Homotecia

Der Homotecia Es handelt sich um eine geometrische Änderung in der Ebene, wobei die Entfernungen von einem Fixpunkt namens Center (O) mit einem gemeinsamen Faktor multipliziert werden. Auf diese Weise entspricht jeder Punkt P einem anderen Punkt der Transformation, und diese sind mit dem Punkt oder dem Punkt ausgerichtet oder übereinstimmen.

Dann ist Homotecia eine Korrespondenz zwischen zwei geometrischen Figuren, bei denen die transformierten Punkte als homothetisch bezeichnet werden und diese mit einem festen Punkt und mit parallelen Segmenten miteinander ausgerichtet sind.

Erklärung und Formel

Homotecia ist eine Transformation, die kein kongruentes Bild hat, da sie aus einer Figur eine oder mehrere Zahlen von mehr oder weniger Größe als die ursprüngliche Figur erhalten. Das heißt, Homotecia verwandelt ein Polygon in eine andere ähnliche.

Damit Homotecia erfüllen kann.

Ebenso sollten die Zeilenpaare, die sich vereinen, parallel sein. Die Beziehung zwischen solchen Segmenten ist eine Konstante, die als Homotecia (k) Grund bezeichnet wird; Auf diese Weise kann Homotecia definiert werden als:

Um diese Art der Transformation zu machen, beginnt ein willkürlicher Punkt, der das Zentrum von Homotecia sein wird.

Ab diesem Zeitpunkt werden Liniensegmente für jeden Scheitelpunkt der zu transformierenden Figur gezeichnet. Die Skala, auf der die Reproduktion der neuen Figur erfolgt, erfolgt aus dem Grund für Homotecia (k).

Homotecia -Eigenschaften

Eine der Haupteigenschaften von Homotecia ist, dass alle homothetischen Figuren aus dem Grund für Homotecia (k) ähnlich sind. Unter anderen herausragenden Immobilien sind die folgenden:

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- Das Homotecia Center (O) ist der einzige Doppelpunkt und transformiert sich selbst; Das heißt, es variiert nicht.

- Die Linien, die durch das Zentrum gehen.

- Die Linien, die nicht durch die Mitte gehen, werden in parallele Linien umgewandelt. Auf diese Weise bleiben die Homotecia -Winkel gleich.

- Das Bild eines Segments durch ein Zentrum Homotecia oder und Vernunft k ist ein Segment parallel zu ihm und hat k -mal seine Länge. Wie im folgenden Bild zu sehen ist beispielsweise ein AB -Segment für Homotecia ein weiteres A'B -Segment ', so dass AB parallel zu a'b' und der k sein wird:

- Homotetische Winkel sind kongruent; Das heißt, sie haben die gleiche Maßnahme. Daher ist das Bild eines Winkels ein Winkel, der die gleiche Amplitude hat.

Andererseits muss Homotecia je nach Wert seines Vernunft (k) variiert werden, und die folgenden Fälle können auftreten:

- Wenn die Konstante k = 1, sind alle Punkte festgelegt, weil sie sich selbst verwandeln. Somit fällt die homothetische Figur mit dem Original zusammen und die Transformation wird als Identitätsfunktion bezeichnet.

- Wenn k ≠ 1 ist, ist der einzige Fixpunkt das Zentrum von Homotecia (o).

- Wenn K = -1, wird Homotecia zu einer zentralen Symmetrie (c); Das heißt, eine Rotation wird um C in einem Winkel von 180 auftreten^entweder.

- Wenn K> 1, ist die Größe der transformierten Figur größer zur Größe des Originals.

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- Ja 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.

- Ja -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.

- Ja k < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.

Arten von Homotecia

Homotecia könnte abhängig vom Wert seines Vernunft (k) auch in zwei Typen eingeteilt werden:

Direkte Homotecia

Tritt auf, wenn die Konstante K> 0; Das heißt, homotische Punkte sind in Bezug auf das Zentrum auf der gleichen Seite:

Der Verhältnismäßigkeitsfaktor oder die Ähnlichkeitsverhältnis zwischen direkten homothetischen Zahlen ist immer positiv.

Inverse Homotecia

Tritt auf, wenn die Konstante k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:

Der Verhältnismäßigkeitsfaktor oder das Ähnlichkeitsverhältnis zwischen den inversen homothetischen Zahlen ist immer negativ.

Komposition

Wenn mehrere Bewegungen nacheinander durchgeführt werden, bis eine Figur gleich dem Original entspricht, tritt eine Zusammensetzung von Bewegungen auf. Die Zusammensetzung mehrerer Bewegungen ist auch eine Bewegung.

Die Zusammensetzung zwischen zwei Homotecia führt zu einer neuen Homotecia; Das heißt, es gibt ein Homotecia -Produkt, in dem das Zentrum mit dem Zentrum der beiden ursprünglichen Transformationen ausgerichtet wird, und der Grund (k) ist das Produkt der beiden Gründe.

Somit in der Zusammensetzung von zwei Homotien h₁(ENTWEDER₁, k₁) und h₂(ENTWEDER₂, k₂), Die Multiplikation Ihrer Gründe: K₁ x k₂ = 1 führt zu einer Homotecia of Reason k₃ = K₁ x k₂. Das Zentrum dieser neuen Homotecia (oder₃) befindet sich auf der Linie oder₁ ENTWEDER₂.

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Homotecia entspricht einer flachen und irreversiblen Veränderung; Wenn zwei Homotecia gelten, die das gleiche Zentrum und die gleiche Vernunft haben, jedoch mit einem anderen Zeichen, wird die ursprüngliche Zahl erhalten.

Beispiele für Homotecia

1. Erstes Beispiel

Wenden Sie eine Homotecia auf das angegebene Polygon des Zentrums (O) an, das sich 5 cm von Punkt A aus befindet und dessen Grund K = 0,7 ist.

Lösung

Jeder Punkt wird als Zentrum von Homotecia ausgewählt, und daraus werden von den Eckpunkten der Abbildung gehandelt:

Der Abstand von der Mitte (O) bis zum Punkt A ist OA = 5; Damit können Sie den Abstand eines der homotischen Punkte (OA ') bestimmen und wissen, dass K = 0,7:

Oa '= k x oa.

Oa '= 0,7 x 5 = 3,5.

Der Prozess kann für jeden Scheitelpunkt durchgeführt werden, oder Sie können auch das homothetische Polygon zeichnen und daran denken, dass die beiden Polygone parallele Seiten haben:

Schließlich wird die Transformation wie folgt gesehen:

2. Zweites Beispiel

Wenden Sie eine Homotecia auf das gegebene Polygon des Zentrums (O) an, das 8,5 cm von Punkt C und wessen und Vernunft k = -2 gelegen hat.

Lösung

Der Abstand von der Mitte (O) zu Punkt C ist OC = 8,5; Mit diesen Daten ist es möglich, den Abstand eines der homotischen Punkte (OC ') zu bestimmen, und zu wissen, dass K = -2:

Oc '= k x oc.

Oc '= -2 x 8,5 = -17

Nach dem Zeichnen der Segmente der Eckpunkte des transformierten Polygons befinden sich die Anfangspunkte und ihre Homotetik in Bezug auf das Zentrum an den gegenüberliegenden Enden: