Hypercubo -Definition, Dimensionen, Koordinaten, entfaltet

A Hypercubo ist ein Dimensionwürfel n. Der spezielle Fall von Dimension Hypercubo heißt Testerakt. Ein Hypercubo oder N-Cubo besteht aus geraden Segmenten, die in ihren Eckpunkten orthogonal sind.

Menschen nehmen den dreidimensionalen Raum wahr: breit, hohe und tiefe Tiefe, aber es ist für uns nicht möglich, einen Hypercubo von Dimension größer als 3 zu visualisieren. 

Abbildung 1. Ein 0-Cubo ist ein Punkt, wenn sich dieser Punkt in eine Richtung in einer Richtung 1-Cubo erstreckt. Wenn dieser 1-Cubo in orthogonaler Richtung einen Abstand erstreckt, gibt es einen 2-Cubo (von Seiten bis x a). Wenn der 2-Kubo in orthogonaler Richtung einen Abstand ausstreckt, gibt es einen 3-Kubo. Quelle: f. Zapata.

Wir können Projektionen im dreidimensionalen Raum vornehmen, um ihn darzustellen, ähnlich wie wir einen Würfel auf einer Ebene projizieren, um ihn darzustellen.

In Dimension 0 ist die einzige Figur der Punkt, also ist ein 0-Cubo ein Punkt. Ein 1-Kubo ist ein gerades Segment, das durch Verschieben eines Punktes in einem Abstand zu einem Abstand zu gebildet wird.

Für seinen Teil ist ein 2-Kubo ein Quadrat. Es wird gebaut, indem der 1-Cubo (das Segment lang a) in Richtung verdrängt wird und, was orthogonal zur x-Adresse ist, einen Abstand zu.

Der 3-Kubo ist der gewöhnliche Würfel. Es wird aus dem quadratischen Gebäude gebaut, der in der dritten Richtung (z) dasselbe verdrängt, was orthogonal zur x- und y -Richtungen ist, eine Entfernung Zu.

Figur 2. Ein 4-Cubo (Testeract) ist die Erweiterung eines 3-Kubo in orthogonaler Richtung auf die drei herkömmlichen räumlichen Adressen. Quelle: f. Zapata.

Der 4-Cubo ist der Versuch, der aus einem 3-Kubo gebaut wird, das denselben orthogonal, eine Entfernung Zu, auf eine vierte Dimension (oder vierte Richtung), die wir nicht wahrnehmen können.

Ein Auslöser hat alle geraden Winkel, er hat 16 Eckpunkte und alle seine Kanten (insgesamt 18) haben die gleiche Länge Zu.

Wenn die Länge der Kanten eines N-Cubo oder Hypercubo der Dimension N 1 ist, dann ist es ein Einheit Hypercubo, bei dem die längste diagonale Maßnahmen √n.

Kann Ihnen dienen: Lineare Programmierung: Wofür es, Modelle, Einschränkungen, AnwendungenFigur 3. Ein N-Cubo wird von einem (n-1) -Cubo erhalten, der es orthogonal in der nächsten Dimension erweitert. Quelle: Wikimedia Commons.

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Wie sind die Ausmasse?

Die Abmessungen sind die Freiheitsgrade oder die möglichen Richtungen, in denen sich ein Objekt bewegen kann.

In Dimension 0 besteht keine Möglichkeit zu bewegen, und das einzig mögliche geometrische Objekt ist der Punkt.

Eine Dimension im euklidischen Raum wird durch eine orientierte Linie oder Achse dargestellt, die diese Dimension definiert, die als X -Achse bezeichnet wird. Die Trennung zwischen zwei Punkten A und B ist der euklidische Abstand:

D = √ [(x_Zu - X_B)²]. 

In zwei Dimensionen wird der Raum durch zwei orthogonal orientierte Linien dargestellt, die X und Achse genannt werden.

Die Position eines beliebigen Punktes in diesem zweidimensionalen Raum wird durch das Paar kartesischer Koordinaten (x, y) angegeben, und der Abstand zwischen zwei Punkten A und B wird jeder sein:

D = √ [(x_Zu - X_B)² + (Und_Zu - Und_B)²]

Weil es ein Raum ist, in dem die Euklidgeometrie erfüllt wird.

Der dreidimensionale Raum

Dreidimensionaler Raum ist der Raum, in dem wir uns bewegen. Es hat drei Richtungen: Breite, hohe und Tiefe.

In einem leeren Raum geben die senkrechten Ecken miteinander diese drei Richtungen und zu jedem können wir eine Achse verknüpfen: x, y, z.

