Hyperbel

Was ist eine Hyperbel?

Die Hyperbel ist der Satz von Punkten der Ebene, so dass der Absolutwert der Differenz zwischen den Entfernungen und zwei Fixpunkten, die als Scheinwerfer bezeichnet werden, konstant bleibt. Dieser Satz von Punkten bildet die Kurve mit zwei in Abbildung 1 beobachteten Zweige.

Es gibt einen Punkt P (x, y), der Schwerpunkt f₁ und f₂ trennte einen Abstand von 2C. Die mathematische Art, diese Beziehung auszudrücken, ist durch:

Abbildung 1. Hyperbel mit horizontaler Brennachse. Quelle: f. Zapata.

Alle Punkte der Hyperbel erfüllen diesen Zustand, der zur Hyperbola -Gleichung führt, wie später zu sehen ist. Der Mittelpunkt zwischen den Scheinwerfern wird als Mitte C bezeichnet und in der Abbildung mit dem Punkt (0,0) zusammenfällt, aber die Hyperbel kann auch verschoben werden und sein Zentrum entspricht einem anderen Koordinatenpunkt C (H, K).

In der oberen Abbildung ist die x -Achse die Brennachse der Hyperbel, da es die Scheinwerfer gibt, aber Sie können auch eine bauen, deren Brennachse die Achse und Achse ist.

Die Hyperbel ist Teil der Kurven, die als bekannt als konisch, Sie werden das genannt, weil sie aus dem Schnitt eines Kegels mit einem flachen Abschnitt abgeleitet werden können. Eine Hyperbola wird erhalten, wenn sich der Kegel und die Ebene schneiden, vorausgesetzt, es geht nicht durch den Scheitelpunkt des Kegels und den Winkel, der die Ebene mit der Achse des Kegels bildet Dasselbe.

Zusammen mit dem Gleichnis, dem Umfang und der Ellipse sind Conics seit der Antike bekannt. Der griechische Mathematiker Apollonius von Perga (262-190 v. Chr.) Schrieb einen Geometrievertrag, in dem er seine Eigenschaften detailliert beschrieben hat, und er selbst gab ihnen die Namen, mit denen sie sich bis heute kennen.

Eigenschaften der Hyperbel

Dies sind einige der herausragendsten Eigenschaften einer Hyperbel:

1. Es ist eine flache Kurve, daher reicht es aus, die Koordinaten (x, y) jedes Punktes zu geben, der dazu gehört.
2. Es ist auch eine offene Kurve, im Gegensatz zum Umfang oder der Ellipse.
3. Es hat zwei Zweige symmetrisch angeordnet.
4. Sowohl die vertikale Achse als auch die horizontale Achse können als Symmetrieachsen angesehen werden, aber die Achse, in der die Scheinwerfer genannt werden Fokusachse oder Hauptachse.
5. Es ist symmetrisch in Bezug auf sein Zentrum.
6. Die Hyperbola schneidet die Brennachse an zwei Punkten genannt Scheitelpunkte, Deshalb wird die Brennachse manchmal genannt Echte Achse, Während die andere Achse genannt wird Imaginäre Achse, Weil es mit der Hyperbel keine gemeinsamen Punkte gemeinsam hat.
7. Das Zentrum der Hyperbel befindet sich auf halbem Weg zwischen den als FOCI bezeichneten Punkten.
8. Es ist mit zwei von Asymptoten bezeichneten Linien verbunden. Die Asymptoten kreuzen sich in der Mitte der Hyperbel.

Kann Ihnen dienen: Übersprichtfunktion: Definition, Eigenschaften, Beispiele

Gleichungen und Formeln

HiPerbol -Gleichung mit Zentrum in (0,0)

Ausgehend von der Definition am Anfang:

Zu dieser positiven Konstante heißt es normalerweise 2A und es ist der Abstand, der die Eckpunkte der Hyperbel trennt, dann:

Andererseits DP₁, Dp₂ und 2C sind die Seiten des in Abbildung 1 gezeigten Dreiecks und durch Elementargeometrie ist die Subtraktion der Quadrate der Seiten eines jeden Dreiecks immer geringer als das Quadrat der verbleibenden Seite. So:

4² < 4c²

UND:

Zu < c

Dieses Ergebnis wird in Kürze nützlich sein.

