Pythagoräische Identität Demonstration, Beispiel, Übungen

Sind Pythagoräische Identitäten Alle trigonometrischen Gleichungen, die für jeden Wert des Winkels erfüllt sind und auf dem Pythagoras -Theorem basieren. Das bekannteste pythagoräische Identität ist die grundlegende trigonometrische Identität:

Sen²(α) + cos²(α) = 1

Abbildung 1. Pythagoräische trigonometrische Identitäten.

Es ist immer noch an Bedeutung und nutzt die pythagoräische Identität des Tangente und des Sekanten:

So²(α) + 1 = Sek²(α)

Und die pythagoräische trigonometrische Identität, die den Kotangent und den Harvester betrifft:

1 + ctg²(α) = CSC²(α)

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Demonstration

Die trigonometrischen Gründe Brust Und Kosinus Sie sind in einem Radiusumfang ein (1) als trigonometrischer Kreis bekannt. Dieser Kreis hat ein Zentrum am Ursprung der Koordinaten oder.

Die Winkel werden aus der positiven Semi -Achse des x gemessen, zum Beispiel der Winkel α in Abbildung 2 (siehe später). Entgegen den Uhrenhänden, wenn der Winkel positiv ist, und in Richtung der Hände, wenn es sich um einen negativen Winkel handelt.

Das Semi -Right mit Ursprung oder und Winkel α wird gezeichnet, wodurch der Einheitskreis am Punkt p abgefangen wird. Point P wird orthogonal auf der horizontalen Achse X projiziert, was zu Punkt C entsteht. In ähnlicher Weise wird P senkrecht auf der vertikalen Achse projiziert und führt zu Punkt s.

Sie haben das richtige OCP -Dreieck in C. 

Die Brust und der Cosinus

Es sollte an diesen trigonometrischen Grund erinnert werden Brust Es ist auf einem rechten Dreieck wie folgt definiert:

Der Busen eines Winkelwinkels ist das Verhältnis oder das Verhältnis zwischen dem Kateto gegen den Winkel und der Hypotenuse des Dreiecks.

Auf das OCP -Dreieck von Abbildung 2 angewendet wäre wie folgt:

Sin (α) = cp / op

Aber CP = OS und OP = 1, so dass:

Sin (α) = os

Dies bedeutet, dass die Projektion auf der y -Achse einen Wert hat, der dem Busch des gezeigten Winkels entspricht. Es ist zu beachten, dass der Maximalwert der Brust eines Winkels (+1) bei α = 90 ° und dem Minimum (-1) auftritt, wenn α = -90º oder α = 270º.

Kann Ihnen dienen: Vektorraum: Basis und Dimension, Axiome, EigenschaftenFigur 2. Trigonometrischer Kreis zeigt die Beziehung zwischen dem Pythagoras -Theorem und der grundlegenden trigonometrischen Identität. (Eigene Ausarbeitung)

In ähnlicher Weise ist der Cosinus eines Winkels das Verhältnis zwischen der Kategorie neben dem Winkel und der Hypotenuse des Dreiecks.

Auf das OCP -Dreieck von Abbildung 2 angewendet wäre wie folgt:

Cos (α) = oc / op

Aber op = 1, so dass:

Cos (α) = oc

Dies bedeutet, dass die OC -Projektion auf der x -Achse einen Wert hat, der dem des abgebildeten Winkels ist. Es ist zu beachten, dass der Maximalwert des Kosinus (+1) auftritt, wenn α = 0º oder α = 360º, während der Mindestwert des Kosinus (-1) bei α = 180 ° beträgt.

Die grundlegende Identität

Für das Rechteck -OCP -Dreieck wird der Pythagoras -Theorem angewendet, der besagt, dass die Summe des Quadrats der Kategorien gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist:

CP² + Oc² = Op²

Es wurde jedoch bereits gesagt, dass CP = Os = sin (α), dass OC = cos (α) und dass Op = 1, so dass der vorherige Ausdruck abhängig von der Sinus und dem Cosinus des Winkels neu geschrieben werden kann:

Sen²(α) + cos²(α) = 1

Die Tangentenachse

So wie die x -Achse im trigonometrischen Kreis die Achse des Kosinus und die Achse und die Achse der Brust ist, gibt es auf die gleiche Weise die Achse der Tangente (siehe Abbildung 3), die genau die Linie Tangente der Einheit ist Kreis am Punkt der Punkt B -Koordinate (1, 0). 

Wenn Sie den Wert der Tangente eines Winkels kennen möchten, wird der Winkel aus dem positiven Halb -Achle des x gezogen, der Schnittpunkt des Winkels mit der Achse der Tangente definiert einen Punkt Q, die Länge des OQ -Segments ist die Tangente des Winkels.

Kann Ihnen dienen: Algebraische Derivate

Dies liegt daran. Das heißt es (α) = qb / ob = qb / 1 = qb.

