Intefined Integraleigenschaften, Anwendungen, Berechnung (Beispiele)

Der Unbestimmtes Integral Es ist die umgekehrte Operation der Ableitung und es wird das längliche „S“ -Symbol verwendet: ∫. Mathematisch wird das unbestimmte Integral der Funktion f (x) geschrieben:

∫f (x) dx = f (x) + c

Wobei das integrierende f (x) = f '(x) eine Funktion der Variablen ist X, das ist wiederum derjenige, der aus einer anderen Funktion f (x) abgeleitet ist, die als Integral oder Antiderivation bezeichnet wird.

Abbildung 1. Unbestimmte Integral ist eines der leistungsstärksten Tools für die mathematische Modellierung. Quelle: Wikimedia Commons. Wallpoper / Public Domain.

C wiederum ist C eine Konstante, die als bekannt ist Integrationskonstante, das begleitet immer das Ergebnis eines unbestimmten Integrals. Wir werden seinen Ursprung sofort durch ein Beispiel sehen.

Angenommen, sie bitten uns, das folgende unbestimmte Integral I zu finden:

I = ∫x.Dx

Ich identifiziere sofort f '(x) mit x. Dies bedeutet, dass wir eine Funktion f (x) so liefern müssen, dass seine Ableitung x ist, etwas, das nicht schwierig ist:

f (x) = ½ x²

Wir wissen, dass wir, wenn wir f (x) abgeleitet sind, zu f '(x), wir es überprüfen:

[½ x²] '= 2. (½ x) = x

Jetzt die Funktion: f (x) = ½ x² + 2 erfüllt auch die Anforderung, da die Ableitung linear ist und die Ableitung einer Konstante 0 beträgt. Andere Funktionen, die, wenn sie abgeleitet sind, zu f (x) = sind:: sind:

½ x² -1, ½ x² + fünfzehn; ½ x² - √2…

Und im Allgemeinen alle Funktionen der Form:

f (x) = ½ x² + C

Sie sind korrekte Antworten auf das Problem.

Eine dieser Funktionen wird als antiderivativ oder primitiv von f '(x) = x bezeichnet und ist genau die Menge aller Antiderivate einer Funktion, die als unbestimmte Integral bezeichnet wird.

Es reicht aus, einen der primitiven zu kennen, denn wie gesehen ist der einzige Unterschied zwischen ihnen die Konstante c der Integration ist.

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Wenn das Problem Anfangsbedingungen enthält, ist es möglich, den Wert von C für sie anzupassen (siehe das Beispiel später).

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Wie man ein unbestimmtes Integral berechnet

Im vorherigen Beispiel wurde ∫x berechnet.DX Da eine Funktion f (x) bekannt war.

Aus diesem Grund können grundlegende Integrale aus den bekanntesten Funktionen und ihren Derivaten gelöst werden.

Darüber hinaus gibt es einige wichtige Eigenschaften, die die Möglichkeiten der Möglichkeiten bei der Lösung eines Integrals erweitern. Sei k Eine reelle Zahl, dann ist es wahr, dass:

1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + c

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

3.- ∫H (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

4.- ∫x^N Dx = [x^N+1/n + 1] + c (n ≤ -1)

5.- ∫x ^-1 Dx = ln x +c

Abhängig von der Integration gibt es mehrere algebraische Methoden sowie numerisch, um Integrale zu lösen. Hier erwähnen wir:

-Änderung der Variablen

-Algebraische und trigonometrische Substitutionen.

-Integration in Teilstücken

-Zersetzung in einfachen Brüchen zur Integration des rationalen Typs

-Verwendung von Tabellen

-Numerische Methoden.

Es gibt Integrale, die von mehr als einer Methode aufgelöst werden können. Leider gibt es kein einzigartiges Kriterium, um a priori die effektivste Methode zur Lösung eines bestimmten Integrals zu bestimmen.

In der Tat erlauben einige Methoden, die Lösung bestimmter Integrale schneller zu erreichen als andere. Aber die Wahrheit ist, dass Sie mit jeder Methode integriert werden müssen, um Fähigkeiten zu erwerben, indem Sie Integrale lösen müssen.

- Gelöstes Beispiel

Lösen:

Lösung

Nehmen wir eine einfache variable Änderung für die subtische Menge vor:

U = x-3

Mit:

X = u+3

Verwalten Sie beide Seiten von beiden Ausdrücken, die Sie erhalten:

Dx = du

Jetzt ersetzen wir das Integral, was wir als ich bezeichnen werden:

I = ∫x √ (x-3) dx = ∫ (u+3) (√u) du = ∫ (u+3) u^1/2 Du

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Wir wenden Verteilungseigenschaften und Multiplikation von Mächten der gleichen Basis an, und es wird erhalten:

I = ∫ (u^3/2 + 3 u^1/2) du

Für Eigentum 3 des vorherigen Abschnitts:

I = ∫ u^3/2 du +∫ 3u^1/2 Du

Jetzt wird Eigentum 4 angewendet, was als bekannt ist als Machtregel:

