen ist, dient der Ausschluss von Werten in der Domäne dazu, diese Unbestimmungen zu "reparieren". Null ist aus der Domäne ausgeschlossen, so dass die Sets und die Ankunftssätze wie folgt definiert sind:

R - 0 → R

Wo R - 0 symbolisiert die Realität, mit Ausnahme eines Satzes, dessen einziges Element Null ist.

Auf diese Weise der Ausdruck F: R - 0 → R definiert von F (x) = 10/x ist injektiv.

 Beispiel 5

Sei die Funktion F: [0 , π ] → R definiert von F (x) = sin (x)

In der Pause [0 , π ] Die Sinusfunktion variiert ihre Ergebnisse zwischen Null und einem.

Kann Ihnen dienen: Zufällige Variable: Konzept, Typen, BeispieleQuelle: Autor.

Wie in der Grafik zu sehen ist. Starten Sie von Grund auf neu x = 0 dann ein Maximum in erreichen x = π/2. Es ist danach x = π/2, dass die Werte wiederholt werden, bis sie wieder auf Null zurückkehren x = π. Auf diese Weise ist es bekannt F (x) = sin (x) ist nicht injektiv Für das Intervall [0 , π ] .

Beim Studium der Funktionsgrafiken F (x) = sin (x) Intervalle werden beobachtet, wo sich das Verhalten der Kurve an die Injektivitätskriterien anpasst. Wie das Intervall  [  π/2,3π/2  ]

Wobei die Funktion variiert, die sich von 1 bis -1 ergibt, ohne einen Wert in der abhängigen Variablen zu wiederholen.

Auf diese Weise die Funktion F: [  π/2,3π/2  ] → R definiert von F (x) = sin (x). Es ist injiziert

Beispiel 6

Überprüfen Sie, ob die Funktion F: [0, ∞) → R definiert von F (x) = 3x² Es ist injiziert.

Bei dieser Gelegenheit ist die Domäne des Ausdrucks bereits begrenzt. Es wird auch beobachtet, dass die abhängigen Variablenwerte in diesem Intervall nicht wiederholt werden.

Daher kann der Schluss gezogen werden F: [0, ∞) → R definiert von F (x) = 3x²   Es ist injiziert

Beispiel 7

Identifizieren Sie, welche der folgenden Funktionen sind

Quelle: Autor

1. Es ist injiziert. Die damit verbundenen Elemente des Codominiums sind für jeden Wert der unabhängigen Variablen eindeutig.
2. Es ist nicht injiziert. Es gibt Elemente des CO -Ähniums, das mit mehr als einem Element des Startsatzes verbunden ist.
3. Es ist injiziert
4. Es ist nicht injiziert

Vorgeschlagene Übungen für Klassen/Haus

Überprüfen Sie, ob die folgenden Funktionen injektiv sind:

F: [0, ∞) → R definiert von F (x) = (x + 3)²  

F: [ π/2,3π/2  ] → R definiert von F (x) = tan (x)

F: [ -π,π  ] → R definiert von F (x) = cos (x + 1)

F: r → R definiert durch die Linie F (x) = 7x + 2

Verweise

1. Einführung in Logik und kritisches Denken. Merrilee h. Lachs. Universität von Pittsburgh
2. Probleme in der mathematischen Analyse. Piotr Bilar, Alfred Witkowski. Universität von Wroclaw. Pole.
3. Elemente der abstrakten Analyse. Mícheál O'Searcoid PhD. Abteilung für Mathematik. University College Dublin, Beldfield, Dublind 4.
4. Einführung in die Logik und die Methodik der deduktiven Wissenschaften. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University Press.
5. Mathematische Analyseprinzipien. Enrique Linés Escardó. LETORIAL REVERTé s. Bis 1991. Barcelona, ​​Spanien.