Heptadecágono -Eigenschaften, Diagonale, Umfang, Fläche

Er Heptadecágono Es ist ein reguläres Polygon von 17 Seiten und 17 Eckpunkten. Seine Konstruktion kann im euklidischen Stil durchgeführt werden, dh nur die Regel und den Kompass verwenden. Es war das große Genie der Mathematik Carl Friedrich Gauß (1777-1855), die nur 18 Jahre alt war, der das Verfahren für seinen Bau 1796 fand. 

Anscheinend fühlte sich Gauß immer sehr geneigt zu dieser geometrischen Figur, bis zu dem Punkt, dass er von dem Tag an, als er seine Konstruktion entdeckte, entschied, Mathematiker zu sein. Es wird auch gesagt, dass er wollte, dass der Heptadecágono auf seinem Grabstein aufgezeichnet wird.

Abbildung 1. Heptadecágono ist ein reguläres Polygon von 17 Seiten und 17 Eckpunkten. Quelle: f. Zapata.

Gauß fand auch die Formel, um zu bestimmen, welche regulären Polygone mit Regel und Kompass gebaut werden können, da einige keine genaue euklidische Konstruktion haben.

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Merkmale von Heptadecágono

Wie für jedes Polygon ist die Summe seiner inneren Winkel wichtig. In einem regulären Polygon von N Seiten, die Summe ist gegeben durch:

Sa (n) = (n -2) *180º.

Für die Heptadecágono die Anzahl der Seiten N Ist 17, Was bedeutet, dass die Summe seiner inneren Winkel lautet:

Sa (17) = (17 - 2) * 180º = 15 * 180º = 2700º.

Diese in Radianes ausgedrückte Summe ist wie folgt:

Sa (17) = (17 - 2) * π = 15 * π = 15π

Aus den vorherigen Formeln kann leicht abgeleitet werden, dass jeder interne Winkel eines Heptadecágono eine genaue α -Messung hat, die durch:

α = 2700º/17 = (15/17) π Radianes

Daraus folgt, dass der innere Winkel ungefähr lautet:

α ≈ 158,824º

Diagonale und Umfang

Diagonal und Umfang sind weitere wichtige Aspekte. In jedem Polygon lautet die Anzahl der Diagonalen: 

D = n (n - 3) / 2 und im Fall von Heptadecágono, wie z N = 17, Sie müssen D = 119 Diagonale.

Kann Ihnen dienen: Trinomial

Andererseits, wenn die Länge jeder Seite der Heptadecágono bekannt ist, dann fügt der Umfang des regulären Heptadecágon einfach das 17 -fache dieser Länge hinzu oder was das 17 -fache der 17 -fachen der Länge ist D Auf jeder Seite:

P = 17 d

Umfang von Heptadecágono 

Manchmal ist nur Radio bekannt R des Heptadecágono, daher ist es notwendig, eine Formel für diesen Fall zu entwickeln.

Zu diesem Zweck das Konzept von Apothema. Apothemie ist das Segment, das von der Mitte des regulären Polygons bis zum Mittelpunkt auf einer Seite führt. Das Apothem in Bezug auf die Seite ist senkrecht zu dieser Seite (siehe Abbildung 2).

Figur 2. Die Teile eines regulären Radio -R -Polygons und seines Apothems sind gezeigt. (Eigene Ausarbeitung)

Darüber hinaus ist das Apothem halbier des Winkels mit dem zentralen Scheitelpunkt und den Seiten auf zwei aufeinanderfolgenden Scheitelpunkten des Polygons ermöglicht, eine Beziehung zwischen dem Radio zu finden R und die Seite D.

Wenn es genannt wird β zum zentralen Winkel Damhirschkuh Und unter Berücksichtigung dieses Apothems Oj ist Bisektor, den Sie haben Ex = d/2 = r sen (β/2), wo Sie eine Beziehung haben, um die Länge zu finden D Auf der Seite eines Polygons, der sein Radio bekannt war R und sein zentraler Winkel β:

D = 2 R sin (β/2)

Im Fall von Heptadecágon β = 360º/17 Für was du hast:

D = 2 r sen (180º/17) ≈ 0,3675 r

Schließlich wurde die Formel des Umfangs des Heptadecágono bekannt, dass ihr Radius erhalten wird:

P = 34 r Sen (180º/17) ≈ 6.2475 r

Der Umfang eines Heptadecágonon PCIR = 2π R ≈ 6.2832 r.