Erstes Integral

∫ u^3/2 du = [u ^{3/2 + 1} / (3/2 + 1)] + c₁ =

= [u^5/2  / (5/2)] + c₁ = (2/5) u^5/2  + C₁

Zweiter Integral

∫ 3U^1/2 du = 3 ∫u^1/2 du = 3 [u^3/2  / (3/2)] + c₂ =

= 3 (2/3) u^3/2  + C₂ = 2U^3/2  + C₂

Dann kommen die Ergebnisse zusammen:

I = (2/5) u^5/2  + 2U^3/2  + C

Die beiden Konstanten können sich ohne Probleme in einem versammeln. Schließlich dürfen wir nicht vergessen, die zuvor durchgeführte Änderung der Variablen zurückzugeben und das Ergebnis in Bezug auf die ursprüngliche Variable X auszudrücken:

I = (2/5) (x-3)^5/2  + 2 (x-3)^3/2  + C

Es ist möglich, das Ergebnis zu berücksichtigen:

I = 2 (x-3) ^3/2 [(1/5) (x-3) +1] + c = (2/5) (x-3) ^3/2 (x + 2) + c

Anwendungen

Das unbestimmte Integral gilt für zahlreiche Modelle in natürlichen und sozialen Wissenschaften, zum Beispiel:

Bewegung

In der Lösung von Bewegungsproblemen, um die Geschwindigkeit eines Mobiltelefons zu berechnen, der seine Beschleunigung und bei der Berechnung der Position eines Mobiltelefons bekannt ist, bekannt seine Geschwindigkeit.

Wirtschaft

Bei der Berechnung der Produktionskosten und der Modellierung einer Nachfragefunktion beispielsweise.

Anwendungsübung

Die Mindestgeschwindigkeit, die ein Objekt zur Flucht der terrestrischen Gravitationsanziehung erfordert, wird angegeben:

In diesem Ausdruck:

-V ist die Geschwindigkeit des Objekts, das der Erde entkommen will

-Und es ist die Entfernung, die aus der Mitte des Planeten gemessen wird

-M ist die Masse der Erde

-G ist eine konstante Gravitation

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Es wird gebeten, die Beziehung zwischen zu finden v Und Und, Lösen der unbestimmten Integrale, wenn das Objekt eine anfängliche Geschwindigkeit V verliehen wird_entweder Und der Radius der Erde ist bekannt und heißt R.

Figur 2.- Ein künstlicher Satelliten -Sojuz. Wenn zu viel Geschwindigkeit bereitgestellt wird, entkommen es der Schwere der Erde, die Mindestgeschwindigkeit dafür wird als Auspuffgeschwindigkeit bezeichnet. Quelle: Wikimedia Commons.

Lösung

Wir werden zwei unbestimmte Integrale vorgestellt, um durch die Integrationsregeln zu klären:

Yo₁ = ∫v dv = v²/2 + c₁

Yo₂ = -Gm ∫ (1/y²) dy = -gm ∫ und^-2 dy = -gm [und^-2+1/(-2 + 1)] + c₂ = GM. Und^-1 + C₂

Wir gleich i₁ und ich₂:

v²/2 + c₁ = GM. Und^-1 + C₂

Die beiden Konstanten können sich in einem versammeln:

Sobald die Integrale gelöst sind, wenden wir die Anfangsbedingungen an, die Folgendes sind: Wenn sich das Objekt auf der Erdoberfläche befindet, befindet es sich in einer Entfernung r vom Zentrum derselben. In der Aussage sagen sie uns, dass es sich um die Entfernung handelt, die aus dem Mittelpunkt der Erde gemessen wird.

Und nur an der Oberfläche zu sein ist, dass die anfängliche Geschwindigkeit bereitgestellt wird, mit der sie der Gravitationsanziehung des Planeten entkommen wird. Daher können wir feststellen, dass v (r) = v_entweder. In diesem Fall hindert uns nichts daran, diesen Zustand in dem Ergebnis zu ersetzen, das wir gerade erhalten haben:

Und seit v_entweder Es ist bekannt, ebenso wie G, M und R können wir den Wert der Integrationskonstante c löschen. C:

Was wir im Ergebnis der Integrale ersetzen können:

Und schließlich klären wir v², Faktorieren und Gruppieren richtig:

Dies ist der Ausdruck, der Geschwindigkeit bezieht v eines Satelliten, der mit anfänglicher Schnelligkeit von der Planetenoberfläche (Radius R) geschossen hat vo, Wenn es in der Ferne ist Und aus der Mitte des Planeten.

Verweise

1. Haeussler, e. 1992. Mathematik für Verwaltung und Wirtschaftswissenschaften. Iberoamerica Editorial Group.
2. Hyperphysik. Fluchtgeschwindigkeit. Erholt von: hthyperphysik.Phy-astr.GSU.Edu.
3. Larson, r. 2010. Berechnung einer Variablen. 9na. Auflage. McGraw Hill.
4. Purcell, e. 2007. Berechnung mit analytischer Geometrie. 9na. Auflage. Pearson Ausbildung.
5. Wolfram Mathworld. Beispiel für Integrale. Erholt von: Mathworld.Wolfram.com.