Transzendente Funktionstypen, Definition, Eigenschaften, Beispiele

Der Transzendente Funktionen Elementare sind exponentielle, logarithmische, trigonometrische, inverse trigonometrische Funktionen, hyperbolisch und inverse hyperbolisch. Das heißt, sie sind diejenigen, die nicht durch ein Polynom-, Polynom- oder Polynomwurzelverhältnis exprimiert werden können. 

Die nichtelementären transzendenten Funktionen werden auch als spezielle Funktionen bezeichnet, und unter ihnen kann die Fehlerfunktion benannt werden. Der Algebraische Funktionen (Polynome, Polynomquotienten und Polynomwurzeln) neben dem Transzendente Funktionen Elementare bilden das, was in Mathematik als bekannt ist als Grundfunktionen.

Es wird auch als transzendente Funktionen angesehen, die sich aus Operationen zwischen transzendenten Funktionen oder zwischen transzendenten und algebraischen Funktionen ergeben. Diese Operationen sind: Summe und Differenz von Funktionen, Produkten und Verhältnis von Funktionen sowie die Zusammensetzung von zwei oder mehr Funktionen.

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Definition und Eigenschaften

Exponentialfunktion

Es ist eine echte Funktion der echten unabhängigen Variablen der Form:

f (x) = a^x = a^X

Wo Zu Es ist eine positive reelle Zahl (A> 0) behoben als Basis bezeichnet. Circumflejo oder Überwachung werden verwendet, um den Potenziervorgang zu bezeichnen.

Lassen Sie uns für den Fall gestellt A = 2 Dann ist die Funktion so:

f (x) = 2^x = 2^X

Dies wird für mehrere Werte der unabhängigen Variablen x bewertet:

Im Folgenden finden Sie eine Grafik, in der die Exponentialfunktion für mehrere Basiswerte dargestellt wird, einschließlich der Basis Und (Neper -Nummer Und ≃ 2.72). Base Und Es ist so wichtig, dass Sie im Allgemeinen darüber nachdenken, über exponentielle Funktionen zu sprechen E^x, das ist auch bezeichnet Exp (x).

Abbildung 1. Exponentialfunktion a^x für mehrere Werte der Basis a. (Eigene Ausarbeitung)

Exponentialfunktion Eigenschaften

Aus Abbildung 1 ist ersichtlich, dass die Domäne der Exponentialfunktionen reelle Zahlen sind (DOM F = R) und der Bereich oder die Route sind die positiven realen (ran f = R⁺). 

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Auf der anderen Seite gehen alle exponentiellen Funktionen, unabhängig vom Wert der Basis A, den Punkt (0, 1) und nach Punkt (1, a) durch. 

Wenn die Basis A> 1, Dann wächst die Funktion und wann 0 < a < 1 Die Funktion nimmt ab. 

Die Kurven von y = a^x und von y = (1/a)^x  Sie sind in Bezug auf die Achse symmetrisch UND. 

Mit Ausnahme des Falls A = 1, Die exponentielle Funktion ist injiziert, dh für jeden Wert des Bildes, der entspricht und nur ein Startwert.

Logarithmische Funktion

Es ist eine echte tatsächliche Funktion einer realen unabhängigen Variablen, die auf der Definition des Logarithmus einer Zahl basiert. Logarithmus basiert Zu einer Zahl X, Es ist die Nummer Und auf die die Basis erhoben werden muss, um das Argument zu erhalten X:

Protokoll_Zu(x) = y ⇔ a^y = x

Das heißt, das Logarithmusfunktion in der Basis Zu Es ist die inverse Funktion zur exponentiellen Funktion basierend auf Zu.

Zum Beispiel:

Protokoll₂1 = 0, da 2^0 = 1

Ein anderer Fall, Protokoll₂4 = 2, weil 2^2 = 4

Der Stammlogarithmus von 2 ist log₂√2 = ½, weil 2^½ = √2

Protokoll₂ ¼ = -2, in Ansicht, dass 2^(-2) = ¼ 

Unten finden Sie eine Grafik der Logarithmusfunktion in verschiedenen Basen.

Figur 2. Exponentialfunktion für verschiedene Basiswerte. (Eigene Ausarbeitung)

Logaritmo -Funktionseigenschaften

Die Domäne der Logarithmusfunktion und (x) = logZu(X)  Sie sind die positiven realen Zahlen R+. Der Bereich oder die Route sind die realen Zahlen R.

