Gradfunktionen größer als zwei (Beispiele)

A (Polynom) von Grad größer als zwei hat die allgemeine Form:

f (x) = a₀ + Zu₁x +a₂X² +.. .Zu_NX^N

Mit n = 3, 4, 5,…, einer nicht -negativen Ganzzahl und den Koeffizienten zu_entweder, Zu₁… Zu_N, die normalerweise echte Zahlen sind.

Abbildung 1.- Graph einer Gradfunktion größer als 2. Quelle: f. Zapata.

Der Grad der Funktion wird durch den Wert von n angegeben, dem größten der Exponenten, die wiederum größer als 2 sind. Wenn n = 0 eine konstante Funktion ist, ist n = 1 eine lineare Funktion und schließlich mit n = 2 eine quadratische Funktion.

Beispiele für Funktionen von mehr als zwei in der Variablen "x" sind die folgenden:

• f (x) = x³
• H (x) = - 3x³ + 5x² - X + 7
• g (x) = x⁴ - 6x² + 25

Die Funktion f (x) = x³ Es ist der einfachste aller Funktionen von größer als zwei und sein Abschluss beträgt 3. Ein Abschluss 3 ist auch als bekannt als Kubikfunktion. G (x) ist für seinen Teil Grad 4, um 4 der maximale Exponent zu sein.

Der Wert von n ist sehr wichtig, da er die allgemeine Form des Diagramms und auch die maximale Menge an Wurzeln oder Kreuzungen bestimmt, die die Funktion mit der horizontalen Achse hat. In der Tat berührt eine 3 -Grad -Funktion die horizontale Achse höchstens 3 Punkte, einer von Grad 4 wird dies höchstens in 4 Punkten usw. tun.

Was den unabhängigen Term betriff.

Eigenschaften der Polynomfunktionen von größer als zwei

Domain

Die Domäne einer Funktion ist die Wertesatz, die es ermöglichen, die Werte von y = f (x) zu berechnen. Für Polynomfunktionen ist dieser Satz der von realen N -Zahlen oder der Satz komplexer Zahlen, falls erforderlich, um die Domäne zu erweitern.

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Bedeutet, dass bei der Polynomfunktion f (x) = a₀ + Zu₁x +a₂X² +.. .Zu_NX^N, Sie können immer jede reelle Zahl ersetzen, die angegebenen Operationen ausführen und als Ergebnis einen Wert von realem y = f (x) real erhalten.

Bereich

Es ist der Satz, der von allen Werten gebildet wird, die f (x) erfasst wurden, dh den Bildern, die jeder Wert von x über die Funktion f (x) hat. Für Polynomfunktionen größer als 2 ist dieser Satz der der realen Zahlen.

Wurzeln der Funktion

Sind die Werte von x, für die es erfüllt ist, dass f (x) = 0. Wie oben angegeben, zeigt der Grad der Funktion die maximale Anzahl von Wurzeln an, die sie haben kann, obwohl nicht alle von ihnen unbedingt real sind.

Wenn die Koeffizienten der Funktion reelle Zahlen sind, entsprechen die realen Wurzeln den Kreuzungen der Funktion mit der x -Achse.

Beispiel 1

Die rationalen Wurzeln der Funktion f (x) = 2x³ - 9x² + 7x + 6 finden Sie den folgenden Satz:

Wenn die Wurzel von f (x) = a₀ + Zu₁x +a₂X² +.. .Zu_NX^N Es ist die b/c -Form, daher sind die möglichen Werte von b Faktoren von a_entweder und die möglichen Werte von C sind Faktoren von a_N.

Für die Funktion des Beispiels betragen die bereits vereinfachten Kombinationen: ± 6, ± 3, ± 2, ± 1, ± 3/2, ± ½. Jetzt wird jeder beispielsweise durch das Verfahren der synthetischen Teilung getestet. Wenn der Abteilungsrest 0 ist, ist der nachgewiesene Wert eine Wurzel:

Der Wert x₁ = 3 ist eine Wurzel oder Null der Funktion, daher ist (x - 3) ein häufiger Faktor von F (x), und dies kann geschrieben werden wie:

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f (x) = (x - 3) ∙ (2x² –3x −2)

Die verbleibenden zwei Wurzeln sind die Werte, die die 2x -Gleichung erfüllen² –3x −2 = 0. Diese Gleichung kann durch die allgemeine Formel, einen wissenschaftlichen Taschenrechner oder die Wiederholung des vorherigen Tanteo -Prozesses aufgelöst werden.

