Analytische Geometrie

Wir erklären, welche analytische Geometrie, seine Geschichte, welche Studien und Anwendungen sind

Was ist analytische Geometrie?

Der analytische Geometrie Es ist der Zweig der Mathematik, in dem Geometrie und Algebra kombiniert werden, um verschiedene geometrische Probleme durch algebraische Techniken zu lösen.

Verwenden Sie Koordinatensysteme wie das kartesische Koordinatensystem, das seinen Namen René Descartes schuldet. Auf diese Weise ist es möglich, Kurven in der Ebene und im Weltraum mit algebraischen Gleichungen zu verbinden.

Diagramm einer Oberfläche im Weltraum und seiner Richtungsableitung, eine der vielen fortgeschritteneren Anwendungen der analytischen Geometrie. Quelle: Wikimedia Commons.

Ein Beispiel hierfür ist die gut bekannte Gleichung des Radius r -Abstands, das auf den Ursprung des Koordinatensystems zentriert ist:

Zweifellos ist es in vielen Fällen einfacher, mit dem algebraischen Ausdruck einer Kurve zu arbeiten als mit ihrer geometrischen Darstellung selbst. Dies ist der Fall bei der Berechnung von Kreuzungen zwischen Kurven oder der Suche nach Tangente oder Trocknungsleitungen, die ihnen finden.

In ähnlicher Weise ist es durch analytische Geometrie möglich, Layout -Funktionen Grafiken zu layern. Und wie bekannt. Daher ist die analytische Geometrie in den Lehrplänen der Karrieren vorhanden, die mit diesen Wissensbereichen verbunden sind.

Kurze Geschichte der analytischen Geometrie

Die analytische Geometrie hat ihren Ursprung in der ersten Hälfte des 17. Jahrhunderts durch die Hand von zwei bemerkenswerten französischen Mathematikern: René Descartes (1596-1650) und Pierre de Fermat (1601-1665).

Rene Descartes

Es kann jedoch gesagt werden.C.). Er schrieb eine Abhandlung über die Conics, für die er ihre Namen gewährte: Umfang, Ellipse, Gleichnis und Hyperbel.

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So war Apollonios Arbeit die Grundlage dafür, dass die französischen René Descartes und Pierre de Fermat die Grundlagen der analytischen Geometrie unabhängig voneinander legten. Aber Descartes gilt als Vater dieser Wissenschaft, da er der erste war, der seine Werke veröffentlichte.

Descartes, Fermat und Euler

In der Rede der Methode von 1637 vereinte Descartes zwei Disziplinen, die bis dahin getrennt waren: Algebra und Geometrie. In seiner Arbeit stellt Descartes das kartesische Koordinatensystem ein, um Punkte in der Ebene und im Raum zu lokalisieren.

Es nutzt auch algebraische Gleichungen mit zwei Variablen, um die konischen Abschnitte zu beschreiben, und widmet sich der Lösung geometrischer Probleme mit ihnen. Auch um einen guten Teil der mathematischen Notation zu schaffen, die derzeit verwendet wird.

Pierre de Fermat ist mehr mit Optik als mit der analytischen Geometrie verbunden. Ihre Beiträge sind jedoch bemerkenswert.

Im Jahr 1629 nahm Fermat die Conics of Apollonius von Pergamo wieder auf und erstellte die Techniken, aus denen die analytische Geometrie ausgesetzt ist, ein eigenes Koordinatensystem erfand und das Schlüsselkonzept von klar definiert hat Geometrischer Ort, mit der die Untersuchung der analytischen Geometrie beginnt.

Fermats Werke sahen das Licht jedoch erst 1679, veröffentlicht von seinem Sohn, als der Mathematiker bereits gestorben war. Aus diesem Grund wird die Vaterschaft der analytischen Geometrie Descartes zugeschrieben.

Anschließend für die französischen Mathematiker stellte der Schweizer Leonardo Euler (1707-1783) die formalen Grundlagen der analytischen Geometrie fest. Euler führte mehrere Koordinatensysteme in Ebene und Raum ein: rechteckige, polare und schräge Koordinaten sowie Transformationen von einem System zu einem anderen.

