Trigonometrische Identitäten (Beispiele und Übungen)

Der Trigonometrische Identitäten Dies sind Beziehungen zwischen trigonometrischen Gründen, die für jeden Wert der Variablen gilt. Zum Beispiel:

Tan θ = sin θ /cos θ

Es handelt sich um eine trigonometrische Identität.

Abbildung 1. Einige trigonometrische Identitäten, die bei der Berechnung häufig verwendet werden. Quelle: f. Zapata.

Diese Identität gilt für jeden Wert, mit Ausnahme derjenigen, die 0 zum Nenner machen. Das cos θ ist 0 für θ = ± π/2, ± 3π/2, ± 5π/2… ein weiteres Beispiel für die trigonometrische Identität ist:

Sünde x . Sec x . CTG x = 1

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Demonstration

Es gibt zwei grundlegende Möglichkeiten, um zu zeigen, dass eine trigonometrische Identität wahr ist:

1- Verwandeln Sie eines der Gleichstellung in das andere durch bequeme algebraische Manipulationen.

2- Entwickeln Sie beide Gleichstellung von Gleichheit getrennt, bis die jeweiligen endgültigen Ausdrücke genau gleich sind.

In der vorgeschlagenen Identität werden wir die linke Seite der Gleichheit verändern, für die wir CTG X und Sec X in Bezug auf Brust und Cosinus wie folgt ausdrücken:

Ctg x = cos x / sen x

Sec x = 1 /cos x

Wir ersetzen diesen Ausdruck auf der linken Seite der Identität und vereinfachen:

Sünde x . (1/cos x). (cos x / sen x) = (sin x. cos x / cos x . Sünde x) = 1

Und die Richtigkeit der Identität ist bereits bewiesen.

Arten von trigonometrischen Identitäten

Es gibt verschiedene Arten von trigonometrischen Identitäten. Als nächstes werden wir kurz die wichtigsten beschreiben:

- Grundlegende trigonometrische Identitäten

Wir unterscheiden zwei Arten grundlegender Identitäten:

I) diejenigen, die durch die grundlegenden Gründe, Cosinus und Tangente ausgedrückt werden:

• Sec x = 1 /cos x
• Schaden x / 1 / sin x
• Ctg x = 1 / tg x
• Tg x = sin x /cos x
• Ctg x = cos x / sen x

I) die aus der Parität abgeleiteten. Wir wissen durch seine Grafik, dass Sen X eine seltsame Funktion ist, was bedeutet:

Kann Ihnen dienen: 60 Divisors

sin (-x) = - sin x

Für seinen Teil ist cos x ein Paar, deshalb:

cos (-x) = cos x

So:

tg (-x) = sen (-x) / cos (-x) = -sen x / cos x

Ähnlich:

• cotg (-x) = -ctg x
• Sec (-x) = Sec x
• schaden (-x) = - schaden x

- Pythagoräische Identitäten

Sie sind diejenigen. Mal sehen:

Figur 2.- Aus Pythagoras Theorem werden die drei pythagoräischen trigonometrischen Identitäten erhalten. Quelle: Pixabay.

Pythagoras 'Theorem stellt fest, dass:

C² = a² + B²

Alles zwischen c aufteilen²:

C² / C² = (a² / C²) + (B)² / C²)

Der Begriff links ist 1 und erinnert sich, dass der Sinus und der Cosinus des akuten Winkels α definiert sind als:

sin α = a/c

cos α = b/c

Ergebnis:

1 = (sin α)² + (cos α)²

Diese Identität ist als bekannt als grundlegende Identität.

Das Verfahren kann durchgeführt werden, indem sich zwischen² und B², Dies führt zu zwei weiteren Identitäten:

Sek² α = 1 + tg² α

Har² α = 1 + CTG² α

- Formeln für Cosinus und die Brust der Summe/Subtraktion von Winkeln

Die wichtigsten trigonometrischen Identitäten für Cosinus, Brust und Tangente der Summe und Subtraktion sind die folgenden:

SEN -Demonstration (α + β) und COS (α + β)

Diese Identitäten können geometrisch oder auch durch die Euler -Formel nachgewiesen werden:

Und^Iα = cos α + i sin α

Schauen wir uns an, was mit der Formel passiert, wenn Sie die Summe von zwei Winkeln α und β ersetzen:

Und^{Ich (α +β)} = cos (α + β) + I sin (α + β)

Diese Expression ist komplex, sein eigentlicher Teil ist COS (α + β) und sein imaginärer Teil ist i sin (α + β). Wir behalten dieses Ergebnis, um es später zu verwenden, und konzentrieren uns auf die Entwicklung des exponentiellen Teils:

Und^{Ich (α +β)} = e^Iα ⋅ e^iβ = (cos α + i sin α) . (cos β + i sin β) =

Kann dir dienen: hexagonales Prisma

Welt

Der eigentliche Teil dieses Ausdrucks ist derjenige, der nicht von der imaginären Einheit "I" multipliziert wird:

cos αëcos β - sen α. Sen β

Der imaginäre Teil ist daher:

I (cos αësen β + sen αlass β)

Damit zwei komplexe Ausdrücke gleich sind, muss der eigentliche Teil des einen dem eigentlichen Teil des anderen gleich sein. Gleiches gilt für imaginäre Teile.

Wir nehmen das Ergebnis gespeichert und vergleichen es mit diesem:

cos α. cos β - sen α. sin β = cos (α + β)

I (cos αësen β + sen αëcos β) = I sin (α + β)

sin (α + β) = (cos α. SIN β + sen αlass β)

- Formeln für den Doppelwinkel

In den vorherigen Formeln nehmen wir β = α ein und entwickeln:

SIN (α + α) = sen 2 α = sen αëcos α + cos α. sin α = 2 Märed sin α ≤ cos α

cos (α + α) = cos 2 α = cos αëcos α - sen αësen α = cos² α - Sen ² α

TG (α + α) = Tg 2 α = [Tg α + Tg α] / [1-tg αëtg α] = 2TG α / 1-tg² α

Wenn im zweiten Ausdruck cos ersetzt werden² α = 1 - Sen² α wird erhalten:

cos 2 α = cos² α- (1- cos² α) = 2 cos² α -1

- Halbe Angle -Formeln

In dieser letzten Expression ersetzen wir α durch α/2, die folgenden bleiben:

cos α = 2 cos ²(α/2) -1

Clearing:

Gelöste Übungen

- Übung 1

Zeige, dass:

Lösung

Wir werden algebraisch den Begriff links arbeiten, damit er nach rechts aussieht. Wie in der richtigen Amtszeit erscheint Sen X²X in Bezug auf Sen X, so dass alles in Bezug auf den gleichen trigonometrischen Grund ist:

Es kann Ihnen dienen: Fraktionsäquivalent zu 3/5 (Lösung und Erklärung)

Dann ist 1 - Sen ist Faktor² x für den Unterschied perfekter Quadrate. Dazu stammt es aus der grundlegenden Identität:

cos²X = 1 - Sen² X

1 - Sen² x = (1- sin x) (1+senx)

Und die Faktorisierung im ursprünglichen Ausdruck wird ersetzt:

Der Begriff (1- Senx) ist vereinfacht und eine Gleichheit bleibt bestehen:

1 + sen x = 1 + senx

- Übung 2

Lösen Sie die folgende trigonometrische Gleichung und geben Sie die Lösung für Werte zwischen 0 und 360 ° an:

Tg x + Sek² x = 3

Lösung

Im Laufe der linken Seite gibt es zwei trigonometrische Gründe, daher müssen Sie alles auf eins reduzieren, um das Unbekannte zu löschen. Der Begriff Sec² X wird durch eine der pythagoräischen Identitäten ausgedrückt:

Sek² α = 1 + tg² α

Durch Ersetzen der Gleichung:

Tg x + 1 + tg² x = 3

Umordnung der Begriffe:

Tg² x + tg x + 1 = 3

Diese Gleichung wird durch Ändern der Variablen aufgelöst:

tg x = u

oder² + U + 1 - 3 = 0 → u² + U - 2 = 0

Diese Gleichung zweiten Grades kann durch Faktorisierung leicht aufgelöst werden:

(U +2) (u-1) = 0

Deshalb u₁ = -2 und u₂ = 1, entspricht:

Tg x₁ = -2

Tg x₂ = 1

Endlich:

X₁ = ARCTG (-2) = 296.6

X₂  = ARCTG (1) = 45º

Verweise

1. Carena, m. 2019. Mathematikhandbuch für Präuniversität. Nationale Universität der Küste.
2. Figuera, j. 1999. Mathematik. 1. Diversifiziert. Bolivarische Collegiate -Editionen.
3. Hoffman, J. Auswahl der Mathematikfragen. Band 4.
4. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Trigonometrieidentität und Formeln. Geborgen von: ist.Wikipedia.Org.
6. Zapata, f. 4 Möglichkeiten zur Lösung einer Gleichung zweiten Grades. Erholt von: FrancePhysics.Blogspot.com.
7. Zill, d. 1984. Algebra und Trigonometrie. McGraw Hill.