Multiplikative inverse Erklärung, Beispiele, Übungen gelöst

Es wird verstanden von Umgekehrt multiplikativ einer Zahl, eine andere Zahl, die mit den ersten Ergebnissen im neutralen Element des Produkts multipliziert wurde, dh die Einheit. Wenn Sie eine echte Nummer haben Zu dann wird seine multiplikative Inverse durch bezeichnet Zu^-1, Und es ist erfüllt, dass:

a a^-1 = a^-1 A = 1

Normalerweise die Zahl Zu Es gehört zur Realzahlen.

Abbildung 1. Und es ist umgekehrt multiplikativ von x und x ist eine multiplikative Inverse von y.

Wenn wir zum Beispiel nehmen, nehmen wir A = 2, Dann ist Ihre multiplikative Inverse 2^-1 = ½ Da das Folgende verifiziert wird:

2 ≤ 2^-1 = 2^-1≤ 2 = 1

2alisiert ½ = ½ · 2 = 1

Zum Umgekehrt multiplikativ einer Zahl wird auch die genannt gegenseitig, Da die multiplikative Inverse durch den Austausch von Zähler und Nenner erhalten wird, ist beispielsweise die multiplikative Inverse von 3/4 4/3.

In der Regel kann gesagt werden, dass für eine rationale Zahl (P/q) Ihr multiplikatives Inverse (P/Q)^-1 Es ist gegenseitig (Q/p) Wie nachstehend verifiziert werden kann:

(p/q) ≤ (p/q)^-1 = (p/q) ⋅ (q/p) = (p · q)/(qoge p) = (p · q)/(pú q) = 1

Das multiplikative Inverse existiert im numerischen Satz der Ganzzahlen nicht, Wenn beispielsweise die gesamte Nummer 2 genommen wird, wäre ihre multiplikative Umkehrung nach dem, was oben zu sehen war.

Es gibt auch die multiplikative Umkehrung des Nullelements der Multiplikation. Mit anderen Worten, die Nullzahl (0), die das Nullelement des Multiplikationsvorgangs ist.

Multiplikative Inverse gibt es in rationalen Zahlen, in realen Zahlen und komplexen Zahlen.

Multiplikative inverse Beispiele

Beispiel 1

Finden Sie die 3/2 multiplikative Inverse und überprüfen Sie, ob es der Eigenschaft multiplikativer Ganzzahlen entspricht.

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Gemäß der oben angegebenen Regel wird die multiplikative Umkehrung von (3/2) (2/3) auf diese Weise ausgetauscht. Um die Multiplikation der beiden Zahlen zu überprüfen, wird durchgeführt:

(3/2) ≤ (2/3) = (3 ⋅ 2)/(2 ≤ 3) = 6/6 = 1.

Um zwei Bruchzahlen zu multiplizieren, multiplizieren Sie einfach den Zähler des ersten mit dem zweiten Zähler, um den Ergebniszähler zu erhalten.

Um den Nenner eines Produkts von Bruchzahlen zu erhalten, gehen Sie auf ähnliche Weise vor, dh die Nenner werden miteinander multipliziert und das Ergebnis ist der Produktnenner. In unseremik.

Beispiel 2

Die multiplikative Umkehrung von -5 sollte nicht mit seinem symmetrischen (+5) verwechselt werden, der manchmal als arithmetische Inverse bezeichnet wird. Das multiplikative Inverse wird wie folgt erhalten:

(-5) ≤ x = 1  

Wobei x die multiplikative Umkehrung ist, die er erhalten werden muss. Ein mögliches Verfahren besteht darin, das unbekannte X zu beseitigen. As (-5) multipliziert das Unbekannte X im linken Mitglied, dann taucht es das rechte Mitglied auf:

X = 1 / (-5)

Wie bekannt als + dazwischen - wird es schließlich gewonnen: schließlich wird x erhalten:

X = - ⅕ .

Abschließend - ⅕ ist die multiplikative Umkehrung von -5.

Beispiel 3

Holen Sie sich die multiplikative Inverse von -√2. Angenommen, das multiplikative Inverse ist x, dann muss -multipliziert mit X die Einheit sein, eine Bedingung, die wir unten auferlegen:

-√2 · x = 1

Beide Mitglieder werden durch -√2 geteilt, um zu erhalten:

(-√2 · x) / (-√2) = 1 / (-√2) 

Das erste Mitglied ist vereinfacht -"restlich:

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X = 1 / (-√2)

Dieser Ausdruck kann rationalisiert werden, dh die Wurzel des Nenners, die im Zähler mit (-√2) und im Nenner für denselben Betrag multipliziert werden, damit das Ergebnis nicht geändert wird:

X = (-√2) / [(-√2) (-√2)] =-(√2 / 2)

Abschließend - (√2/2) ist die multiplikative Inverse (-√2).

