Euklidische Geometrie

Wir erklären, welche euklidische Geometrie, ihre Geschichte, Elemente und wir mehrere Beispiele geben

Euklid von Alexandria und seine Elemente von Jusepe de Ribera, nebenan, zwei nicht -parallele Linien und eine Linie, die sie schneidet, und veranschaulicht das fünfte Postulat. Quelle: Wikimedia Commons.

Was ist die euklidische Geometrie?

Der Euklidische Geometrie Es ist derjenige, der von den Postulaten von Euclid de Alejandría, einem griechischen Geometer, der in Richtung 300 bis zu 300 bis 300 lebte.C, zu deren Ehre diese Disziplin genannt wird, da sie die erste war, die sie systematisierte.

Dieser Zweig der Mathematik untersucht die Eigenschaften von Linien, Ebenen, Winkeln und geometrischen Figuren wie Polygonen, Umgehungen und anderen Conics. Daher seine Bedeutung für Wissenschaft und Ingenieurwesen, deren Entwicklung erheblich ausgelöst wurde.

Andererseits war die euklidische Geometrie die erste genaue Wissenschaft, da mit ihr mit dem Weg der Systematisierung der Wissenschaft sowie der Verwendung von Logik aus ein paar Axiomen zahlreiche Aussagen genannt wurden, um die Eigenschaften zu beschreiben, um die Eigenschaften zu beschreiben von geometrischen Objekten.

Geschichte

Die Geometrie hat eine lange Geschichte, weil das Interesse der Menschheit darin sehr alt ist und die zentrale Achse der euklidischen Geometrie die Arbeit ist Artikel, der weisen Euklid von Alexandria, einer Stadt in Ägypten, die im vierten Jahrhundert lebte.C.

Zu dieser Zeit waren die wichtigsten Eigenschaften zahlreicher Figuren und geometrischer Körper bekannt. Es gab umfangreiche Kenntnisse über Geometrie, aber alles war empirisch und fehlte keine Systematisierung.

Dann, der König von Ägypten Ptolemaios.

Euklides machten sich an die Arbeit und neben seinen Jüngern schrieb er seine Arbeitselemente, die er als Kapitel in dreizehn Bücher unterteilte. Diese Arbeit würde eine Referenz für die Geometrie für zukünftige Generationen werden.

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Elemente von Euklid

Der Inhalt der Elemente ist wie folgt organisiert:

• In den Büchern i bis iv flache Geometrie entwickelt sich.
• In Büchern v und ich sahen die Theorie der Proportion.
• IX -Bücher sind Arithmetik gewidmet.
• In Buch x erscheint in Buch X ununterbrochen,
• Die Geometrie des Raums in Büchern XI zu xiii.

Die euklidische Geometrie war die Grundlage für viele posteriore geometrische Entwicklungen und wird derzeit in allen Schulen der Welt unterrichtet.

Es hat auch die Tugend, das erste Werk zu sein, das sorgfältige Demonstrationen beinhaltet, die auf logischem Denken beruhen, und auch die Kohärenz des geometrischen und mathematischen Wissens über diese Zeit zu verleihen.

Grundelemente der euklidischen Geometrie

Die euklidische Geometrie basiert auf vier Grundelementen, die in Buch I der Elemente beschrieben sind:

1. Stelle
2. Gerade
3. Wohnung
4. Raum

1. Stelle

A Stelle Es fehlen Abmessungen oder Teile und unterscheidet sich von einem anderen Punkt einfach von seiner Lage. Wenn zwei Punkte A und B unterschiedlich sind, liegt es daran Wenn ist im Weltraum.

Es ist bemerkenswert, dass das kartesische System nicht Teil der ist Artikel von Euklid, erschien aber viel später in den 1600 Jahren und ist auf René Descartes zurückzuführen.

2. Gerade

Der gerade Es ist eine unendliche Sammlung von Punkten und hat nur Länge, keine Breite. Ein Teil davon wird normalerweise gezeichnet, wobei Pfeile beide darauf hinweisen, dass die Linie auf unbestimmte Zeit fortgesetzt wird.

3. Wohnung

A Wohnung Es handelt.

Dort gibt es in der Ebene viele geometrische Figuren wie Linien, offene und geschlossene Kurven und Polygone unter anderem.

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4. Raum

Schließlich gibt es die Raum Mit seinen drei Abmessungen, die alle Punkte beherbergen können. Es enthält die Ebenen und geometrischen Körper, die durch ihr Volumen gekennzeichnet sind, wie Polyeder, Kugeln und mehr.

