Freiheitsgrade, wie man sie, Typen, Beispiele berechnet

Der Freiheitsgrade In Statistiken sind die Anzahl der unabhängigen Komponenten eines zufälligen Vektors. Wenn der Vektor hat N Komponenten und da gibt es P lineare Gleichungen, die seine Komponenten beziehen, dann die Freiheitsgrad Es ist n-p.

Das Konzept von Freiheitsgrade Es erscheint auch in der theoretischen Mechanik, in der sie in einem Bruttomodus der Dimension des Raums entsprechen, in dem sich das Teilchen bewegt, mit Ausnahme der Anzahl der Ligaturen.

Abbildung 1. Ein Pendel bewegt sich in zwei Dimensionen, hat aber nur ein gewisses Maß an Freiheit, weil es verpflichtet ist, sich in einem Radius -Bogen zu bewegen. Quelle: f. Zapata.

In diesem Artikel wird das Konzept von Freiheitsgraden erörtert, die auf Statistiken angewendet werden. Ein mechanisches Beispiel ist jedoch leichter auf geometrische Weise zu visualisieren.

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Arten von Freiheitsgraden

Nach dem Kontext, in dem es angewendet wird.

In einem mechanischen Fall

Betrachten Sie ein Teilchen, das an ein Seil (ein Pendel) gebunden ist, das sich in der vertikalen Ebene X-Y (2 Abmessungen) bewegt. Das Teilchen ist jedoch verpflichtet, sich am Radiusumfang zu bewegen, der der Länge des Seils entspricht.

Da sich das Teilchen nur auf dieser Kurve bewegen kann, die Anzahl von Freiheitsgrade Es ist 1. Dies kann in Abbildung 1 sichtbar gemacht werden.

Der Weg zur Berechnung der Anzahl der Freiheitsgrade besteht darin, die Anzahl der Abmessungen mit Ausnahme der Anzahl der Einschränkungen zu machen:

Freiheitsgrade: = 2 (Abmessungen) - 1 (Ligation) = 1

Eine weitere Erklärung, die es uns ermöglicht, das Ergebnis zu erreichen, lautet wie folgt:

-Wir wissen, dass die zweidimensionale Position durch einen Koordinatenpunkt (x, y) dargestellt wird.

-Aber wie der Punkt die Umfangsgleichung (x) erfüllen muss² + Und² = L²) Für einen gegebenen Wert der Variablen x, der Variablen und durch diese Gleichung oder Einschränkung bestimmt.

Auf diese Weise ist nur eine der Variablen unabhängig und das System hat Ein (1) Freiheitsgrad.

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In einer Reihe von zufälligen Werten

Um zu veranschaulichen, was das Konzept bedeutet, nehmen Sie den Vektor an

X = (x₁, X₂,…, X_N)

Darstellung der Stichprobe von N Zufällige Werte normal verteilt. In diesem Fall der zufällige Vektor X hat N unabhängige Komponenten und deshalb wird es gesagt X hat Freiheitsgrade.

Lassen Sie uns jetzt den Vektor bauen R des Abfalls

R = (x₁ - , X₂ - ,.. ., X_N - )

Wo es den Durchschnitt der Stichprobe darstellt, die wie folgt berechnet wird:

= (x₁ + X₂ +.. .+ X_N) / N

Dann die Summe

(X₁ - )+(x₂ - )+.. .+(X_N - ) = (x₁ + X₂ +.. .+ X_N) - n = 0

Es ist eine Gleichung, die eine Einschränkung (oder Ligation) in den Vektorelementen darstellt R der Abfall, da n-1 Vektorkomponenten sind, wenn n-1 bekannt ist R, Die Restriktionsgleichung bestimmt die unbekannte Komponente.

Deshalb der Vektor R von Dimension n mit der Einschränkung:

∑ (x_Yo - ) = 0

Hat (N - 1) Freiheitsgrade.

Wieder wird angewendet, dass die Berechnung der Anzahl der Freiheitsgrade lautet:

Freiheitsgrade: = n (Abmessungen) - 1 (Einschränkungen) = n -1

Beispiele

Varianz und Freiheitsgrade

Die Varianz s² Es ist definiert als der Durchschnitt des Quadrats der Abweichungen (oder Abfälle) der Datenprobe:

S² = (R•R) / (N-1)

Wo R ist der Abfallvektor R = (x1 -, x2 -, .. ., Xn -) und der dicke Punkt (•) ist der skalare Produktbetreiber. Alternativ kann die Varianzformel wie folgt geschrieben werden:

S² = ∑ (x_Yo - )² / (N-1)

In jedem Fall sollte beachtet werden, dass bei der Berechnung des Durchschnitts des Abfalls die Anzahl der Grad der Freiheit der Freiheit der Freiheit der Freiheit der Freiheit der Freiheitsgrade geteilt wird, und nicht zwischen n, da er wie im vorherigen Abschnitt erörtert wurde Vektor R ist (n-1).

Wenn für die Berechnung der Varianz zwischen geteilt wurde N Anstelle von (n-1) hätte das Ergebnis eine Verzerrung, die für die Werte von sehr signifikant ist N weniger als 50.

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In der Literatur erscheint auch die Formel der Varianz mit dem Divisor N anstelle von (n-1), wenn es um die Varianz einer Population geht.

Aber der Satz der zufälligen Variablen des Abfalls, dargestellt durch den Vektor R, Während es Dimension N hat, hat es nur (n-1) Freiheitsgrade. Wenn die Datennummer jedoch groß genug ist (n> 500), konvergieren beide Formeln mit demselben Ergebnis.