Beispiel 4

Nehmen Sie eine beliebige Nummer X an, erhalten Sie Ihre multiplikative inverse und stellen Sie sie grafisch dar.

In diesem Fall handelt es sich um eine Funktion f (x) = x, die die multiplikative Inverse erholt hat. Die G -Funktion ist die wechselseitige Funktion von F und sollte in keiner Weise mit ihrer inversen Funktion verwechselt werden.

Mit anderen Worten, die multiplikative Umkehrung von x ist a und so, dass Folgendes erfüllt ist:

x ≤ y = 1

Wo zu klären und zu haben::

y = 1/x.

Das obige wird so interpretiert.

Es ist möglich, seine grafische Darstellung wie in der folgenden Abbildung darzustellen:

Figur 2. Die multiplikative Inverse von x ist y = 1/x.

Übungen

Übung 1

Geben Sie mit x = 2 - √2 Ihren multiplikativen inversen und erhalten.

Lösung:

Das und es ist ein multiplikatives x x

x ≤ y = 1

X wird durch seinen Wert ersetzt:

(2 - √2) ≤ y = 1

Dann löscht es und:

y = 1 / (2 - √2)

Um das Ergebnis zu rationalisieren, multipliziert Zähler und Nenner mit seinem konjugierten Binomial:

y = (2 + √2) / ((2 + √2) (2 - √2))

Im Nenner wird ein bemerkenswertes Produkt als Produkt einer Summe für eine Differenz erkannt. Auf diese Weise verschwindet die Wurzel im Nenner.

y = (2 + √2) / (2^2 - (√2)^2)

Kann Ihnen dienen: Verhältnis

Lösen der Kräfte:

y = (2 + √2) / (4 - 2)

Vereinfachung:

y = (2 + √2) / 2

Übung 2

Erhalten Sie das multiplikative Inverse (1/a + 1/b), wobei a und b unterschiedliche reelle Zahlen sind.

Lösung:

Wir nennen und die multiplikative Inverse von (1/a + 1/b), so dass die folgende Gleichung erfüllt sein muss:

Und ⋅ (1/a + 1/b) = 1

Die Variable wird gelöscht und:

Y = 1/(1/a + 1/b)

Der Nenner ist gelöst:

Y = 1 / ((b + a) / a b)

Wie über die Regeln der Algebra bekannt ist, geht der Nenner des Nenners an den Zähler:

Y = (a b) / (b + a)

Es wird befohlen, endlich zu erhalten:

(a b)/(a + b) das ist das multiplikative Inverse von (1/a + 1/b).

Übung 3

Erhalten Sie das multiplikative Inverse (a - b) / (a^2 - b^2).

Lösung:

Erinnern Sie sich daran, dass die multiplikative Inverse auch als Gegenstand bezeichnet wird, da es nur beim Austausch von Zähler und Nenner erhalten wird.

Dann wird der multiplikative Inverse (a - b) / (a^2 - b^2):

(A^2 - b^2) / (a ​​- b)

Dieser Ausdruck kann jedoch vereinfacht werden, wenn wir nach den Regeln der Algebra erkennen, dass der Zähler ein Unterschied der Quadrate ist, die als Produkt einer Summe für einen Unterschied berücksichtigt werden können:

((A + b) (a - b)) (a - b)

Da es im Zähler und im Nenner einen gemeinsamen Faktor (a - b) gibt, werden wir schließlich einverstanden:

(a + b) das ist das multiplikative Inverse (a - b) / (a^2 - b^2).

Verweise

1. Quellen, a. (2016). GRUNDLEGENDE MATHEMATIK. Eine Einführung in die Berechnung. Lulu.com.
2. Garo, m. (2014). Mathematik: Quadratische Gleichungen: Wie löst eine quadratische Gleichung. Marilù Garo.
3. Haeussler, e. F., & Paul, r. S. (2003). Mathematik für Verwaltung und Wirtschaftswissenschaften. Pearson Ausbildung.
4. Jiménez, J., Rofríguez, m., & Estrada, r. (2005). Mathematik 1 Sep. Schwelle.
5. Kostbar, c. T. (2005). Mathematikkurs 3o. Editorial Progreso.
6. Rock n. M. (2006). Algebra Ich ist einfach! So einfach. Team Rock Press.
7. Sullivan, j. (2006). Algebra und Trigonometrie. Pearson Ausbildung.