Grundlegende trigonometrische Funktionen in der kartesischen Ebene, Beispiele, Übung

Der trigonometrische Funktionen Von realer variabler sie entsprechen jedem Winkel (ausgedrückt in Radianes), einem trigonometrischen Grund, der Sinus, Cosinus, Tangente, Kotangent, Sekant und Harvester sein kann.

Auf diese Weise haben wir die sechs trigonometrischen Funktionen: Sinus, Cosinus, Tangente, Merkmale, Trocknen und Kotangent.

Abbildung 1. Trigonometrische Kreisanimation. Quelle: Wikimedia Commons.

Die trigonometrischen Funktionen für Winkel zwischen 0 und 2π werden mit Hilfe des einheitlichen Umfangs von Radio 1 definiert und dessen Zentrum mit dem Ursprung des kartesischen Koordinatensystems zusammenfällt: der Punkt (0,0).

Wir können jeden Punkt P von Koordinaten (x, y) in diesem Umfang lokalisieren.

Das Segment, das den Ursprung mit P verbindet, zusammen mit den jeweiligen Segmenten, die die Projektionen von P auf den Koordinatenachsen vereinen. So:

• sin θ = entgegengesetzt /hypotenusa cateto
• cos θ = benachbarter /hypotenusa kateto
• tg θ = entgegengesetzter Kateto /benachbarter Kateto

Und jetzt die Gründe, die die Umkehrung der oben genannten sind:

• sec θ = hypotenuse /benachbarter Kateto
• Schaden θ = hypotenusa /kateto gegenüber
• ctg θ = benachbarter Kateto /gegenüberliegender Kateto

Im einheitlichen Kreis ist die Hypotenuse eines jeden Dreiecks gleich 1 und die Kategorien sind X und Y wert: Dann:

sin θ = y

cos θ = x

Figur 2. Das rechte Dreieck im Einheitskreis. Quelle: Wikimedia Commons.

Auf diese Weise erwerben die Sinus- und Cosinusfunktionen immer Werte zwischen -1 und 1, während die verbleibenden:

tg θ = y/x

Schaden θ = 1/y

Sec θ = 1/x

Sie sind nicht definiert, wenn X entweder Und Sie sind 0 wert.

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Trigonometrische Funktionen in der kartesischen Ebene

Wie wir weiter unten sehen werden, sind trigonometrische Funktionen durch periodisch gekennzeichnet. Daher sind sie nicht bijektiv, außer in einem eingeschränkten Bereich.

Funktion f (x) = sin x

Beginnend im trigonometrischen Kreis am Punkt P (1,0) beträgt der Winkel 0 Radiant. Dann dreht sich der Radius im anti -hühenden Sinne und die Senx -Funktion wächst allmählich, bis er π/2 Radians (90 °) erreicht, äquivalent zu 1.Ungefähr 571 Radians.

Kann Ihnen dienen: ergänzende Winkel: Was sind, Berechnung, Beispiele, Übungen

Dort erreicht es den Wert y = 1 und nimmt dann ab, bis er in π -Radianes (180 °) Null erreicht, Null. Anschließend nimmt es noch mehr ab, da der Wert negativ wird, bis der Winkel 3π/2 -Radians beträgt (270 °).

Schließlich steigt es wieder, bis es in 360 ° auf Null zurückkehrt, wo alles wieder beginnt. Dies macht y = sin x a periodische Funktion von Periode 2π, so dass die Sinusfunktion nicht bijektiv ist.

Darüber hinaus ist der Diagramm in Bezug auf den Punkt (0,0) symmetrisch, daher ist die Funktion ungerade.

Dann die Grafik von y = sen x:

Figur 3. Funktionsgrafik f (x) = sin x. Quelle: Stewart, J. Präzision: Mathematik für die Universität.

Der rote Abschnitt ist die erste Periode. Negative Winkel werden ebenfalls berücksichtigt, da sich der Radius des trigonometrischen Kreises in einem Zeitplan drehen kann.

Sen X Domain = Alle Reales.

Sen X -Bereich oder Route = [-1,1]

Funktion f (x) = cos x

Am Punkt P (1.0) ist die Coseno -Funktion 1 wert und ab dort abnimmt und erreicht 0, wenn der Winkel π/2 ist. Nehmen Sie weiter ab und nimmt negative Werte an, bis es im Winkel π -1 -1 erreicht ist.

Dann beginnt es allmählich zuzunehmen, bis es 0 in 3π/2 erreicht und den Wert erneut nimmt, wenn der Radius eine vollständige Kurve gedreht hat. Von dort aus wird der Zyklus wiederholt, da COS X periodisch ist und auch Drehmoment (symmetrisch um die vertikale Achse) ist.

Die Form der Cosinusfunktion ist die gleiche wie die der Sinusfunktion, es sei denn.

Figur 4. Funktionsgrafik f (x) = sin x. Quelle: Stewart, J. Präzision: Mathematik für die Universität.

Cos x domäne = Alle Reales.

Kann Ihnen dienen: pünktliche Schätzung

Reichweite oder COS X -Route = [-1,1]

Diskontinuierliche trigonometrische Funktionen

Die Funktionen Tg X, CTG X, Sec X und Hars. Da diese in einigen Winkeln 0 wert sind, machen sie die Funktion diskontinuierlich, wenn sie im Nenner erscheinen.