Figur 3. Der trigonometrische Kreis zeigt die Achse der Tangente und die pythagoräische Identität der Tangente. (Eigene Ausarbeitung)

Die pythagoräische Identität der Tangente

Die pythagoräische Identität der Tangente kann nachgewiesen werden, wenn das Rechteckdreieck in B (Abbildung 3) berücksichtigt wird (Abbildung 3). Anwenden des Pythagoras -Theorems auf das Dreieck, das Sie zu BQ müssen² + Ob² = OQ². Es wurde jedoch bereits gesagt, dass BQ = tan (α), dass OB = 1 und Oq = Sek (α), so dass er in der Gleichheit von Pythagoras für das richtige Dreieck OBQ ersetzt hat:

So²(α) + 1 = Sek²(α).

Beispiel

Stellen Sie sicher.

Lösung: Die Kategorien sind bekannt, es ist notwendig, die Hypotenuse zu bestimmen, nämlich:

AC = √ (ab^2 + bc^2) = √ (4^2 + 3^2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.

Der Winkel ∡BAC wird α, ∡bac = α genannt. Jetzt werden die trigonometrischen Gründe bestimmt:

Sin α = bc / ac = 3/5 

Cos α = AB / AC = 4/5 

Tan α = bc / ab = 3/4 

Cotan α = AB / BC = 4/3 

Sec α = AC / AB = 5/4 

CSC α = AC / BC = 5/3

Es beginnt mit einer grundlegenden trigonometrischen Identität:

Sen²(α) + cos²(α) = 1

(3/5)^2 + (4/5)^2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16)/25 = 25/25 = 1

Es wird der Schluss gezogen, dass es erfüllt ist.

- Die nächste pythagoräische Identität ist die der Tangente:

So²(α) + 1 = Sek²(α)

(3/4)^2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16)/16 = 25/16 = (5/4)^2

Und es wird der Schluss gezogen, dass die Identität der Tangente verifiziert wird.

- Ebenso das des Kotangents:

Kann Ihnen dienen: Zufällige Auswahl mit oder ohne Ersatz

1 + ctg²(α) = CSC²(α)

1+ (4/3)^2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3)^2

Es wird der Schluss gezogen, dass es auch erfüllt ist, was die Aufgabe erfüllt hat, die pythagoräischen Identitäten für das gegebene Dreieck zu überprüfen.

Gelöste Übungen

Testen Sie die folgenden Identitäten, basierend auf den Definitionen trigonometrischer Gründe und pytagorischer Identitäten.

Übung 1

Beweisen, was cos² x = (1 + sen x) (1 - sin x).

Lösung: Das rechte Mitglied erkennt das bemerkenswerte Produkt der Multiplikation eines Binomials durch seinen Konjugat, das, wie bekannt ist, ein Unterschied der Quadrate ist:

Cos² x = 1² - Sen² X

Dann geht der Begriff mit der Brust auf der rechten Seite mit dem geänderten Zeichen nach links

Cos² X + sen² x = 1

Zu beachten, dass die grundlegende trigonometrische Identität erreicht wurde.

Übung 2

Ausgehend von der grundlegenden trigonometrischen Identität und unter Verwendung der Definitionen trigonometrischer Gründe, um die pythagoräische Identität des Harvester zu demonstrieren.

Lösung: Die grundlegende Identität ist:

Sen²(x) + cos²(x) = 1

Beide Mitglieder sind zwischen Sen aufgeteilt²(x) und der Nenner wird im ersten Mitglied verteilt:

Sen²(x)/Sünde²(x) + cos²(x)/Sünde²(x) = 1/sen²(X)

Es ist vereinfacht:

1 + (cos (x)/sen (x))^2 = (1/sin (x))^2

Cos (x)/sin (x) = cotan (x) ist eine Identität (nicht -Pythagoräer), die durch die Definition trigonometrischer Gründe verifiziert wird. Ebenso tritt es mit der folgenden Identität auf: 1/sin (x) = csc (x).

Endlich musst du:

1 + ctg²(x) = CSC²(X)

Verweise

1. Baldor J. (1973). Flache Geometrie und Raum mit einer Einführung in die Trigonometrie. Zentralamerikanische Kultur. C.ZU.
2. C. UND. ZU. (2003). Geometrieelemente: mit Übungen und Kompassgeometrie. Universität Medellin.
3. Campos, f., Cerecedo, f. J. (2014). Mathematik 2. Patria Redaktionsgruppe.
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5. Jr. Geometrie. (2014). Polygone. Lulu Press, Inc.
6. Miller, Heeren & Hornsby. (2006). Mathematik: Argumentation und Anwendungen (Zehnte Ausgabe). Pearson Ausbildung.
7. Patiño, m. (2006). Mathematik 5. Editorial Progreso.
8. Wikipedia. Trigonometrieidentität und Formeln. Geborgen von: ist.Wikipedia.com