Hierarchie der Operationen

Hierarchie der mathematischen Operationen. Quelle: f. Zapata.

Was ist die Hierarchie der Operationen??

Der Hierarchie der Operationen Die Mathematik besteht aus einer Reihe von Regeln, die die Priorität der verschiedenen Operationen in einer Berechnung festlegen. Einige Operationen müssen zuerst und andere später durchgeführt werden, um das richtige Ergebnis zu gewährleisten.

Es ist üblich, dass es in derselben Berechnung Symbole für Gruppierung, Summen, Subtraktion, Multiplikationen, Spaltungen und Befugnisse gibt, und dann lohnt es sich zu fragen, welche von ihnen beginnt.

Zum Beispiel in der folgenden Operation:

3 × 5 + 4 × (7 - 3)²

Welcher Teil davon wird zuerst gemacht?

Um Unklarheiten zu vermeiden, haben Mathematiker festgestellt, dass jede Operation eine andere Ebene oder Hierarchie hat, die die Reihenfolge ihrer Realisierung anzeigt, obwohl dieselbe Berechnung nicht unbedingt alle Ebenen enthält.

In dem vorgeschlagenen Beispiel besteht die erste Operation darin, Klammern zu beseitigen, die darin angegebene Operation zu lösen und dann das Quadrat auszuführen, dann die Multiplikationen und schließlich die Summen durchzuführen:

3 × 5 + 4 × (7 - 3)² = 3 × 5 + 4 × (4)² = 3 × 5 + 4 × 16 = 15 + 64 = 79

Mit ein wenig Übung und einer Erinnerung hilft es nicht schwierig, immer das richtige Ergebnis in einem mathematischen Betrieb zu erhalten.

Operationsstufen: Pemdas

Die Hierarchie der Operationen besteht aus 4 Ebenen:

• Erste Ebene:  PARMENTESESE und andere Gruppierungszeichen (falls vorhanden)
• Zweites Level: UNDXponenten und Wurzeln
• Drittes Level: MUltiplikationen und DIVisionen
• Vierte Ebene:  ZUStifte und SUS -STRAKTIONEN

Beachten Sie, dass die Initialen jeder Operation fett hervorgehoben werden: P-e-md-as das Wort bilden Pemdas.

Dieses Wort erinnert sich an die Reihenfolge, in der Operationen erforderlich sind.

Sobald die Hierarchie festgelegt ist.

Operationen mit und ohne Anzeichen einer Gruppierung

Um Operationen mit und ohne Anzeichen einer Gruppierung durchzuführen, beachten diese Angaben zu beachten:

• Die Symbole oder Anzeichen einer Gruppierung werden verwendet, um Berechnungen zu erleichtern, wodurch eine bestimmte Reihenfolge für jeden Vorgang ausgedrückt wird. Es beginnt mit der Lösung der Operationen, die in dem internen Zeichen enthalten sind, das normalerweise eine Klammung ist, dann die folgende und schließlich die äußerste. Die am häufigsten verwendeten Gruppenzeichen sind: Klammern (), Klammern [] und Keys .
• Zu jeder Zeit muss das Gesetz der Zeichen berücksichtigt und entsprechend der Art der durchgeführten Operation angewendet werden:
  • Eine Gruppe von Gruppen, der ein + -Schark vorausgeht, wird beseitigt, ohne dass es notwendig ist, die Anzeichen des Inhalts zu ändern. Beispiel: + (2 + 7 - 10) = 2 + 7 - 10.
  • Wenn die Anzeichen einer Gruppe, der ein Zeichen vorauskommt. Beispiel: - (4 - 9 - 1) = −4 + ​​9 + 1.
• Cruz "×" Symbole und mittlere Höhe "∙".
• Wenn Gruppen von Klammern ohne Anzeichen zwischen ihnen erscheinen, handelt es sich um eine Multiplikation oder wenn eine Zahl neben einer Klammung erscheint, multipliziert sie den Inhalt multipliziert. Beispiele: (–5) (4) = −20 und 7 (5+1) = 42.
• Sowohl für die Multiplikation als auch für die Aufteilung legt das Gesetz der Zeichen fest:
  • Das Produkt oder das Verhältnis von zwei Anzahl gleicher Vorzeichen ist immer positiv. Beispiel: (–3) × (–4) = 12
  • Wenn Sie das Produkt oder das Verhältnis von zwei Anzahl unterschiedlicher Vorzeichen haben, ist das Ergebnis immer negativ. Beispiel: (–48) ÷ 6 = –8
• Wenn der Operation keine Anzeichen einer Gruppierung enthält, wird diese Bestellung befolgt: Zuerst werden die Exponenten und Wurzeln gelöst, wenn es vorhanden ist.
• Operationen mit der gleichen Hierarchie werden von links nach rechts durchgeführt.

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Schritt -für -Schritt -Beispiele

Beispiele für die Verwendung der Hierarchie arithmetischer Operationen zur Lösung von Operationen

Beispiel 1: Operationen ohne Gruppierungszeichen

Lösen Sie die folgenden Operationen ohne Anzeichen einer Gruppierung:

A) 3 + 5 - 4 + 14

Diese Operation besteht nur aus Summen und Subtraktion, die sich auf derselben Ebene befinden und gleichzeitig funktionieren können, zum Beispiel:

3 + 5 - 4 + 14 = 8 + 10 = 18

B) –8 + 3 × 4 + 31

Hier muss die Multiplikation 3 × 4 = 12 zuerst aufgelöst werden, und dann fügen wir hinzu, was daraus hervorgeht:

–8 + 3 × 4 + 31 = −8 + 12 + 31 = 35

c) 3³ - 44 + 2

Die Operation enthält eine Leistung, daher wird sie zuerst aufgelöst 3³ = 27 Und was kommt dann:

3³ - 44 + 2 = 27 - 44 + 2 = - 15

D) 4 × 3 –4² + 10 ÷ 2 - 26

Dieser Vorgang enthält Strom, Multiplikation, Aufteilung und Subtraktion. Power 4² = 16 geht zuerst:

4 × 3–4² + 10 ÷ 2 - 26 = 4 × 3 - 16 + 10 ÷ 2 - 26

Folgen Sie dann der Multiplikation und der Division 4 × 3 = 12 und 10 ÷ 2 = 5

4 × 3–16 + 10 ÷ 2 - 26 = 12-16 + 5 - 26

Und das Ergebnis wird hinzugefügt:

12-16 + 5 - 26 = - 25

Beispiel 2: Operationen mit Anzeichen einer Gruppierung

Lösen Sie die folgenden Operationen mit Gruppierungssymbol, wobei berücksichtigt wird, dass die Operation, die das Symbol einschließt.

A) 4 × 2 (3+6) ÷ 3

Die Klammung muss zuerst eliminiert werden. Beim Lösen der Operation, die das Symbol enthält, wird es erhalten:

4 × 2 (3+6) ÷ 3 = 4 × 2 (9) ÷ 3

Auf diese Weise wird ein Betrieb mit Produkt und Quotienten erhalten. Beachten Sie, dass die 2, die der Klammer vorausgeht, auch ein Produkt symbolisiert, obwohl das Multiplikationssymbol nicht erscheint, daher kann es geschrieben werden:

4 × 2 (9) ÷ 3 = 4 × 2 × 9 ÷ 3

Diese Operationen haben die gleiche Priorität, daher werden sie gleichzeitig von links nach rechts gelöst:

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= 72 ÷ 3 = 24

B) 5 + (2 + 3)² - 12 ÷ 3

Hier wird die Operation innerhalb der Klammern durchgeführt und berechnet die Leistung:

5 + (2 + 3)² - 12 ÷ 3 = 5 + 5² - 12 ÷ 3 = 5 + 25 - 12 ÷ 3

Dann wird die angegebene Abteilung durchgeführt:

5 + 25 - 12 ÷ 3 = 5 + 25 - 4

Schließlich die Summen und die Subtraktion:

5 + 25 - 4 = 30 - 4 = 26

c) 4 5 - [6 + (2 - 4)³ ÷ 2 + 20]

In dieser Operation wird die Klammern zuerst gelöst, da sie das interne Gruppensymbol ist:

4 5 - [6 + (2 - 4)³ ÷ 2 + 20] = 4 5 - [6 + (–2)³ ÷ 2 + 20]

Jetzt gibt es in der Halterung eine Kraft, die eine negative Ganzzahl beinhaltet. Es ist bekannt, dass, wenn die Basis negativ ist und der Exponent seltsam ist, das Ergebnis negativ ist. Am bequemsten ist die Lösung dieser Operation:

4 5 - [6 + (–2)³ ÷ 2 + 20] = 4 5 - [6 + (−8) ÷ 2 + 20]

Dann wird das Zeichen des Zeichens auf den Quotienten (–8) ÷ 2 = −8 ÷ 2 angewendet und die folgenden Überreste:

4 5 - [6 + (−8) ÷ 2 + 20] = 4 5 - [6 - 8 ÷ 2 + 20]

Im nächsten Schritt wird die Klammer beseitigt und bemerkt, dass sich ein negatives Zeichen vorausgeht, was bedeutet, dass sich der Inhalt der Zeichen in der Klammer ändern sollte:

4 5 - [6 - 8 ÷ 2 + 20] = 4 5 - 6 + 8 ÷ 2 - 20

Es wird beobachtet, dass es eine Abteilung in der Klammer gibt, die noch nicht durchgeführt wurde und ausgeführt werden muss, da die Schlüssel als Gruppierungssymbol darauf hinweisen, dass diese Operation Priorität hat:

4 5 - 6 +8 ÷ 2 - 20 = 4 5 - 6 +4 - 20

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Auch hier hat der Betrieb zwischen den Schlüsseln Priorität:

4 5 - 6 +4 - 20 = 4 - 17

Da es kein Symbol zwischen 4 und der Menge zwischen den Schlüssel gibt, ist es eine Multiplikation:

4 - 17 = - 68

Gelöste Übungen

Bestimmen Sie das Ergebnis der folgenden Operationen:

A) 12 - 18 + [7 - 3 (4-7) + 2 - 15 ÷ 3] + 10-22 + 86

b) 4 (-2)⁵ + 3 (-3)² + √81 + [√16 - 2 (-6) + 3]

Lösung für

12 - 18 + [7 - 3 (4-7) + 2 - 15 ÷ 3] +10 - 22 + 86 =

= 12 - 18 + [7 - 3 (-3) + 2 - 5] +10 - 22 + 86 =

= 12 - 18 + [7 + 9 + 2 - 5] +10 - 22 + 86 = 12 - 18 + 13 + 2 - 5 +10 - 22 + 86 =

= 12-16 + 86 = 82

Lösung b

4 (-2)⁵ + 3 (-3)² + √81 + [√16 - 2 (-6) + 3] =

= 4 × 32 + 3 × 9 + 9 + [4 +12 + 3] =

= 128 + 27 + 19 = 204

Verweise

1. Baldor, a. 2007. Praktische theoretische Arithmetik. Redaktionsgruppe Patria s.ZU. von c.V.
2. Genießen Sie die Mathematik. Die Reihenfolge der Pemdas -Operationen. Erholt von: genießeMatimaticas.com
3. Monterey Institute. Operationsreihenfolge. Erholt von: Montereyinstitute.Org.
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