Inverse trigonometrische Funktionen, abgeleitete, Beispiele, Übungen

Der Inverse trigonometrische Funktionen, Wie der Name schon sagt, sind sie die entsprechenden umgekehrten Funktionen der Sinus-, Cosinus-, Tangente, Kotangent-, Trocknungs- und Mischesterfunktionen.

Inverse trigonometrische Funktionen werden mit dem gleichen Namen seiner entsprechenden direkten trigonometrischen Funktion sowie dem Präfix bezeichnet BOGEN. Daher:

1.- Arcsen (x) Es ist die inverse trigonometrische Funktion der Funktion Sünde (x)

2.- Arccos (x) Es ist die inverse trigonometrische Funktion der Funktion cos (x)

3.- Arctan (x) Es ist die inverse trigonometrische Funktion der Funktion Tan (x)

4.- Arccot ​​(x) Es ist die inverse trigonometrische Funktion der Funktion cot (x)

5.- Arcsec (x) Es ist die inverse trigonometrische Funktion der Funktion Sec (x)

6.- ARCCSC (x) Es ist die inverse trigonometrische Funktion der Funktion CSC (x)

Abbildung 1. Arcsen -Funktionen (x) (in Rot) und Arccos (x) (in Blau). Quelle: Wikimedia Commons.

Die Funktion θ = Arcsen (x) Es führt zu einem Einheitenbogen θ (oder Winkel in Radianes θ) so dass sin (θ) = x.

Somit beispielsweise Arcsen (√3/2) = π/3, da bekannt ist, ist die Brust von π/3 Radians gleich √3/2.

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Hauptwert inverse trigonometrische Funktionen

So dass eine mathematische Funktion f (x) umgekehrt g (x) = f hat^-1(x) Es ist notwendig, dass diese Funktion lautet Injektiv, Dies bedeutet, dass jeder Wert und der Ankunftssatz der Funktion f (x) von einem und nur einem X -Wert stammen.

Es ist klar, dass diese Anforderung durch keine trigonometrische Funktion erfüllt wird. Um den Punkt zu verdeutlichen, stellen wir fest, dass der Wert y = 0,5 aus der Sinusfunktion auf folgende Weise erhalten werden kann:

• sin (π/6) = 0,5
• sin (5π/6) = 0,5
• sin (7π/6) = 0,5

Und viel mehr, da die Sinusfunktion mit Periode 2π periodisch ist.

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Um inverse trigonometrische Funktionen definieren.

Diese eingeschränkte Domäne der direkten Funktion ist der Hauptbereich oder Zweig ihrer entsprechenden Umkehrfunktion.

Figur 2. Arctan -Funktionen (x) (in Rot) und Arccot ​​(x) (in Blau). Quelle: Wikimedia Commons.

Tabelle der Domänen und Bereiche inverse trigonometrische Funktionen

Figur 3. Arcsec (x) (in Rot) und ARCCSC (x) (in blau) Funktionen (in blau). Quelle: Wikimedia Commons.

Abgeleitet von inversen trigonometrischen Funktionen

Um die Derivate der inversen trigonometrischen Funktionen zu erhalten.

Wenn wir F (y) der Funktion und durch f bezeichnen^-1(x) Zu seiner inversen Funktion hängt die aus der umgekehrte Funktion abgeleitete Funktion mit der Ableitung der direkten Funktion durch die folgende Beziehung zusammen:

[F^-1(x)] '= 1/ f' [f^-1(X)]

Zum Beispiel: Wenn x = f (y) = √y die direkte Funktion ist, ist seine Umkehrung sein

y = f^-1(x) = x². Wenden wir die Regel der umgekehrten Ableitung auf diesen einfachen Fall an, um festzustellen, dass diese Regel erfüllt ist:

[X²] '= 1 / [√y]' = 1 / (½ und^-½ = 2 und^½ = 2 (x²)^½ = 2x 

Nun, wir können diesen Trick bewerten, um diejenigen zu finden, die aus inversen trigonometrischen Funktionen stammen.

Zum Beispiel nehmen wir θ = Arcsen (x) Als direkte Funktion wird seine umgekehrte Funktion sein sin (θ) = x.

[Arcsen (x)] '= 1 / [sin (θ)]' = 1 / cos (θ) = 1 / √ (1 - Sen (θ)²) =…

… = 1 / √ (1 - x²) .

Auf diese Weise können alle, die aus den inversen trigonometrischen Funktionen stammen, erhalten werden, die unten gezeigt werden:

Figur 4. Tabelle derjenigen, die aus inversen trigonometrischen Funktionen stammen. Quelle: Wikimedia Commons.

Diese Derivate gelten für jedes Z -Argument, das zu komplexen Zahlen gehört.

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Beispiele

- Beispiel 1

Finden Sie Arctan (1).

Lösung

Der Arctan (1) ist der Einheitsbogen (Winkel in Radianes) ፀ so, dass der Tan (ፀ) = 1. Dieser Winkel ist ፀ = π/4, weil SO (π/4) = 1. Dann Arctan (1) = π/4.

