LaGrange Interpolation

Was ist Lagrange's Interpolation?

Die Interpolation von LaGrange ist eine numerische Annäherungsmethode der Funktionen, die ein Polynom verwendet, das bestimmte bekannte Punkte der Funktion durchläuft, die sich annähern sollen.

Wenn die ungefähre Funktion auch außerhalb der gegebenen oder bekannten Werte weich ist. Deshalb wird Polynom als guter Ansatz für die Funktion angesehen.

Abbildung 1.- Formel zum Aufbau von Lagrange -Polynomen. Quelle: f. Zapata.

Nehmen wir nun an, Sie möchten eine Funktion annähern f (x) von denen nur ihre Werte in einigen bekannt sind X-_Yo-, mit Yo aus 0 bis N-1. Das heißt, sie kennen sich gegenseitig N Punkte (X-_Yo, Und_Yo) mit Und_Yo = f (x_Yo), Wo der Index Yo Geht von 0 bis N-1.

In der LaGrange Interpolation -Methode das Polynom, das sich der Funktion nähert f (x) Es ist ein Polynom P (x) Grad N-1, gebaut durch die lineare Kombination von N Polynome L_Yo(X) Grad N-1. Dies sind die LaGrange Polynome, die wie folgt ausgedrückt:

Die Werte von Und_Yo Sie repräsentieren die Ordinate, die der Abszisse entsprechen X_Yo Wo die Funktion f (x) Es ist bekannt, das heißt: Und_Yo = f (x_Yo).

LaGrange Polynome

Durch lineare Kombinationen zwischen ihnen wirken LaGrange Polynome als Grundlage für das Aufbau von Polynom der Klasse N -1 die dazu dienen, die zu interpolieren N bekannte Punkte.

Die Notation für Polynome ist l_Yo(x) mit Index I im Bereich von 0 bis n-1. Die Formel zur Festlegung von Lagrange -Polynomen ist wie folgt:

Das gezeigte Symbol zeigt an, dass die Produktorie von n -1 -Monomen ausgeführt werden muss, beginnend mit dem Polynom j = 0.

Eigenschaften von Lagrange -Polynomen

1.- Lagrange -Polynome sind genau das gleiche wie das Gerät, wenn sie in der Abszisse bewertet werden, die ihrem Index entspricht, dh:

L_Yo(X_Yo) = 1

2.- Sie werden in der Abszissa der Interpolationspunkte mit dem Index von dem desselben Polynoms abgesagt:

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L_Yo(X_J) = 0, mit i ≠ j.

3.- Andere Abszissa -Werte, die sich von Interpolationspunkten unterscheiden, erwerben Werte zwischen -1 und +1 Werte erhalten.

4.- Um LaGrange -Polynome zu erhalten.

Zweites Lagrange -Polynome

Zweite Lagrange -Polynome sind diejenigen, die am häufigsten verwendet werden, wenn Sie eine Dreipunkt -Interpolation durchführen möchten.

Angenommen, die interpolare Funktion ist in drei Punkten bekannt, nämlich:

(X₀,Und₀); (X₁, Und₁); (X₂, Und₂)

Dann Ihre entsprechenden Lagrange -Polynome L₀, L₁ Und L₂ Sie bekommen so:

L₀(x) = [(x - x₁) / (X₀ - X₁)] [(x - x₂) / (X₀ - X₂)]

L₁(x) = [(x - x₀) / (X₁ - X₀)] [(x - x₂) / (X₁ - X₂)]

L₂(x) = [(x - x₀) / (X₂ - X₀)] [(x - x₁) / (X₂ - X₁)]

Es ist darauf hinzuweisen, dass L₀(X₀) = L₁(X₁) = L₂(X₂) = 1, während L_Yo(X_J) = 0 so lange wie Yo≠ j.

Interpolationspolynom des zweiten Grades

Es ist wichtig zu beachten.

Nachdem die Polynome für bestimmte Werte der Abszisse erhalten wurden, dienen sie dazu, das Interpolationspolynom verschiedener Funktionen zu berechnen, sofern die in der zuvor festgelegten Abszisse bekannt ist.

Im Falle einer Interpolation der zweiten Klasse:

P (x) = f (x₀) L₀(x) + f (x₁) L₁(x) + f (x₂) L₂(X)

Und P (x) nähert sich der Funktion f (x) im Intervall (X₀, X₂).

Figur 2.- Dieses Bild zeigt, wie das Lagrange -Polynome für drei Interpolationspunkte und von ihnen das Interpoling -Polynom erhalten. Quelle: f. Zapata.

Beispiele

Beispiel 1

Finden Sie die LaGrange -Polynome, die drei Abszissa -Punkten entsprechen X₀= 0, X₁= 1 Und X₂= 2.

Wie im vorherigen Abschnitt zu sehen, werden diese Polynome sein:

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L₀(x) = [(x - 1) / (0 - 1)] [(x - 2) / (0 - 2)] = - (x -1) · (-½) (x - 2) = ½ (½ ( X² - 3x + 2)

L₁(x) = [(x - 0) / (1 - 0)] [(x - 2) / (1 - 2)] = x ≤ (-1) (x - 2) = - x² + 2x

L₂(x) = [(x - 0) / (2 - 0)] [(x - 1) / (2 - 1)] = (½) x ≤ (x - 1) = (½) (x² - X)

Figur 3. LaGrange Polynome für Abscissa -Werte 0, 1 und 2. Quelle: f. Zapata.

Beispiel 2

Sie möchten die Funktion annähern f (x) = arcan (x) In der Pause [0, 2]. Von dieser Funktion sind nur ihre Werte bekannt X₀= 0, X₁= 1 Und X₂= 2, welche sind jeweils Und₀= 0, Und₁= π/4 = 0,785 Und Und₂= 1,107.

