Logarithmische Funktion Eigenschaften, Beispiele, Übungen

Der logarithmische Funktion Es ist eine mathematische Beziehung, die jede positive reelle Zahl assoziiert X Mit Ihrem Logarithmus Und auf einer Basis Zu. Diese Beziehung erfüllt die Anforderungen, um eine Funktion zu sein: Jedes Element X zur Domäne hat ein eindeutiges Bild.

Deshalb:

f (x) = y = log_Zu X , Mit einem> 0 und anders als 1.

Abbildung 1. Logarithmus -Funktionsgrafik für Basis 10 (grün), Basis E (rot) und Basis 1.7 (lila). Quelle: Wikimedia Commons.

Die Haupteigenschaften der logarithmischen Funktion sind:

-Seine Domäne sind alle Reais größer als 0, nicht einschließlich 0. Mit anderen Worten, es gibt keinen Logarithmus oder keine negativen Zahlen auf einer Basis. In Form eines Intervalls:

Sonne _F = (0, ∞+)

-Der Logarithmus einer Zahl kann negativ, positiv oder 0 sein, so dass der Bereich oder seine Route:

Rgo _F = (-∞, ∞+)

-Die logarithmische Funktion wächst immer für eine> 1 und verringert sich<1.

-Die Umkehrung von f (x) = log_Zu X ist die exponentielle Funktion.

In der Tat ist die Logarithmusfunktion basierend auf der inversen Funktion der potenziellen Funktion:

F^-1(x) = a^Und

Seit Logarithmus basiert Zu einer Zahl X, Es ist die Nummer Und zu dem die Basis angehoben werden muss Zu zu bekommen X.

-Der Basislogarithmus ist immer 1. So die Grafik von f (x) = log_Zu X Überschneiden Sie sich immer der x -Achse am Punkt (1.0)

-Die logarithmische Funktion ist transzendent und kann nicht als Polynom oder als Quotient von diesen ausgedrückt werden. Neben Logarithmus umfasst diese Gruppe unter anderem trigonometrische und exponentielle Funktionen.

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Beispiele

Die logarithmische Funktion kann durch verschiedene Basen festgelegt werden, aber die am häufigsten verwendeten sind 10 und Und, Wo Und Es ist die Anzahl der Euler, die 2.71828 entsprechen .. .

Wenn die Basis 10 verwendet wird, wird der Logarithmus als Dezimal -Logarithmus, vulgärer Logarithmus, Briggs oder einfach zum Trocknen bezeichnet.

Und wenn die Nummer E verwendet wird, heißt er von John Napier, dem schottischen Mathematiker, der die Logarithmen entdeckte.

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Die für jeden verwendete Notation lautet wie folgt:

-Dezimaler Logarithmus: Protokoll₁₀ x = log x

-Neperian Logarithmus: ln x

Wenn eine andere Basis verwendet wird, ist dies unbedingt erforderlich. Wenn es sich beispielsweise um Logarithmen auf Basis 2 handelt, wird es geschrieben:

y = log₂ X

Schauen wir uns den Logarithmus Nummer 10 in drei verschiedenen Basen an, um diesen Punkt zu veranschaulichen:

Log 10 = 1

ln 10 = 2.30259

Protokoll₂ 10 = 3.32193

Gemeinsame Taschenrechner bringen nur Dezimal -Logarithmen (log) und neperianischer Logarithmus (LN -Funktion) mit. Im Internet gibt es Taschenrechner mit anderen Basen. In jedem Fall kann der Leser mit Hilfe desselben überprüft, dass er mit den vorherigen Werten erfüllt ist:

10¹ = 10

Und^2.3026 = 10.0001

2^3.32193 = 10.0000

Kleine Dezimalunterschiede sind auf die Menge an Dezimalstellen zurückzuführen, die bei der Berechnung des Logarithmus eingenommen wurden.

Die Vorteile von Logarithmen

Zu den Vorteilen der Verwendung der Logarithmen gehört die Leichtigkeit, die sie mit großer Zahlen anstelle der Anzahl direkt der Anzahl der direkten Zahlen bieten.

Dies ist möglich, weil die Logarithmusfunktion langsamer wächst, da die Zahlen größer sind, wie wir in der Grafik zu schätzen wissen.

Selbst bei sehr großen Zahlen sind ihre Logarithmen viel kleiner, und es ist immer einfacher, kleine Zahlen zu manipulieren.