Und da Sinus und Cosinus periodische Funktionen sind, sind die Funktionen Tg x, ctg x, sec x, schaden x auch.

Tangentenfunktion f (x) = tg x

Für die Tangentenfunktion sind die Diskontinuitätswerte: ± π/2, ± 3π/2, ± 5π/2 ... Dort dauert die Funktion sehr große oder sehr kleine Werte. Im Allgemeinen geschieht dies für alle Vielfachen von π der Form (2n+1) π/2, sowohl positiv als auch negativ, mit n = 0, 1, 2 ..

Abbildung 5. Funktionsgrafik f (x) = tg x. Quelle: Wikimedia Commons.

Deshalb:

Tg X -Domäne: D = x ∈ R / x ≠ (2n+1) π/ 2; n ∈ Z

Rang oder TG X Tour: Alle Reales.

Beachten Sie, dass die Funktion f (x) = tg x zwischen - π/2 und + π/2 wiederholt wird, daher ist seine Periode π. Außerdem ist es in Bezug auf den Ursprung symmetrisch.

Cotangent -Funktion f (x) = ctg x

Für diese Funktion treten Diskontinuitätswerte in 0, ± π, ± 2π…, dh die gesamten Vielfachen von π auf.

Abbildung 6. Funktionsgrafik f (x) = cotg x. Quelle: Wikimedia Commons.

Wie die Tangentenfunktion ist die Kotangentfunktion die periodische Periode π. Für sie ist es erfüllt, dass:

CTG X -Domäne: D = x ∈ R / x ≠ n π; n ∈ Z

CTG X -Bereich oder Route: Alle Reales.

Trocknungsfunktion f (x) = sec x

Die SEC X -Funktion hat Diskontinuitätspunkte in ± π/2, ± 3π/2, ± 5π/2, wobei cos x = 0. Es ist auch eine periodische Periode π und wird auch von der Grafik beobachtet, dass die Funktion im Intervall niemals Werte nimmt (-1,1)

Kann Ihnen dienen: ganze Zahlen Abbildung 7. Funktionsgrafik f (x) = sec x. Quelle: Wikimedia Commons.

Doma von Sec x: D = x ∈ R / x ≠ (2n+1) π/ 2; n ∈ Z

Sec x Range oder Route: Alle Reais außer (-1,1)

Erntefunktion f (x) = schaden x

Es ähnelt der Trocknungsfunktion, obwohl sie nach rechts verschoben ist, daher sind die Diskontinuitätspunkte 0, ± π, ± 2π und alle gesamten Vielfachen von π. Es ist auch periodisch.

Abbildung 8. Funktionsdiagramm f (x) = schaden x. Quelle: Wikimedia Commons. Geek3/CC BY-SA (https: // CreateRecommons.Org/lizenzen/by-sa/4.0)

Schadensdomäne x: D = x ∈ R / x ≠ n π; n ∈ Z

Reichweite oder Harmonie -Route: Alle Reais außer (-1,1)

Übung gelöst

Ein 6 -Fuß -großer Mann projiziert einen Schatten, dessen Länge angegeben ist durch:

S (t) = 6 │COT (π.T/12) │

Mit s zu Fuß und t die Anzahl der Stunden nach 6 Uhr morgens. Wie viel kostet der Schatten um 8 Uhr, 12 m, um 14 Uhr und um 17.45 Uhr??

Lösung

Wir müssen die Funktion für jeden der angegebenen Werte bewerten. Beachten Sie, dass der absolute Wert dauern muss, da die Länge des Schattens positiv ist:

-Um 8 Uhr morgens sind 2 Stunden ab 6 Uhr abgelaufen, daher ist t = 2 und s (t):

S (2) = 6 │COT (π.2/12) │pies = 6 │Cot (π/6) │pies = 10.39 Fuß.

-Wenn es 12 n ist, sind t = 6 Stunden verstrichen, deshalb:

S (6) = 6 │COT (π.6/12) │pies = 6 │Cot (π/2) │pies = 0 Fuß. (Zu dieser Zeit fällt die Sonne vertikal auf den Kopf der Person).

-Um 14 Uhr verbrachten sie t = 8 Stunden:

S (8) = 6 │COT (π.8 /12) │pies = 6 │Cot (2π /3) │pies = 3.46 Fuß.

-Wenn es 17.45 Uhr ist, sind 11 vorbeikommen 11.75 Stunden von 6 Uhr morgens: dann:

S (11.75) = 6 │Cot (π x 11).75/12) │pies = 91.54 Fuß. Zu diesem Zeitpunkt werden die Schatten länger.

Kann der Leser die Zeit berechnen, in der der Schatten der Person gleich ihrer Höhe ist??

Verweise

1. Carena, m. 2019. Mathematikhandbuch für Präuniversität. Nationale Universität der Küste.
2. Figuera, j. 1999. Mathematik. 1. Diversifiziert. Bolivarische Collegiate -Editionen.
3. Hoffman, J. Auswahl der Mathematikfragen. Band 4.
4. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Zill, d. 1984. Algebra und Trigonometrie. McGraw Hill.