Unabhängig von der Basis geht die Logarithmusfunktion immer durch den Punkt (1.0) und der Punkt (a, 1) gehört zum Graphen der genannten Funktion.

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In dem Fall, dass die Basis A größer ist als die Einheit (a> 1), nimmt die Logarithmusfunktion zu. Aber ja (0 < a < 1) entonces es una función decreciente.

Seno-, Coseno- und Tangentenfunktionen

Die Sinusfunktion weist jedem Wert x eine reelle Zahl zu. Um den Wert von Sen (x) aus einem Winkel zu erhalten, wird der Winkel im Einheitskreis dargestellt, und die Projektion des Winkels auf der vertikalen Achse ist die Brust, die diesem Winkel entspricht.

Unten ist (in Abbildung 3) der trigonometrische Kreis und die Brust für mehrere Winkelwerte x1, x2, x3 und x4.

Figur 3. Trigonometrischer Kreis und der Busen mehrerer Winkel. (Eigene Ausarbeitung)

Definiert auf diese Weise ist der maximale Wert, den die SEN (x) -Funktion haben kann, 1, was auftritt, wenn x = π/2 + 2π n ist und eine ganze Zahl (0, ± 1, ± 2,) ist. Der Mindestwert, den die SEN (x) -Funktion ertragen kann, wenn x = 3π/2 + 2π n. 

Die cosseno y = cos (x) -Funktion wird auf ähnliche Weise definiert, aber die Projektion der Winkelpositionen P1, P2 usw. wird auf der horizontalen Achse des trigonometrischen Kreises durchgeführt.

Andererseits ist die y = tan (x) -Funktion das Verhältnis zwischen der Sinusfunktion und der Cosinusfunktion.

Dann wird ein Diagramm der transzendenten Funktionen sen (x), cos (x) und tan (x) gezeigt

Figur 4. Grafik der transzendenten Funktionen, Brust, Cosinus und Tangente. (Eigene Ausarbeitung)

Abgeleitet und integral

Abgeleitet von der exponentiellen Funktion

Die Ableitung Und' der exponentiellen Funktion y = a^x Es ist die Funktion a^x multipliziert von ihm Neperianer Logarithmus der Basis a:

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und '= (a^x)' = a^x ln a

Im speziellen Fall der Basis Und, Die Ableitung der exponentiellen Funktion ist die exponentielle Funktion selbst.

Integral der exponentiellen Funktion

Das unbestimmte Integral von a^x Es ist die Funktion, die zwischen dem neperischen Logarithmus der Basis aufgeteilt ist. 

Im speziellen Fall von Basis E ist das Integral der exponentiellen Funktion die Exponentialfunktion selbst.

Derivat und integrale Tabelle der transzendenten Funktionen

Im Folgenden finden Sie eine Zusammenfassung der wichtigsten transzendenten Funktionen, ihrer Derivate und unbestimmten (Antiderivate):

Unbestimmte Derivat- und Integraletabelle für einige transzendente Funktionen. (Eigene Ausarbeitung)

Beispiele

Beispiel 1

Ermitteln Sie die resultierende Funktion der Zusammensetzung der Funktion f (x) = x^3 mit der Funktion g (x) = cos (x):

(f oder g) (x) = f (g (x)) = cos³(X)

Sein Derivat und sein unbestimmte Integral beträgt:

Beispiel 2

Ermitteln Sie die Zusammensetzung der G -Funktion mit der F -Funktion, die G und F der im vorherigen Beispiel definierten Funktionen ist:

(g oder f) (x) = g (f (x)) = cos (x³)

Es ist zu beachten, dass die Zusammensetzung von Funktionen keine kommutative Operation ist.

Das Derivat und das unbestimmte Integral für diese Funktion sind jeweils:

Das Integral wurde angezeigt, da es nicht möglich ist, das Ergebnis als eine Kombination von Elementarfunktionen genau zu schreiben.

Verweise

1. Berechnung einer einzelnen Variablen. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10. November. 2008
2. Der implizite Funktionstheorem: Geschichte, Theorie und Anwendungen. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9. November. 2012
3. Multivariable Analyse. Sable Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13. Dezember. 2010
4. Systemdynamik: Modellierung, Simulation und Steuerung mechatronischer Systeme. Dean c. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7. März. 2012
5. Kalkül: Mathematik und Modellierung. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R.Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1. Januar. 1999
6. Wikipedia. Transzendente Funktion. Geborgen von: ist.Wikipedia.com