Ampère -Formel und Gleichungsgesetz, Demonstration, Übungen

Der Ampère -Gesetz erklärt, dass die Zirkulation des magnetischen Induktionsvektors B Es ist proportional zur Intensität und des Stroms, der sich um denselben fließt.

Wiederum die Verbreitung von B Es ist die Summe aller Produkte zwischen der Tangentialkomponente B B_║ und die Länge eines kleinen Segments Δℓ einer geschlossenen Kurve c, Um eine Schaltung. In mathematischer Begriffen ist es so geschrieben:

∑ b_║ .Δℓ ∝ Yo

Abbildung 1. Definition des Amperegesetzes. Quelle: Serway, r. College -Physik.

Als willkürliche Linie oder Kurve kann sie in kleine Segmente unterteilt werden Δℓ, Und diese wiederum können infinitesimal sein, dann werden sie D genanntℓ.

In diesem Fall wird die Summe zu einer integralen Linie des Skalarprodukts zwischen den Vektoren B und dS. Dieses Produkt enthält die tangentiale Komponente von B, die b cosθ ist, wobei θ der Winkel zwischen den Vektoren ist:

Der kleine Kreis, der das Integral kreuzt.

Die Proportionalitätskonstante, die zur Festlegung der Gleichheit erforderlich ist, ist μ_entweder, Vakuumpermeabilität. Auf diese Weise bleibt das Ampère -Gesetz weiterhin:

Das Gesetz von Ampère sagt uns, dass das Linienintegral ∫_C B ∙ dS Es ist genau μ wert_entwederIch, aber es bietet uns nicht die Details darüber, wie das Magnetfeld orientiert ist B In Bezug auf die Kurve C an jedem Punkt oder in Bezug auf die Berechnung des Integrals. Es zeigt uns nur, dass das Ergebnis desselben immer μ ist_entwederYo.

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Demonstration des Ampère -Gesetzes

Das Ampère -Gesetz wird experimentell verifiziert, um das Magnetfeld zu überprüfen, das von einem sehr langen geradlinigen Leiter erzeugt wird. Bevor Sie mit dem Problem adressieren, müssen zwei Fälle von besonderem Interesse an der vorherigen Gleichung hervorgehoben werden:

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-Das erste ist, wann B und dS Sie sind parallel, was bedeutet, dass B ist tangential zu c. Dann beträgt der Winkel zwischen beiden Vektoren 0º und das skalare Produkt ist einfach das Produkt der Größen B.ds.

-Die zweite tritt auf, wenn B und dS Sie sind senkrecht, in diesem Fall ist das Skalarprodukt 0, da der Winkel zwischen den Vektoren 90 ° beträgt, dessen Cosinus 0 beträgt.

Ein weiteres wichtiges Detail ist die Wahl der Kurve C, auf der die Feldzirkulation bewertet wird. Das Ampère -Gesetz gibt nicht an, was es sein kann, aber es muss die aktuelle Verteilung einwickeln. Auch wird auch nicht ausgelegt, wie man die Kurve bewegt, und dafür gibt es zwei Möglichkeiten.

Die Lösung besteht darin, Vorzeichen gemäß der richtigen Daumenregel zuzuweisen. Die vier Finger sind in der Richtung gebogen, in die Sie integrieren möchten. Normalerweise ist dies im Feld gleich B Zirkulierungen. Wenn der aktuelle Punkt in Richtung des rechten Daumens zeigt, wird ein Zeichen zugewiesen und falls nicht, unterschreiben -.

Dies gilt, wenn eine Verteilung mit mehreren Strömen vorliegt. Einige können positiv und andere negativ sein. Die algebraische Summe von ihnen ist das, was wir in das Ampère -Gesetz stellen werden, das normalerweise als ernannt wird Unerträglicher Strom (Für die Kurve c).

Magnetfeld aus geradlinigem und unendlichen Draht

Abbildung 2 zeigt einen Draht, der einen Strom und außerhalb der Ebene transportiert. Die richtige Daumenregel sorgt dafür B Es zirkuliert in die entgegengesetzte Richtung und beschreibt Umfang, wie die roten Pfeile zeigen.

Figur 2.- Magnetfeld eines unendlichen Drahtes. Quelle: Wikimedia Commons.

