Lineare Interpolation

Wir erklären, was die lineare Interpoation, ihre Formeln, wie man einen macht, mit Beispielen und Übungen aufgelöst

Was ist lineare Interpolation?

Der Lineare Interpolation Es besteht die Schätzung des Standorts eines Punktes innerhalb eines numerischen Intervalls, vorausgesetzt, die extremen Werte des Intervalls sind durch eine Linie vereint. Bekannt die Gleichung dieser Linie, ist es möglich, den unbekannten Punkt zu lokalisieren.

Die Idee ist in der folgenden Abbildung schematisiert, die einen Ansatz zum Diagramm einer Funktion zwischen den Punkten A und B zeigt. Unter der Annahme, dass diese Punkte nahe sind, ist es möglich, die Kurve zu approximieren, die sie über eine Linie vereint und so die Zwischenpunkte finden.

Abbildung 1.- Um eine lineare Interpolation zwischen den Punkten A und B zu machen, muss angenommen werden, dass sie durch eine Linie vereint sind . Quelle: f. Zapata.

Sie können auch die Kurve annähern, die die mit einer quadratischen Funktion oder eines anderen Polynom angegebenen Punkte verbindet. Die Linie hat jedoch den Vorteil ihrer mathematischen Einfachheit. Daher ist sie leicht zu handhaben, obwohl es möglich ist, dass das Ergebnis nicht so präzise ist wie die, die durch die Verwendung anderer Funktionen erhalten wird.

Formeln

Es gibt zwei Koordinatenpunkte [x_entweder, F (x_entweder)] und [x₁, F (x₁)] darunter ist der Punkt [x, g (x)], dessen Koordinaten zu wissen erwünscht sind.

Der erste Schritt besteht darin, die bekannten Punkte durch ein Liniensegment zu verbinden, auf dem die Koordinaten des Punktes a berechnet werden.

Figur 2.- Lineare Interpolation, um Punkt P auf der Interpoching -Linie G (x) zwischen den Punkten A und B von F (x) zu finden. Quelle: f. Zapata.

Wie Sie sehen können, werden zwei Rechtecke gebildet: ABC und APD, die auch einen akuten Winkel gemeinsam haben, so dass es sich um ähnliche Dreiecke handelt, auf die der Thales -Theorem angewendet werden kann:

Es kann Ihnen dienen: Analytische Geometrie

Das Ersetzen des Maßes der Segmente gemäß der Grafik wird die folgende Beziehung erhalten:

Von dort gehen wir weiter, um G (x) zu löschen:

 Berufung:

F₁(X₁) = y₁ ; F_entweder(X_entweder) = y_entweder ; g (x) = y

Die obere Gleichung wird verwandelt in:

Fehlerbereich

Wenn sich eine Funktion mit dieser Methode nähert, wird die Fehlerebene durch den Absolutwert der Differenz zwischen der Funktion f (x) und der Interpolationslinie G (x) angegeben:

Fehler = │f (x) - g (x) │

Wie man lineare Interpolation durchführt?

Die Durchführung einer linearen Interpolation ist sehr einfach. Sie müssen nur die folgenden Schritte befolgen:

Schritt 1

Bestimmen Sie den unbekannten Punkt P (x, y).

Schritt 2

Legen Sie die beiden Punkte fest, die das Intervall einschränken, in dem sich der zu berechnende Wert befindet, dh die Punkte (x x_entweder,Und_entweder) und (x₁, Und₁).

Schritt 3

Ersetzen Sie alle Werte in der Gleichung:

Und berechnen Sie das Ergebnis.

Beispiele für lineare Interpolation

Beispiel 1

Sie möchten den ungefähren Wert von LN 3 durch lineare Interpolation bei den folgenden Werten finden:

ln 2 = 0.693147 und LN 4 = 1.386294

Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Wert von LN 3, der über einen Taschenrechner erhalten wurde, und bestimmen Sie die festgelegte Marge.

• Schritt 1

Um den ungefähren Wert von LN 3 zu ermitteln, müssen Sie folgen: Erstens wird das Unbekannte festgelegt, was y = ln 3 ist, neben seinem entsprechenden Wert von „x“: x = 3. Dies ist der Punkt, den Sie berechnen möchten: (3, ln 3).

• Schritt 2

Dann müssen Sie die Grenzpunkte des Intervalls mit den bekannten Werten festlegen. Mit den nächsten Punkten wird dies gebeten:

• Untergrenze: [x_entweder = 2; Und_entweder = ln 2 = 0.693147]
• Obergrenze: [x₁ = 4; Und₁ = ln 4 = 1.386294]

• Schritt 3

Die in den Schritten 1 und 2 ermittelten Werten werden in der Gleichung sorgfältig ersetzt, um das Ergebnis des Ansatzes zu LN 3 zu erzeugen:

Kann Ihnen dienen: Wie viele Lösungen hat eine quadratische Gleichung?