Zusätzlich erfüllen die Logarithmen die folgenden Eigenschaften:

-Produkt: Protokoll (a.b) = log a + log b

-Quotient: log (a/b) = log a - log b

-Leistung: Protokoll a^B = b.log a

Und auf diese Weise werden Produkte und Quotienten zu Summen und Subtraktion kleinerer Zahlen, während die Potenzierung in ein einfaches Produkt umgewandelt wird, obwohl die Leistung hoch ist.

Deshalb lassen die Logarithmen Zahlen ausdrücken, die in sehr großen Wertenbereichen variieren, wie z. B. die Intensität des Klang Skala.

Kann Ihnen dienen: externe alternative Winkel: Übungen und Übungen gelöstFigur 2. Logarithmen werden auf der Richterskala verwendet, um die Stärke der Erdbeben zu quantifizieren. Das Bild zeigt ein Gebäude, das während des Erdbebens 2010 in Concepción, Chile, zusammengebrochen ist. Quelle: Wikimedia Commons.

Schauen wir uns ein Beispiel für die Behandlung der Eigenschaften der Logarithmen an:

Beispiel

Ermitteln Sie den Wert von x im folgenden Ausdruck:

log (5x +1) = 1 + log (2x-1)

Antworten

Wir haben hier eine logarithmische Gleichung, angesichts der Tatsache, dass das Unbekannte auf dem Logarithmus -Argument steht. Es wird gelöst, indem ein einzelner Logarithmus auf jeder Seite der Gleichheit gelassen wird.

Wir beginnen damit, alle Begriffe zu platzieren, die "x" links von der Gleichheit enthalten, und diejenigen, die nur Zahlen rechts enthalten:

log (5x+1) - log (2x -1) = 1

Links haben wir die Subtraktion von zwei Logarithmen, die als Logarithmus eines Quotienten geschrieben werden können:

log [(5x+1)/ (2x-1)] = 1

Auf der rechten Seite befindet sich jedoch Nummer 1, die wir als Protokoll 10 ausdrücken können, wie wir zuvor gesehen haben. So:

log [(5x+1)/ (2x-1)] = log 10

Damit die Gleichheit erfüllt werden kann, die Argumente der Logarithmen müssen gleich sein:

(5x+1)/ (2x-1) = 10

5x + 1 = 10 (2x - 1)

5x + 1 = 20 x - 10

-15 x = -11

x = 11/15

Anwendungsübung: Richters Skala

1957 trat in Mexiko ein Erdbeben auf, dessen Größe 7 betrug.7 auf der Richterskala. 1960 trat in Chile ein weiteres Erdbeben in der Größe auf, 9.5.

Berechnen Sie, wie oft das chilenische Erdbeben intensiver als das von Mexiko war und wissen, dass die Stärke m_R Auf der Richterskala wird es durch die Formel angegeben:

M_R = log (10⁴ Yo)

Lösung

Die Größe in der Richterskala eines Erdbebens ist eine logarithmische Funktion. Wir werden die Intensität jedes Erdbebens berechnen, da wir die Richter Größen haben. Machen wir es Schritt für Schritt:

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-Mexiko: 7.7 = log (10⁴ Yo)

Da die Umkehrung der Logarithmusfunktion das Exponential ist, wenden wir diese auf beiden Seiten der Gleichheit mit der Absicht an, I zu klären, das im Logarithmus -Argument zu finden ist.

Da es sich um Dezimal -Logarithmen handelt, ist die Basis 10. So:

Im Laufe der rechten, 10 und log (10⁴ I) sie werden storniert (wie bei der quadratischen und quadratischen Wurzel), sein: Verlassen:

10 ^7.7 = 10⁴ Yo

Die Intensität des Erdbebens von Mexiko war:

Yo_M = 10 ^7.7 / 10⁴ = 10^3.7

 -Chili: 9.5 = log (10⁴ Yo)

Das gleiche Verfahren führt uns zur Intensität des chilenischen Erdbebens I_CH:

Yo_CH = 10 ^9.5 / 10⁴ = 10^5.5

 Jetzt können wir beide Intensitäten vergleichen:

Yo_CH / Yo_M = 10^5.5 / 10^3.7 = 10^1.8 = 63.1

 Yo_CH = 63.1. Yo_M

Chiles Erdbeben war ungefähr 63 -mal intensiver als Mexiko. Da die Größe logarithmisch ist, wächst sie langsamer als die Intensität.

Der Unterschied zwischen den Größen beider Erdbeben beträgt 1.8, deshalb konnten wir einen Unterschied in der Intensitäts näher bei 100 als bis 10 erwarten, wie es effektiv passiert ist.

Wenn der Unterschied genau genau gewesen wäre, wäre das chilenische Erdbeben 100 -mal intensiver gewesen als das Mexikaner.

Verweise

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