Die Taschenrechner und Tabellenkalkulationen bieten die beiden Varianzversionen und die Standardabweichung (die die Quadratwurzel der Varianz ist).

Unsere Empfehlung im Hinblick auf die hier vorgestellte Analyse lautet immer, die Version immer mit (N-1) auszuwählen, wenn die Varianz oder Standardabweichung berechnet werden muss, um Ergebnisse mit Verzerrung zu vermeiden.

In der Chi -Quadratverteilung

Einige Wahrscheinlichkeitsverteilungen in kontinuierlicher Zufallsvariable hängen von einem Parameter bezeichnet Freiheitsgrad, Dies ist der Fall der Chi -Quadratverteilung (χ²).

Der Name des Parameters stammt nur aus den Grad der Freiheit des zufälligen Vektors, auf den diese Verteilung angewendet wird.

Angenommen, es gibt G ​​-Populationen, von denen Proben der N -Größe entnommen werden:

X₁ = (x1₁, x1₂,... x1_N)

X2 = (x2₁, x2₂,... x2_N)

.. .

X_J = (xj₁, xj₂,… Xj_N)

.. .

Xg = (xg₁, Xg₂,… Xg_N)

Eine Bevölkerung J Das hat durchschnittliche und Standardabweichungen Sj, Folgen Sie der Normalverteilung N (, Sj ).

Die typische oder normalisierte Variable zj_Yo ist definiert als:

Zj_Yo = (xj_Yo - ) / Sj.

Und der Vektor Zj Es ist so definiert:

Zj = (Zj₁, Zj₂,…, ZJ_Yo,…, ZJ_N) Und folgen Sie der Normalverteilung, die n (0,1) typisiert ist.

Dann die Variable:

Q = ((Z1₁ ^2 + z2₁^2+… . + Zg₁^2),… ., (Z1_N^2 + z2_N^2+… . + Zg_N^2))

Folgen Sie der Verteilung χ²(g) die genannten Chi Square -Verteilung mit Freiheitsgrad G.

In der Hypothesekontrast (mit einem gelösten Beispiel)

Wenn Sie einen Hypothesekontrast basierend auf einem bestimmten Satz von Zufallsdaten stellen möchten, ist es notwendig, das zu wissen Anzahl der Freiheitsgrade g Um den CHI Square -Test anzuwenden.

Kann Ihnen dienen: kontinuierliche einheitliche Verteilung: Merkmale, Beispiele, Anwendungen Figur 2. Gibt es eine Beziehung zwischen Eisgeschmack und Kundengeschlecht? Quelle: f. Zapata.

Beispiel. Die Frequenz, mit der Männer und Frauen Erdbeer oder Schokolade wählen, ist in Abbildung 2 zusammengefasst.

Zunächst wird die erwartete Frequenztabelle berechnet, die durch Multiplizieren der Gesamtreihen für ihn Gesamtspalten, geteilt durch Gesamtdaten. Das Ergebnis ist in der folgenden Abbildung dargestellt:

Figur 3. Berechnung der erwarteten Frequenzen basierend auf den beobachteten Frequenzen (blaue Werte in Abbildung 2). Quelle: f. Zapata.

Anschließend berechnen wir das Chi -Quadrat (aus den Daten) nach der folgenden Formel:

χ² = ∑ (f_entweder - F_Und)² / F_Und

Wo f_entweder sind die beobachteten Frequenzen (Abbildung 2) und f_Und sind die erwarteten Frequenzen (Abbildung 3). Die Summe ist über alle Ränge und Spalten, die in unserem Beispiel vier Begriffe geben.

Nachdem Sie die Operationen ausgeführt haben, erhalten Sie:

χ² = 0,2043.

Es ist nun notwendig, mit dem theoretischen Quadrat zu vergleichen, das von der abhängt Anzahl der Freiheitsgrade g.

In unserem Fall wird diese Zahl wie folgt bestimmt:

G = (#Filas - 1) (#Columnas - 1) = (2 - 1) (2 - 1) = 1 * 1 = 1.

Es stellt sich heraus, dass die Anzahl der Freiheitsgrade dieses Beispiels 1 ist.

Wenn Sie die Nullhypothese verifizieren oder ablehnen möchten (H0: Es gibt keine Korrelation zwischen Geschmack und Geschlecht) mit einem Signifikanzniveau von 1%, wird das theoretische Chi -Quadrat mit dem Freiheitsgrad g = 1 berechnet.

Der Wert, der die angesammelte Frequenz macht, wird gesucht (1 - 0.01) = 0.99, das sind 99%. Dieser Wert (der aus den Tabellen erhalten werden kann) ist 6.636.

Da das theoretische Chi die Berechnung übertrifft, wird die Nullhypothese verifiziert.

Das heißt, bei den gesammelten Daten gibt es keine Beziehung zwischen dem Variablengeschmack und dem Geschlecht.

Verweise

1. Minitab. Was sind die Freiheitsgrade?? Abgerufen von: Unterstützung.Minitab.com.
2. Moore, David. (2009) Basic angewandte Statistiken. Antoni Bosch Herausgeber.
3. Leigh, Jennifer. Wie man Freiheitsgrade in statistischen Modellen berechnet. Erholt von: Geniolandia.com
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5. Wikipedia. Freiheitsgrad (physisch). Geborgen von: ist.Wikipedia.com