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In seinen Werken über die analytische Geometrie vertiefte Euler auch die Klassifizierung verschiedener Kurven gemäß dem Grad der repräsentativen algebraischen Gleichung (dritte und vierte Ordnung) und untersuchte seine Eigenschaften intensiv, die Gleichungen der Tangenten, die Krümmungen, die Symmetrien und vieles viel mehr.

Welche analytische Geometrie untersucht?

Im Großen und Ganzen konzentriert sich die analytische Geometrie auf die Untersuchung geometrischer Elemente wie Punkte, Segmente, Linien, Kurven, Oberflächen und Volumina. Wie oben erwähnt, werden allgebraische Gleichungen festgelegt, die diese Elemente beschreiben und in Beziehung setzen, sodass ihre Behandlung durch algebraische Techniken ermöglicht wird.

Die Hauptziele der analytischen Geometrie sind in sehr zusammenfassender Weise die folgenden Weise:

1. Stellen Sie das kartesische Koordinatensystem und das Polarkoordinatensystem fest, um Punkte in der Ebene sowie deren Verlängerung auf Punkte im Raum zu lokalisieren.
2. Zeichnen Sie Segmente, gerade, Kurven und Oberflächen auf der kartesischen Ebene und dem Raum.
3. Die Gleichungen, die eine Kurve und die Konstruktion in der Ebene und/oder in den Raum analytisch beschreiben, sowie die Untersuchung aller Eigenschaften abgeben.
4. Klassifizieren Sie Kurven, Oberflächen und Bände.
5. Fundamentale Formeln leiten.
6. Lösen Sie geometrische Probleme durch die Anwendung von algebraischen Methoden, für die Formeln, die sich auf bemerkenswerte Punkte, Gleichungen für Linien, Pläne, Winkel, Abstand zwischen Punkten, zwischen Linien und Punkten, Tangenzpunkten, Trockenlinien, Bereichen, Bereichen und viel mehr beziehen.
7. Arbeiten Sie mit Vektorräumen und Produkten zwischen Vektoren.

Abstand zwischen zwei Punkten

Als Beispiel für die zahlreichen Anwendungen der analytischen Geometrie ist eine der einfachsten die Berechnung des Abstands zwischen zwei Punkten der Ebene. Sind zwei Punkte p₁ Und P₂, von Koordinaten (x₁,Und₁) und (x₂,Und₂) Der Abstand D zwischen ihnen wird berechnet durch:

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Polar Koordinaten

Ein ebenerer Punkt kann durch seinen „R“ -Dentor.

Das Bild zeigt die polaren Koordinaten eines Punktes p, wobei r = 2.65 und der Winkel in Grad in Bezug auf die polare Achse beträgt 155 °. Quelle: Wikimedia Commons.

Analytische Geometrieanwendungen

Grundlage der infinitesimalen Berechnung

Die analytische Geometrie ist für die Entwicklung der infinitesimalen Berechnung von wesentlicher Bedeutung, da sie die grafische Darstellung von Kurven und Funktionen erleichtert und analytisch mit ihnen zusammenarbeitet, um Modelle zu erstellen, die Phänomene der Natur darstellen.

Karten

Das kartesische Koordinatensystem hilft, Karten zu erstellen und Orte durch Breiten- und Länge zu identifizieren, was den kartesischen Koordinaten eines Punktes in der Ebene entspricht.

Topografische Berechnungen

In der Topographie werden verschiedene Arten von Koordinatensystemen verwendet und bilden die Grundlage ihrer Studie und Anwendungen. Unter ihnen ist das oben beschriebene polare Koordinatensystem.

Himmelskörper Trajektorien

Die konischen Abschnitte, die durch analytische Geometrie beschrieben werden, beteiligen sich an wichtigen Naturphänomen. Zum Beispiel beschreiben die Planeten und einige Kometen elliptische Flugbahnen um die Sonne, wobei sich dies in einem der Scheinwerfer befindet.

Zivilarchitektur und Konstruktionen

Zahlreiche Kurven sind Teil der architektonischen Konstruktionen, beispielsweise können die Kabel einer hängenden Brücke in Form von Gleichnissen erfolgen.

Globale Positionierungssysteme

Das globale Positionierungssystem oder GPS ermöglicht mögliche Standorte mit Präzision sowie beweglichen Objekten wie Fahrzeugen und Booten. Es hilft den Menschen auch, leichter zu ihren Zielen zu gelangen und sie auf den besten Routen zu führen.