Der reale Wert von LN 3, der durch den Taschenrechner erhalten wird, lautet:

ln 3 = 1.098612

Und die Fehlerquote lautet:

Fehler = │1.098612 - 1.03971 │ = 0.059

Der prozentuale Fehler der Interpolation wird berechnet, indem der Fehler zwischen dem realen Wert von LN3 geteilt und sich um 100 %multipliziert:

Prozentualer Fehler = (realer Fehler/Wert) × 100 = (0).059/1.098612) × 100% = 5.4%

Beispiel 2

Jetzt möchten Sie den ungefähren Wert von LN 3 durch lineare Interpolation finden, bekannt, diese beiden Werte:

ln 2.5 = 0.916291 und LN 3.5 = 1.252763

Bestimmen Sie auch den entsprechenden Fehler und vergleichen Sie mit den Ergebnissen des vorherigen Beispiels.

• Schritt 1

Wieder ist der unbekannte Punkt:

y = ln 3, x = 3

• Schritt 2

• Untergrenze: [x_entweder = 2.5; Und_entweder = y_entweder = ln 2.5 = 0.916291]
• Obergrenze: [x₁ = 3.5; Und₁ = ln 3.5 = 1.252763]

• Schritt 3

Untersuchung des vom Taschenrechner angebotenen Wertes:

ln 3 = 1.098612

Die Fehlerstufe wird in diesem Fall bestimmt, was sich ergibt:

Fehler = │1.098612 - 1.084527 │ = 0.014

Der prozentuale Fehler in diesem Fall beträgt ≈ 1.3 %. Im Vergleich zum Fehlerniveau von Beispiel 1 ist der neue Wert genauer, da das für Interpolar ausgewählte Intervall niedriger ist.

Gelöste Übungen

Übung 1

Berechnen Sie durch lineare Interpolation die spezifische Luftwärme bei konstantem Druck c_P  und Temperatur von 530 K, beginnend aus der unten gezeigten Werte Tabelle.

• Lösung

Bei der Auflösung vieler Probleme ist es üblich, dass der angestrebte Wert nicht genau wie gewünscht erscheint, wie es in der Tabelle der jeweiligen Werte gewünscht wird. Eine Alternative besteht darin, den Wert zu wählen, der dem gewünscht am nächsten liegt, aber oft reicht eine lineare Interpolation aus, um einen viel besseren Ansatz zu finden.

Kann Ihnen dienen: Zeichen der Gruppierung

Der Wert von c_P Ein 530 K erscheint nicht in der angehängten Tabelle, aber eine lineare Interpolation kann mit den jeweiligen spezifischen Erwärmungen bei 500 K und 550 K durchgeführt werden, die die Temperaturen sind.

Die jeweiligen spezifischen Wärmeerwärme für diese Temperaturen sind:

T_entweder = 500 K; C_po = 1.029 kJ /kg ∙ k

T₁ = 550 K; C_P1 = 1.040 kJ /kg ∙ k

Und das Unbekannte ist der Punkt (500k, c_P)

Ersetzen in der oben angegebenen linearen Interpolation mit T am Tatort der Variablen "x" und c_P Anstelle von "y" haben Sie:

Übung 2

Die auf eine Feder (in Kilopondios) angewendete Last erzeugt die folgenden Dehnung (in Millimetern) gemäß der gezeigten Tabelle:

Berechnen Sie die Dehnung, wenn die Last 12 ist.6 kp.

• Lösung

Sei und der Wert der Dehnung, die nach der Last C = 12 ist.6 kp. Der unbekannte Punkt ist (12.6, y), was zu den Punkten gehört:

C_entweder = 10 kp; Und_entweder = 105 mm

C₁ = 15 kp; Und₁ = 172 mm

Es bleibt nur noch, die Werte in der Gleichung zu ersetzen:

Vorgeschlagene Übung

Berechnen Sie die spezifische Wärmewärme auf ein konstantes Volumen für eine Temperatur von 727 K unter Verwendung einer linearen Interpolation und der Tabelle der Wertpapiere der Übung 1 aufgelöst 1.

Verweise

1. Rafa Vilchez Academy. Wie man eine lineare Interpolation durchführt. Erholt von: Academiraafavilchez.com
2. Chapra, s. 2007. Numerische Methoden für Ingenieure. 5. Auflage. McGraw Hill.
3. Khan Akademie. Mathematik der linearen Interpolation. Erholt von: Khanacademy.Org.
4. Das Bildungsleben. Lineare Interpolationsformel. Erholt von: theeducationLife.com
5. X-Engineer. Lineare Interpolation und Extrapolation mit Taschenrechner. Erholt von: X-Engineer.Org.