- Beispiel 2

Berechnen Sie Arcsen (cos (π/3)).

Lösung

Der Winkel π/3 Radians ist ein bemerkenswerter Winkel, dessen Cosinus ½ ist, so dass das Problem auf die Suche nach Arcsen reduziert wird (½).

Es geht also darum, den Winkel zu finden, dessen Sinus ½ angibt. Dieser Winkel ist π/6, da sen (π/6) = sen (30º) = ½. Daher Arcsen (cos (π/3)) = π/6. 

Übungen

- Übung 1

Finden Sie das Ergebnis des folgenden Ausdrucks:

Sec (Arcan (3)) + CSC (ARCCOT (4))

Lösung

Wir beginnen, α = Arcan (3) und β = Arcot (4) zu nennen (4). Der Ausdruck, den wir berechnen müssen, ist also wie folgt:

Sec (α) + CSC (β)

Die Expression α = Arcan (3) entspricht dem (α) = 3.

Da die Tangente das entgegengesetzte Bein am benachbarten ist, wird ein rechteckiges Dreieck von Kateto gegen α von 3 Einheiten und eine benachbarte Kategorie von 1 Einheit gebaut, so dass (α) = 3/1 = 3 ist.

In einem Rechteck -Dreieck wird der Hypotenuse durch den Pythagoras -Theorem bestimmt. Bei diesen Werten ist es √10, so dass:

Sek (α) = Hypotenuse / benachbarter Kateto = √10 / 1 = √10.

In ähnlicher Weise entspricht β = Arcot (4) der Angabe, dass COT (β) = 4.

Ein rechteckiges Dreieck von Kateto neben β von 4 Einheiten und ein gegenüberliegender Kateto von 1 Einheit, so dass COT (β) = 4/1.

Das Dreieck ist sofort fertiggestellt, um seinen Hypotenuse dank Pythagoras 'Theorem zu finden. In diesem Fall stellte sich heraus, dass es √17 Einheiten hatte. Dann wird der CSC (β) = Hypotenuse / entgegengesetztes Cateto = √17 / 1 = √17 berechnet.

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Denken Sie daran, dass der Ausdruck, den wir berechnen müssen, lautet: 

Sec (Arcan (3)) + CSC (Arcot (4)) = Sek. (α) + CSC (β) =…

… = √10 + √17 = 3,16 + 4,12 = 7,28.

- Übung 2

Finden Sie die Lösungen von:

Cos (2x) = 1 - sen (x)

Lösung

Es ist notwendig, dass alle trigonometrischen Funktionen in demselben Argument oder Winkel ausgedrückt werden. Wir werden die Identität des Doppelwinkels verwenden:

Cos (2x) = 1 - 2 sen²(X)

Dann ist der ursprüngliche Ausdruck auf:

1 - 2 Sen²(x) = 1 - sin x

Sobald es vereinfacht und faktorisiert wurde, wird es ausgedrückt als:

Sünde (x) (2 Sen (x) - 1) = 0

Dies führt zu zwei möglichen Gleichungen: sin (x) = 0 mit Lösung x = 0 und einer anderen Gleichung sen (x) = ½ mit x = π/6 als Lösung.

Die Lösungen für die erhöhte Gleichung sind: x = 0 oder x = π/6.

- Übung 3

Finden Sie die Lösungen der folgenden trigonometrischen Gleichung:

cos (x) = sin²(X)

Lösung

Um diese Gleichung zu lösen, ist es zweckmäßig, eine einzelne Art von trigonometrischer Funktion zu platzieren, sodass wir die grundlegende trigonometrische Identität verwenden, damit die ursprüngliche Gleichung wie folgt umgeschrieben wird:

cos (x) = 1 - cos²(X)

Wenn wir y = cos (x) nennen, kann der Ausdruck als:

Und² + und - 1 = 0

Es ist eine Gleichung zweiten Grades in und, deren Lösungen sind:

y = (-1 ± √5) / 2

Dann sind die Werte von x, die die ursprüngliche Gleichung erfüllen,:

x = arkos ((-1 ± √5) / 2)

Die reale Lösung ist das positive Vorzeichen x = 0,9046 rad = 51,83º.

Die andere Lösung ist komplex: x = (π - 1,06 i) rad.

Verweise

1. HaMewinkel, m. 1994. Enzyklopädie der Mathematik. KLUWER Academic Publishers / Springer Science & Business Media. 
2. Mobiler Kumpel. Inverse trigonometrische Funktionen. Erholt von: Matemovil.com
3. Universumformeln. Inverse trigonometrische Funktionen. Erholt von: Universoumulas.com
4. Weisstein, Eric W. Erfinden trigonometrische Funktionen. Erholt von: Mathworld.Wolfram.com
5. Wikipedia. Erfinden trigonometrische Funktionen. Abgerufen von: in.Wikipedia.com