Nehmen wir einen von ihnen, dessen Radius r ist. Wir teilen es in kleine Differentialsegmente DS, durch blaue Vektoren dargestellt. Beide Vektoren, B und dS, Sie sind an jedem Punkt des Umfangs parallel und auf diese Weise das Integral ∫_C B ∙ dS Es verwandelt sich in:

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∫_C BDS

Dies liegt daran, dass, wie wir bereits sagten, das Skalarprodukt B ∙ dS  Es ist das Produkt der Größen der Vektoren durch den 0º -Cosinus. Das Ergebnis des Integrals ist dank des Gesetzes von Ampère bekannt. Deshalb schreiben wir:

∫_C BDS = μ_entwederYo

Da die Größe des Feldes über der gesamten Flugbahn konstant ist, verlässt es das Integral:

B ∫_C Ds = μ_entwederYo

Das integrale ∫_C DS repräsentiert die Summe aller infinitesimalen Segmente, aus denen der Funkumfang besteht R, Äquivalent zu seiner Länge, das Produkt seines Radius von 2π:

B.2πr = μ_entwederYo

Und von dort aus finden wir, dass die Größe von B ist:

B = μ_entwederI / 2πr

Es ist notwendig zu betonen, dass auch die ausgewählte Flugbahn (oder amperianische Schaltung) Nicht kreisförmig, das Ergebnis des Integrals ist weiterhin μ_entwederI, wie ∫ auch_C B ∙ dS Es wäre nicht mehr b.2πr.

Aus diesem Grund liegt die Nützlichkeit des Ampère -Gesetzes zur Bestimmung des Magnetfeldes bei der Auswahl von Verteilungen mit hoher Symmetrie, so dass das Integral leicht zu bewerten ist. Kreisförmige und geradlinige Trajektorien erfüllen diese Anforderung.

Gelöste Übungen

- Übung 1

Betrachten Sie die in Abbildung 3 gezeigten Kurven A, B, C und D gezeigt. Sie wickeln drei Ströme ein, zwei, die die Ebene verlassen und mit einem Punkt symbolisieren (symbolisieren ( . ), deren Intensitäten 1 a und 5 a sind, und ein Strom, der in die Ebene eintritt, die mit einem Kreuz bezeichnet wird und deren Größe 2 a ist.

Finden Sie den Strom, der von jeder Kurve eingeschlossen ist.

Figur 3. Mehrere Kurven, um das Ampère -Gesetz anzuwenden. Quelle: Serway, r. College -Physik.

Lösung

Die Ströme, die das Papier verlassen +. Demzufolge:

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Kurve a

Schließt die drei Ströme ein, daher beträgt der geschlossene Strom + 1 a + 5 a - 2 a = 4 a.

Kurve b

Nur die Ströme von 1 y - 2 a befinden sich in dieser Kurve, daher liegt der geschlossene Strom von - 2 a.

Kurve c

Enthält die ausgehenden Ströme 1 und 5 a, daher beträgt der geschlossene Strom 6 a.

Gebogen

Die Ströme im Inneren betragen +5 a und - 2 A und schließen dann einen Nettostrom von 3 nach.

- Übung 2

Berechnen Sie die Größe des Magnetfeldes, das durch einen sehr langen geradlinigen Draht erzeugt wird.

Lösung

Nach dem Gesetz von Ampère wird das Drahtfeld gegeben durch:

B = μ_entwederI / 2πr = (4π x 10^-7 x 1/2π x 1) t = 2 x 10^-7 T.

Verweise

1. Figueroa, d. (2005). Serie: Physik für Wissenschaft und Ingenieurwesen. Band 6. Elektromagnetismus. Herausgegeben von Douglas Figueroa (USB).
2. Ritter, r.  2017. Physik für Wissenschaftler und Ingenieurwesen: Ein Strategieansatz.  Pearson.
3. Sears, Zemansky. 2016. Universitätsphysik mit moderner Physik. 14. Ed. Band 2.
4. Serway, r. 2009. College -Physik. Cengage Lernen.
5. Tipler, p. (2006) Physik für Wissenschaft und Technologie. 5. ed. Band 2. Redaktion zurückgekehrt.