Mathematische Gleichheit

Abbildung 1.- Die mathematische Gleichheit stellt sicher, dass 1 + 1 gleich 2 ist

Was ist mathematische Gleichheit?

Eine mathematische Gleichheit stellt sicher, dass zwei Ausdrücke gleich oder unterschiedlich sind, sie sind völlig äquivalent. Diese Ausdrücke können vielfältig sein, beispielsweise Zahlen, Buchstaben, die Mengen oder Größen, Kombinationen von Zahlen und Buchstaben, Matrizen und mehr symbolisieren.

Das Symbol zur Bezeichnung der Gleichheit in der mathematischen Sprache ist das von zwei parallelen und horizontalen Linien, die in gedruckter Text das gut bekannte Symbol "=" ist. Wenn Sie beispielsweise drei Äpfel haben, können Sie die folgende Gleichheit schreiben:

Anzahl der Äpfel = 3

Der Ausdruck "Anzahl der Äpfel" ist das Mitglied der linken und Nummer 3 ist das Mitglied rechts von der Gleichstellung.

Da es möglich ist, numerische Mengen auf verschiedene Weise zu schreiben, wird Gleichheit verwendet, um sie zu bezeichnen. Wenn Sie einen bestimmten Fall annehmen, um den Punkt zu veranschaulichen, gibt es verschiedene Möglichkeiten, die Nummer 4 zu schreiben, abgesehen von den offensichtlichsten, die 4 = 4 sind. Das Folgende kann durch eine mathematische Gleichheit geschrieben werden:

2 + 2 = 4
6 - 2 = 4
8 ÷ 2 = 4
2 × 2 = 4
2² = 4

Die hier gezeigte Gleichheit ist wahr, aber eine Gleichheit ist möglicherweise nicht, zum Beispiel 10 + 5 = 20 ist falsch, da 10 + 5 = 15.

Sicherlich kennt der Leser andere Möglichkeiten, Nummer 4 zu schreiben. Beachten Sie, dass Ausdrücke auf jeder Seite der Gleichheit Zahlen, Wörter, Buchstaben sein können, die Mengen oder andere Symbole symbolisieren, zum Beispiel:

x + 1 = 7
Zu²B - 1 = xy
f (x) = 2x²

Mathematiker verwendeten das Gleichstellungssymbol nicht immer, daher waren die alten Mathematikverträge sehr umfangreich.

Es wird dem Mathematiker und Doktor Robert Remember (1510-1558), geboren in Wales, der Schaffung des Gleichstellungssymbols "=" zugeschrieben, der allen heute so vertraut ist. Denken Sie daran, dass er anscheinend es leid war, zu jeder Zeit den Satz "genau wie" in einem seiner Mathematikverträge zu schreiben, und beschloss, an seiner Stelle die Verwandten parallele Streifen abzukürzen.

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Eigenschaften der mathematischen Gleichheit

Die folgenden Eigenschaften ermöglichen es, mit der mathematischen Gleichheit korrekt zu arbeiten. Sie sind axiomatisch, daher erfordern sie keine Demonstration:

1.- Reflektierendes Eigentum

Diese Eigenschaft legt fest, dass jeder Betrag selbst gleich ist. Insbesondere, da eine beliebige Zahl selbst gleich ist, können gleiche geschrieben werden:

5 = 5

36.35 = 36.35

Wenn eine Menge wörtlich ist oder eine Kombination aus Buchstaben und Zahlen ist, ist sie auch gleich:

3x = 3x

Zu²BC^-1 = a²BC^-1

2.- Eigenschaft der Symmetrie

Die Beträge oder Mitglieder auf beiden Seiten der Gleichheit können ohne verlorene Gültigkeit ausgetauscht werden. Das heißt, wenn das links vom "=" -Symbol zu Ihrer rechten geschrieben ist und was auf der rechten Seite links liegt, ist es dieselbe Gleichheit.

Zum Beispiel entspricht Ausdruck 5 + 2 = 7 diesem einen: 7 = 5 + 2. Auf die gleiche Weise:

12 + 8 = 20; 20 = 12 + 8

x + 1 = 3; 3 = x + 1

x - z = y; y = x - z

3.- Transitive Eigenschaft

Diese Eigenschaft bezieht sich auf die Äquivalenz der Gleichheit. Wenn zwei Gleichheit ein gemeinsames Mitglied haben, sind sie auch gleich, da im Allgemeinen:

Wenn "x = y" und "y = z" dann x = z

Um diese Eigenschaft zu veranschaulichen, betrachten Sie diese beiden numerischen Gleichheiten: 2 + 2 = 4 und 6 - 2 = 4. Da beide gleich 4 sind (sie haben ein gemeinsames Mitglied), kann Folgendes geschrieben werden, ohne eine Gültigkeit zu verlieren:

2 + 2 = 6 - 2

Ein weiteres Beispiel, diesmal mit Buchstaben:

Ja x + 1 = 5

UND

A - b = 5

So:

x+1 = a - b

4.- Stornierungseigenschaft

Eine Gleichheit wird nicht geändert, wenn in beiden Mitgliedern der gleiche Betrag addiert (oder subtrahiert) wird, und es wird beschlossen, dies zu beseitigen oder zu stornieren. Dies ist die Stornierungseigenschaft der Summe.