Dieser Raum ist auch euklidisch und der Abstand zwischen zwei Punkten A und B wird wie folgt berechnet:

D = √ [(x_Zu - X_B)² + (Und_Zu - Und_B)² + (z_Zu - z_B)²]

Menschen können nicht mehr als drei räumliche Dimensionen (oder Euklideas) wahrnehmen.

Aus streng mathematischer Sicht ist es jedoch möglich.

In diesem Raum hat ein Punkt Koordinaten: (x1, x2, x3, ..., xn) und der Abstand zwischen zwei Punkten ist: 

D = √ [(x₁ - X_{1 b})² + (X₂ - X_2B)² +... + (x_{n / A} - X_NB)²].

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Die vierte Dimension und Zeit

Tatsächlich wird in der Theorie der Relativitätszeit die Zeit als eine weitere Dimension behandelt und eine Koordinate ist assoziiert.

Es muss jedoch klargestellt werden, dass diese mit der Zeit verbundene Koordinate eine imaginäre Zahl ist. Daher ist die Trennung von zwei Punkten oder Ereignissen in der Raumzeit nicht Euklidiana, sondern folgt der Metrik von Lorentz.

Ein vierdimensionaler Hypercubo (der Trigger) lebt nicht in der Raumzeit, gehört zu einem vierdimensionalen euklidealen Hyperraum. 

Figur 4. 3D -Projektion eines vierdimensionalen Hypercubos in einer einfachen Rotation um eine Ebene, die die vordere Figur nach links, zurück nach rechts und von oben nach unten teilt. Quelle: Wikimedia Commons.

Die Koordinaten eines Hypercubos

Die Koordinaten der Scheitelpunkte eines auf den Ursprung zentrierten N-Cubo werden erreicht, indem alle möglichen Permutationen des folgenden Ausdrucks vorgenommen werden:

(A/2) (± 1, ± 1, ± 1, .. ., ± 1)

Wo a die Länge der Kante ist.

-Er Volumen Aus einer Kante von Rand a ist: (a/2)^N (2^N) = a^N.

-Der längste diagonale Es ist der Abstand zwischen den entgegengesetzten Eckpunkten.

-Die Folgenden sind gegenüberliegende Scheitelpunkte in einem Quadrat: (-1, -1) und (+1, +1).

-Und in a Würfel: (-1, -1, -1) und (+1, +1, +1). 

-Der längste diagonale eines N-Cubo-Maßes: 

D = √ [1 -(-1))² +… + (1 -(-1))²] = √ [n 2²] = 2√n

In diesem Fall wurde angenommen, dass die Seite a = 2 ist. Für eine N-Cubo-Seite zu jedem bleibt:

d = a√n.

-In einem Versuch wird jeder seiner 16 Eckpunkte an vier Kanten angeschlossen. Die folgende Abbildung zeigt, wie die Eckpunkte in einem Auslöser verbunden sind.

Abbildung 5. Die 16 Scheitelpunkte eines vierdimensionalen Hypercubo werden gezeigt und wie sie dasselbe verbinden. Quelle: Wikimedia Commons.

Von einem Hypercubo entfaltet

Eine regelmäßige geometrische Figur, beispielsweise ein Polyeder, kann in mehreren niedrigeren Dimensionalitätsfiguren entfaltet werden.

Im Falle eines 2-Cubo (ein Quadrat) kann in vier Segmenten stattfinden, dh vier 1-Kubo.

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In ähnlicher Weise kann ein 3-Kubo in sechs 2-Kubo entfaltet werden.

Abbildung 6. Ein N-Cubo kann in mehreren (N-1) -Cubos entfaltet werden. Quelle: Wikimedia Commons.

Ein 4-Cubo (Testeract) kann in acht 3-Kubo entfaltet werden.

Die folgende Animation zeigt die Entfaltung eines Kuttels.

Abbildung 7. Ein 4 -dimensionales Hypercubo kann in acht dreidimensionalen Würfeln entfaltet werden. Quelle: Wikimedia Commons. Abbildung 8. Drei -dimensionale Projektion eines vierdimensionalen Hypercubo. Quelle: Wikimedia Commons.

Verweise

1. Wissenschaftliche Kultur. Hypercubo, Visualisierung der vierten Dimension. Abgerufen von: Culturacientifica.com
2. Epsilone. Tetradimensionaler Hypercubo oder Tesseract. Erholt von: Epsilones.com
3. Perez R, Aguilera a. Eine Methode zum Erhalten eines Versuchs aus der Entwicklung eines Hypercubo (4D). Erholt von: ResearchGate.Netz
4. Wikilibros. Mathematik, Polyeder, Hypercubes. Geborgen von: ist.Wikibooks.Org
5. Wikipedia.  Hypercube. Abgerufen von: in.Wikipedia.com
6. Wikipedia. Tesseract. Abgerufen von: in.Wikipedia.com