Diese können als grundlegende Definitionen der euklidischen Geometrie angesehen werden, aber zusätzlich zu diesen bietet Euclides etwa 150 unterschiedliche Definitionen in ihrer Arbeit.

Gemeinsame Vorstellungen

Sie bestehen aus offensichtlichen und intuitiven Tatsachen, die nicht ordnungsgemäß zum Umfang der Geometrie gehören und als Konzepte verwendet werden. Sie beziehen sich auf "Dinge" in einem sehr breiten Kontext:

1. Dinge gleich für etwas anderes, sie sind gleich miteinander.
2. Wenn Dinge zu einem anderen Satz von Dingen hinzugefügt werden, und alle sind gleich, welche Ergebnisse sind auch die gleichen.
3. Wenn gleiche Dinge gestohlen werden, ist der Rest auch der gleiche.
4. Wenn die Dinge miteinander überfallen, liegt es daran, dass sie gleich sind.
5. Das Ganze ist immer größer als die Parteien, getrennt genommen.

Postulate der euklidischen Geometrie

Postulate oder Axiome sind einfache Aussagen, die als wahr und offensichtlich angesehen werden. Daher erfordern sie keine Demonstration.

Sie bilden die Grundlage der euklidischen und euklidischen Geometrie, die fünf in ihrem Buch I festlegen:

1. Seien Sie zwei verschiedene Punkte zu und B, es gibt nur eine Linie, die sie durchläuft, dh zwei Punkte bestimmen eine Linie.
2. Jedes geradlinige Segment kann auf unbestimmte Zeit erweitert werden, um eine Linie zu bilden. Daher gehört jedes Segment zu einer Linie.
3. Wenn Sie zwei verschiedene Punkte oder und A haben, können Sie jederzeit einen Kreis mit der Mitte in O und dem Radius gleich dem OA -Segment zeichnen.
4. Alle geraden Winkel stimmen miteinander überein.
5. Bei einer Linie und einem Punkt p, der nicht dazu gehört, ist es immer möglich.

Das letzte Postulat, insbesondere in seiner Originalversion, sieht nicht so einfach aus wie die anderen. Es sagt, dass:

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„Wenn eine gerade Linie, die auf zwei andere Linien fällt, die beiden Innenwinkel auf derselben Seite weniger als zwei gerade Winkel macht, heißt es auf unbestimmte Zeit, sie sind auf der Seite, auf der die kleinen Winkel sind zwei gerade Winkel ".

Das heißt, ursprünglich Postulate 5 legt die Bedingung so fest, dass zwei Zeilen nicht parallel sind. Aber es ist klarer, wenn es so geschrieben ist, dass es das Gegenteil veranschaulicht, dh die Parallelität der Zeilen.

Beispiele für die euklidische Geometrie

Beispiel 1

Es gibt drei verschiedene Punkte, die mit den Buchstaben A, B und C gekennzeichnet sind.

1. Wie viele verschiedene Zeilen gehen durch Punkt a?
2. Und wie viele können zwischen den Punkten A und B gezogen werden? Und zwischen a und c?
3. Ist es möglich, eine Linie zu ziehen, an die Punkte A, B und C?

Antwort auf

Laut Postulate I können unendliche Gerade über A gezogen werden, da zwei Punkte erforderlich sind, um eine Linie zu bestimmen.

Antwort b

Entre A und B können nur eine Linie gezogen werden. Und zwischen a und c auch.

Antwort c

Es ist nicht möglich, dass eine Linie gleichzeitig A, B und C enthält.

Beispiel 2

Es wird aufgefordert, Schritt für Schritt ein gleichseitiges Dreieck zu erstellen (alle Seiten sind gleich), wobei ein seiner Seiten kennt, das das Ab -Segment ist und in jedem Schritt den Postulat oder die gemeinsame Begriff in der Konstruktion in der Konstruktion angibt.

Konstruktion des ABC -Gleichgewichtsdreiecks. Quelle: f. Zapata.

Antworten

Schritt 1

Ein Kreis mit einem Zentrum in A und Radio AB wird gezeichnet. Dies ist laut Postulat III immer möglich.

Schritt 2

Ein weiterer Umfang mit Zentrum in B und Radio AB wird gezogen, und das Postulat III wird erneut angewendet.

Schritt 3

Beide Umkämpfe, die den gleichen Radius haben, werden an Punkt C geschnitten. Jetzt können Sie Segmente zeichnen, die C mit A bzw. B vereinen, laut Postulate i.

Diese Segmente sind Radios des Umfangs und daher sind die Maße von AC und BC der von AB entsprechend dem gemeinsamen Begriff 1 gleich. Dann ist das ABC -Dreieck gleichseitig.