Diese Wurzeln sind x₂ = 2 und x₃ = - ½ und jetzt kann f (x) als Produkt von drei Faktoren geschrieben werden:

f (x) = (x - 3) ∙ (x - 2) ≤ (x + ½)

Die Kreuzungen von F (x) mit der x -Achse sind die Punkte: P₁ (3.0), p₂(2.0) und p₃(–½, 0). Der mit Geogebra erhaltene Graph der Funktion zeigt seine Kreuzungen mit der x -Achse:

Figur 2.- Eine Polynomfunktion Grad 3 hat drei Kreuzungen mit der horizontalen Achse. Quelle: f. Zapata.

Schnittpunkt mit der vertikalen Achse

Um den Schnittpunkt der Funktion mit der vertikalen Achse zu finden, müssen Sie F (0) finden, was einfach ist₀.

Beispiel 2

Finden Sie den Schnittpunkt von f (x) = 2x³ - 9x² + 7x + 6 Mit der vertikalen Achse ist es sehr einfach, wenn x = 0 in f (x) erstellt wird: Es wird erhalten:

f (x) = 6

Und der Schnittpunkt der Funktion mit der vertikalen Achse ist p₄(0,6).

Figur 3. Der Schnittpunkt der Kurve mit der vertikalen Achse macht x = 0 in f (x). Quelle: f. Zapata.

Kontinuität

Polynomische Funktionen im Allgemeinen und insbesondere diejenigen von höher als 2 sind kontinuierliche Funktionen in ihrem gesamten Bereich. Dies bedeutet, dass sie keine Sprünge, Schritte, Löcher oder Werte haben, für die sie nicht definiert sind. Sie haben auch keine Asymptoten, die vertikal, horizontal oder schräg direkt sind, denen sich die Funktion nähert, ohne sie zu überqueren.

Diese Eigenschaften von Weichheit und Kontinuität werden in den oben gezeigten Grafiken geschätzt.

Grafik der Funktionen von höher als 2

Die Diagramme der Funktionen von höher als 2 sind kontinuierlich und weich, und ihre Form hängt vom Grad des Polynoms ab.

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Zum Beispiel hat diejenigen, die der 3 -Klasse 3 sind, ein negatives Vorzeichen im Laufe des höchsten Grades).

Figur 4. Polyinomische Funktion von Grad 4, deren Diagramm einem Buchstaben w ähnelt. Quelle: f. Zapata.

Für Werte von x von x = 0, sowohl links als auch rechts, verhält sich die Funktion, wie der Begriff des größten Grades der Fall wäre.

In dem Bild, das der Funktion f (x) = 2x folgt, wird verglichen³ - 9x² + 7x + 6 mit der Funktion r (x) = x³ Und es wird gewürdigt, dass die Form beider Kurven den Werten von x ähnlich ist, die weit entfernt von x = 0 sind.

Für große X -Werte wächst die Funktion schnell, indem sie +∞ pendelt, während für negative X -Werte die Funktion schnell abnimmt und zu −∞ tendiert.

Abbildung 5.- Alle Funktionen der Klasse N verhalten sich ähnlich, wenn sie sich von x = 0 entfernen, sowohl links als auch rechts. Quelle: f. Zapata.

Vergleiche die Drehmoment -Kegelkurven (Abbildung 4) mit dem ungeraden Grad (Abbildung 2), solange der Koeffizient, der mit dem höchsten Begriff mit dem gleichen Vorzeichen einhergeht wachsen, während die von Zielgrad in "Y" positiv beginnen und abnehmen.

Verweise

1. Barnett, r. 2000. Präzision: Funktionen und Grafiken. 4. Auflage. McGraw Hill.
2. Berechnung.DC. Polynomische Funktionen. Wiederhergestellt von: Berechnung.DC.
3. Larson, r. 2012. Vorkalkulation. 8. Auflage. Cengage Lernen.
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