Als Abstand zwischen zwei Punkten p₁(X₁,Und₁) Und P₂(X₂,Und₂) Ist:

Durch Ersetzen von Koordinaten P (x, y), f₁(-C, 0) und f₂(C, 0) Es bleibt:

Das entspricht:

Quadrat in beiden Mitgliedern, um die Wurzeln zu beseitigen und die Begriffe zu organisieren, die Sie erreichen:

Zur Menge c² - Zu², Welches ist immer eine positive Menge, weil < c, se la denomina b², Daher wird das obige als:

B²X² - Zu²Und² = a² B²

Alle Begriffe durchteilen durch² B², Es ist die Hyperbola -Gleichung, die auf (0,0) mit der horizontalen realen Achse zentriert ist:

Mit A und B größer als 0. Diese Gleichung heißt Hyerbola kanonische Gleichung und der Nenner zu² Es entspricht immer der positiven Fraktion.

Die Hyperbola zentriert sich auf (0,0) und mit der realen Achse vertikal die Form:

Schnittpunkte der Hyperbel mit den Koordinatenachsen

Die Kreuzungen der Hyperbel mit den Koordinatenachsen werden jeweils y = 0 und x = 0 in der Gleichung durchgeführt:

Für y = 0

X² /Zu² = 1 ⇒ x² = a²

x = ± a

Die Hyperbola schneidet in zwei Punkten, der als Scheitelpunkte bezeichnet wird und deren jeweilige Koordinaten x: x = a y x = -a sind

Für x = 0

Es wird erhalten -und² /B² = 1, das keine wirkliche Lösung hat und folgt, dass die Hyperbel nicht zur vertikalen Achse schneidet.

Hyperbola -Gleichung mit Zentrum in (h, k)

Wenn sich das Zentrum der Hyperbel an Punkt C (H, K) befindet, dann lautet seine kanonische Gleichung:

Hiperbola -Elemente

Figur 2. Hiperbola -Elemente. Quelle: f. Zapata.

Center

Es ist der Mittelpunkt des Segments f₁F₂ Und seine Koordinaten sind (h, k) oder (x_entweder,Und_entweder).

Kann Ihnen dienen: Synthetische Spaltung

Focos

Sie sind die beiden Fixpunkte f₁ und f₂ das liegt auf der realen Achse der Hyperbel, mit der die Differenz der Entfernungen zu Punkt P (x, y) konstant bleibt. Der Abstand zwischen den Scheinwerfern und der Mitte der Hyperbel ist "C".

Vektorradio

Dies nennt man den Abstand zwischen einem Punkt P und einem der Scheinwerfer.

Brennweite

Es ist die Entfernung, die beide Scheinwerfer trennt und 2C entspricht.

Scheitelpunkte

Die Eckpunkte v₁ und v₂ Sie sind die Punkte, an denen die Hyperbel die reale Achse schneidet. Ein Scheitelpunkt und die Mitte der Hyperbola sind durch Abstand A getrennt, daher beträgt der Abstand zwischen den Scheitelpunkten 2a.

Fokusachse, Hauptachse oder reale Achse

Es ist die Achse, in der sich die Scheinwerfer befinden, und misst 2c. Es kann sich auf einer der beiden kartesischen Achsen befinden, und die Hyperbola schneidet sie an den als Eckpunkte bezeichneten Punkten.

Transversalachse, Sekundärachse oder imaginäre Achse

Es ist die Achse senkrecht zur Fokusachse und misst 2B. Die Hyperbola schneidet sie nicht durch, daher wird sie auch als imaginäre Achse bezeichnet.

Asymptoten

Es sind zwei Zeilen, deren jeweils anhängige Miene m sind₁ = (b/a) und m₂ = - (b/a), die in der Mitte der Hyperbel bestimmt sind. Die Kurve schneidet diese Linien und das Produkt nie zwischen den Entfernungen eines Punktes der Hyperbel zu den Asymptoten, sie ist konstant.

Um die Gleichungen der Asymptoten zu finden, stimmen Sie einfach der linken Seite der hyperbola -kanonischen Gleichung auf 0 an. Zum Beispiel für Hyperbola, die sich auf den Ursprung konzentrieren:

Hyberbola -Rechteck

Es ist das Rechteck, dessen Breite der Abstand zwischen den Scheitelpunkten 2a und der Entfernung 2b ist und sich auf die Mitte der Hyperbel konzentriert. Die Konstruktion erleichtert das manuelle Layout der Hyperbel.

Gerade Seite

Seil, das einen der Scheinwerfer durchläuft, senkrecht zur realen Achse.