Daher müssen Sie das Interpoling -Polynom finden P (x) sich nähernd f (x) Im angegebenen Intervall.

In Beispiel 1 wurden LaGrange Polynome bereits für die in dieser Anweisung angegebenen Abscissa -Werte bestimmt, sodass es nicht erforderlich ist, die Berechnung zu wiederholen. Das Interpoling -Polynom wird jetzt sein:

P (x) = f (x₀) L₀(x) + f (x₁) L₁(x) + f (x₂) L₂(X)

Das entspricht:

P (x) = y₀ L₀(x) + und₁ L₁(x) + und₂ L₂(X)

In diesem speziellen Fall ist es:

P (x) = 0 ∙ (½) (x² - 3x + 2) + 0,785 ∙ (- x² + 2x) + 1,107 ∙ (½) (x² - X)

Das obige ist vereinfacht zu:

P (x) = 0,785 ∙ (- x² + 2x) + 1,107 ∙ (½) (x² - X)

Und schließlich bleibt:

P (x) = -0,2315 ∙ x² + 1.0165 ∙ x

Figur 4. Interpoling-Polynom, das durch Lagrange-Polynome erhalten wird, die sich der Bogen-Tangent-Funktion im Intervall annähern (0, 2). Interpolationspunkte werden ebenfalls gezeigt. Quelle: f. Zapata.

Übungen

Übung 1

Erhalten Sie angemessene Lagrange -Polynome, um einen Ansatz zur Funktion zu haben:

f (x) = sin (x)

Im Intervall [0, π] und mit fünf Interpolationspunkten.

Lösung

Erst. Damit haben Sie:

X₀= 0; X₁= π/4; X₂= π/2; X₃= 3 π/4; X₄= π.

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Da F (x) an den extremen Punkten abgebrochen wird, ist es nicht erforderlich, die Lagrange L -Polynome zu erhalten l₀ und ich₄.

Polynome l₁, L₂ und ich₃ Sind:

L₁ = [(x - x₀) / (X₁ - X₀)] [(x - x₂) / (X₁ - X₂)] [(x - x₃) / (X₁ - X₃)] [(x - x₄) / (X₁ - X₄)]

L₂ = [(x - x₀) / (X₂ - X₀)] [(x - x₁) / (X₂ - X₁)] [(x - x₃) / (X₂ - X₃)] [(x - x₄) / (X₂ - X₄)]

L₃ = [(x - x₀) / (X₃ - X₀)] [(x - x₁) / (X₃ - X₁)] [(x - x₂) / (X₃ - X₂)] [(x - x₄) / (X₃ - X₄)]

Jetzt ersetzen wir den Wert der Abszisse:

L₁ = [(x - 0)/(π/4 - 0)] [(x - π/2)/(π/4 - π/2)] [(x - 3 π/4)/(π/4 - 3 π/4)] [(x - π)/(π/4 - π)]

L₂ = [(x - 0)/(π/2 - 0)] [(x - π/4)/(π/2 - π/4)] [(x - 3 π/4)/(π/2 - - 3 π/4)] [(x - π)/(π/2 - π)]

L₃ = [(x - 0)/(3 π/4 - 0)] [(x - π/4)/(3 π/4 - π/4)] [(x - π/2)/(3 π/ 4 - π/2)] [(x - π)/(3 π/4 - π)]

Nenner werden gelöst:

L₁ = [x/π/4] [(x - π/2)/( - π/4)] [(x - 3 π/4)/( - π/2)] [(x - π)/( - - 3π/4)]

L₂ = [x/π/2] [(x - π/4)/(π/4)] [(x - 3 π/4)/( - π/4)] [(x - π)/( - π /2)]

L₃ = [x/(3 π/4)] [(x - π/4)/(π/2)] [(x - π/2)/(π/4)] [(x - π)/( - π/4)]

Es wird vereinfacht und neu gruppiert, um zu erhalten:

L₁ = x (x - π/2) (x - 3 π/4) (x - π)/( - 3 π ⁴/128)

L₂ = x (x - π/4) (x - 3 π/4) (x - π)/(π ⁴/64)

L₃ = x (x - π/4) (x - π/2) (x - π)/( - 3 π ⁴/128)

Übung 2

Erhalten Sie das Interpolation -Polynom.

Lösung

Das Interpolationspolynom ist:

P (x) = sin (0) * l₀ + Sen (π/4) * l₁ + Sen (π/2) * l₂ + Sen (3π/4) * l₃ + Sen (π) * l4

Die Bewertung der Sinus- und Multiplikationsfunktion ist:

P (x) = (√2/2) l₁ + 1 * l₂ + (-√2/2) l₃

Nach einer mühsamen algebraischen Arbeit beträgt das Interpolationspolynom:

P (x) = 2. 7481 x⁴ -fünfzehn. 138 x³ +23. 467 x² - 9. 5236 x

Verweise

1. Goodman, a. L. H. Neunzehn sechsundneunzig. Algebra und Trigonometrie mit analytischer Geometrie. Pearson Ausbildung.
2. Harpe, p. D. (2000). Themen in der geometrischen Gruppentheorie. Presse der Universität von Chicago.
3. HaMewinkel, m. (2001). Lineare Interpolation ", Enzyklopädie der Mathematik.
4. Hoffmann, e. (2002). Zur Chronologie der Interpolation: Von der alten Astronomie bis zur modernen Signal- und Bildverarbeitung. Verfahren der IEEE.
5. Wikipedia. Lagrange Polynom -Interpolation. Erholt von: Wikipedia.com