Nehmen wir als Beispiel die folgende numerische Gleichheit, in der die 10 sowohl im Mitglied der rechten als auch in der links im Mitglied der rechten und in der links erscheint:

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2 + 2 + 10 = 6 - 2 + 10

Die Zahl 10 kann ohne Gleichstellung der Gültigkeit abgebrochen werden, sodass eine weitere kürzere Gleichheit und gleichwertig dem vorherigen entspricht:

2 + 2 = 6 - 2

In Gleichheit (10 ÷ 2) - 3 = 5 - 3 gehört die Ganzzahl - 3 zu beiden Mitgliedern der Gleichheit und erscheint als Addition, daher kann es abgebrochen werden, wenn man erhält:

10 ÷ 2 = 5

Es geschieht auch mit buchstäblichen Mengen, zum Beispiel:

Ja x + 2y + z = −a + b + z

Dann kann das "z" abgebrochen werden, da es auf beiden Seiten der Gleichheit als Hinzufügen (und mit demselben Vorzeichen) gefunden wird.

Dabei kommt es zu: Es kommt zu:

x + 2y = −a + b

Es kann auch die Stornierungseigenschaft der Multiplikation definieren. Wenn der gleiche Betrag C beide Mitglieder der Gleichheit multipliziert, kann dieser Betrag beispielsweise storniert werden:

Cx = cy

Dann kann C storniert werden, um einfach zu erhalten:

x = y

5.- Einheitlichkeitseigentum

Eine Gleichheit bleibt durch Zugabe, Subtrahieren, Multiplikation oder Dividierung durch die gleiche Menge auf beiden Seiten derselben unveränderlich.

Zum Beispiel muss es zu 8 + 5 = 13 sind, wenn beide Mitglieder mit einer bestimmten willkürlichen Zahl C = 2 multiplizieren, bleibt die Gleichheit bestehen:

(8+5) × 2 = 13 × 2

13 × 2 = 26

Mathematische gleiche Klassen

Es gibt verschiedene Arten von mathematischer Gleichheit, daher werden sie für ihr bestes Verständnis eingestuft in:

-Identitäten, Sie sind Gleichheit, in der beide Mitglieder identisch sind:

2 = 2
x = x
2x = x + x

usw.

-Gleichungen, Dies sind Gleichheiten, in denen ein oder mehrere Unbekannte erscheinen und für bestimmte Werte zutreffen, dh Gleichheit wird für keinen willkürlichen Wert erfüllt, daher sind sie auch als als bekannt als als als bekannt Bedingte Gleichheiten. Beispiele:

x + 1 = 5

X³ = 27

A + b = 40

Figur 2.- Eine Gleichung ist eine bedingte mathematische Gleichheit, da sie nur für bestimmte variable Werte erfüllt ist. Das Bild zeigt eine Gleichung zweiten Grades, die höchstens zwei reale Lösungen hat

-Äquivalenzen, In ihnen entspricht das Mitglied der linken Seite dem rechts, auch wenn sie nicht gleich sind, zum Beispiel in: 2: 2³ = 8.

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-Formeln, Es ist eine Gleichheit, die für die Werte der unabhängigen Variablen immer erfüllt wird, wie in der gut bekannten Formel für den Abstand D, abhängig von der Zeit t einem Mobiltelefon mit gleichmäßiger geradliniger Bewegung: D = v ∙ t

Gelöste Übungen

Übung 1

Schreiben Sie die Zahl 10 über vier verschiedene und gleichwertige Gleichheit.

Lösung

All diese Gleichheit drücken Nummer 10 aus, aber auf unterschiedliche Weise:

5 × 2 = 10

11-1 = 10

10¹= 10

20 ÷ 2 = 10

Übung 2

Was ist der Wert von x, der die Gleichheit x + 1 = 3 erfüllt?

Lösung

Diese Gleichheit ist eine Gleichung, da der Wert von x unbekannt ist. Wenn die Eigenschaft 5 unter Verwendung des Ausdrucks x + 1 = 3 auf beiden Seiten des Symbols "=" hinzugefügt wird (–1), bleibt die Gleichheit bestehen:

x + 1 + (-1) = 3 + ( - 1)

Beim Hinzufügen (–1) zum Mitglied der linken und die Operation wird das "X" auf der linken Seite der Gleichheit allein ist, wird dieses Verfahren aufgerufen Spielraum:

x + 1 - 1 = 3-1

x = 2

Daher beträgt der Wert, der diese Gleichheit erfüllt.

Übung 3

Wenn ein Handy mit gleichmäßiger geradliniger Bewegung eine Geschwindigkeit von 2 hat.5 m/s, was ist die Entfernung, die nach 3 Sekunden läuft?

Lösung

Die im vorherige Abschnitt zu sehene Formel wird verwendet, D = v ∙ t, in denen der Wert von V ersetzt wird:

D = 2.5 ∙ t

Der Ausdruck wird zu einer Gleichheit, wenn t = 3 Sekunden und die Operation gelöst werden:

D = 2.5 ∙ 3 m = 7.5m

Was zu Gleichheit führt:

D = 7.5m

Verweise

1. Barnett, r. 2000. Vorkulptur. 4. Auflage. McGraw Hill.
2. Larson, r. 2012. Vorkulptur. 8. Auflage. Cengage Lernen.
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5. Stewart, J. 2007. Vorkalkulation: Mathematik zur Berechnung. 5. Auflage. Cengage Lernen.