Exzentrizität

Es ist definiert als der Quotient zwischen der Brennweite und der realen Achse:

E = c/a

Es ist immer größer als 1, da C größer als a ist und weniger als √2.

Der Wert von und zeigt an, ob die Hyperbola eher geschlossen ist (schmales Rechteck, länger in Richtung der Hauptachse) oder offen (breites Rechteck, in Richtung der imaginärer Achse verlängert).

Gerade Tangente zu Hyperbel an Punkt P (x₁,Und₁)

Eine Tangentiallinie zur Hyperbel an einem Punkt P (x₁,Und₁) Es ist der Halbierektor der beiden Funkgerätevektoren dieses Punktes.

Für eine Hyperbola mit der Hauptachse parallel zur x -Achse, der Steigung der Linie Tangente zur Hyperbel an einem Punkt P (x₁,Und₁) wird gegeben durch:

Kann Ihnen dienen: kombinierte Operationen

Und wenn die Hyperbel die Hauptachse parallel zur y -Achse ist, dann:

Beispiele für Hyperbel

Dispersion von Alpha -Partikeln durch einen Kern

Durch Bombardieren von Atomkern mit Alpha -Partikeln, die nichts anderes als Heliumkerne sind, diese werden abgestoßen, da jeder Atomkern eine positive Ladung hat. Diese Heliumkerne werden nach hyperbolischen Flugbahnen dispergiert.

Flugbahnen der Leichen des Sonnensystems

Abbildung 3: Solarsystemplaneten

Im Sonnensystem bewegen sich Objekte unter der Wirkung der Schwerkraft. Die Beschreibung der Bewegung stammt aus einer Differentialgleichung, in der die Kraft konservativ und umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung ist. Und die Lösungen dieser Gleichung sind die möglichen Trajektorien, die den Objekten folgen.

Nun, diese Trajektorien sind immer konisch: Umfang, Ellipsen, Gleichnisse oder Hyperbel. Die ersten beiden sind geschlossene Kurven, und so bewegen sich die Planeten, aber einige Kometen sind immer noch offene Flugbahnen wie Gleichnisse oder Hyperbolas, wobei sich die Sonne in einem der Scheinwerfer befindet.

Minimaler Klang

Wenn es zwei Klangquellen gibt, wie zwei Lautsprecher, die Geräusche gleichmäßig in alle Richtungen abgeben, die sich entlang einer geraden Linie befinden, liegen die Minimum der Schallintensität (zerstörerische Störungen) auf einer Hyperbel, deren Hauptachse und in den Scheinwerfern von inszeniert ist Die Hyperbel sind die Sprecher.

Übung gelöst

Finden Sie die Elemente der folgenden Hyperbola: Eckpunkte, Foci und Asymptoten der Hyperbola und bauen Sie ihr Diagramm auf:

Lösung

Das Zentrum dieser Hyperbel fällt mit dem Ursprung der Koordinaten zusammen und ihre reale Achse ist horizontal, da die positive Fraktion der variablen x entspricht.

Die Hyperbola -Semi -Achsen sind:

Zu² = 16 ⇒ a = 4

B² = 4 ⇒ b = 2

Auf diese Weise misst das zentrale Rechteck 4 Einheiten breit und 2 Einheiten hoch. Ich erinnere mich, dass es oben erwähnt wurde, dass c² - Zu² = b² , So:

C² = a² + B² ⇒ c² = 16 + 4 = 20

Daher ist der fokale Halbduty:

C = √20 = 2√5

Und die Schwerpunkte befinden sich an Koordinatenpunkten f f₁ (-2√5.0) und f₂ (2√5.0).

Die Hänge der Asymptoten sind:

m = ± (b/a) = ± (2/4) = ± 0.5

Daher sind die jeweiligen Gleichungen:

Und₁ = 0.5x; Und₂ = -0.5x

Hyperbola kann leicht über Online -Software wie GeoGebra gratschen:

Figur 4. Grafik für die Hyperbel der Übung gelöst. Quelle: f. Zapata.

Verweise

1. Fisicalab. Hyperbola -Gleichung. Erholt von: fisicalab.com
2. Hoffman, J. Auswahl der Mathematikfragen. Band 2.
3. Stewart, J. 2006. Präzision: Mathematik zur Berechnung. 5. Auflage. Cengage Lernen.
4. Universumformeln. Die Hyperbel. Erholt von: Universoumulas.com
5. Zill, d. 1984. Algebra und Trigonometrie. McGraw Hill.