Bereich

Um den Bereich der Heptadecágono zu bestimmen N Seiten. In dieser Abbildung das Dreieck Eod Es hat eine Fläche, die der Basis entspricht D (Polygonseite) nach Höhe Zu (Polygonapothem) geteilt durch 2:

Es kann Ihnen dienen: Kraftreihe: Beispiele und Übungen

EOD = (d x a) / 2

Also dieses bekannte Apotem Zu der Heptadecágono und der Seite D des gleichen ist:

Heptadecágono Area = (17/2) (d x a)

Bereich an der Seite

Um eine Formel für den Sebptadecágono -Gebiet zu erhalten Zu und die Seite D.

In Bezug auf Abbildung 2 haben Sie die folgende trigonometrische Beziehung:

Tan (β/ 2) = EG/ oj = (d/ 2)/ a, Sein β zum zentralen Winkel Damhirschkuh. Also dieses Apothem Zu kann berechnet werden, wenn die Länge bekannt ist D von der Polygonseite und dem zentralen Winkel β:

A = (d/2) cotan (β/2)

Wenn dieser Ausdruck für Apothem jetzt ersetzt wird, haben Sie in der Formel des im vorherigen Abschnitts erhaltenen Heptadecágono -Gebiets:

Heptadecágono Area = (17/4) (D. D²) Cotan (β/2)

Sein β = 360º/17 Für die Heptadecágono haben Sie endlich die gewünschte Formel:

Heptadecágono Area = (17/4) (D. D²) Cotan (180º/17)

Gebiet im Radio

In den vorherigen Abschnitten wurde eine Beziehung zwischen der D -Seite eines regulären Polygons und seinem R -Radio R gefunden, wobei das folgende: Folgendes: das folgende Wesen:

D = 2 R sin (β/2)

Dieser Ausdruck für D Es wird in den Ausdruck eingeführt, der im vorherigen Abschnitt für den Bereich erhalten wurde. Wenn die relevanten Substitutionen und Vereinfachungen vorgenommen werden, wird die Formel, mit der das Sebptadecágono -Bereich berechnet wird, erhalten:

Heptadecágono Area = (17/2) (r²) Sin (β) = (17/2) (r²) Sen (360º/17)

Ein ungefährer Ausdruck für den Bereich ist:

Heptadecágono -Gebiet = 3.0706 (r²) 

Wie erwartet ist dieser Bereich etwas geringer als der Bereich des Kreises, der dem Heptadecágon umschreibt ZU_Zirk = π r² ≈ 3,1416 r². Um genau zu sein, ist es 2% niedriger als der seines umschriebenen Kreises.

Kann Ihnen dienen: Bereich eines regelmäßigen und unregelmäßigen Pentagon: Wie es aufgenommen wird, Übungen

Beispiele

Beispiel 1

Damit ein Heptadecágono 2 cm Seiten haben sollte, welchen Wert sollte der Radius und den Durchmesser des umschriebenen Umfangs sein? Finden Sie auch den Umfangswert.

Um die Frage zu beantworten, muss sich die Beziehung zwischen der Seite und dem Radius eines regulären Polygons von N -Seiten erinnern:

 D = 2 r sen (180º / n)

Für Heptadecágono N = 17, somit D = 0,3675 r, Mit anderen Worten

10.8844 cm Durchmesser.

Der Umfang einer 2 -cm -Seitenfeptadecágon beträgt p = 17* 2 cm = 34 cm.

Beispiel 2

Wie viel kostet eine reguläre Heptadecágono de 2 cm Seite?

Es ist notwendig, sich auf die im vorhergehenden Abschnitt gezeigte Formel zu beziehen, die es ermöglicht, den Bereich eines Heptadecágono zu finden, wenn die Länge ist D Auf seiner Seite:

Heptadecágono Area = (17/4) (D. D²) / Tan (180º / 17) 

Beim Ersetzen D = 2 cm in der vorderen Formel wird erhalten:

Bereich = 90,94 cm

Verweise

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