Biot-Savart-Rechtsformel, Demonstration, Bewerbungen, Übungen

Der Biot-Savart Law stellt eine Beziehung zwischen dem Magnetfeld D fest dB  an einem Punkt P, der durch einen dünnen Draht erzeugt wird, der einen Strom I transportiert i und dessen unterschiedliche Länge d ist DS. Dieses Gesetz wird verwendet, um das Magnetfeld der Stromverteilungen durch die zu finden Prinzip der Superposition. 

Dies bedeutet, dass wir zur Berechnung des gesamten Magnetfelds an Punkt P alle Beiträge hinzufügen müssen, die jedes unterschiedliche Teil DS des Drahtes trägt bei. Und diese Summe erfolgt durch ein Integral, das über die gesamte aktuelle Verteilung durchgeführt wird.

Abbildung 1. Ein Drahtsegment transportiert einen Strom I, der an einem Punkt P in einem bestimmten Abstand vom Draht ein Magnetfeld erzeugt, das durch das Biot-Savart-Gesetz berechnet wird. Quelle: Bauer, w. Physik für Ingenieurwesen und Wissenschaften.

Auf diese Weise können Sie das Feld berechnen, das Drähte mit Strom verschiedener Geometrien erzeugt.

Das Gesetz von Biot-Savart ist nach den beiden französischen Physikern benannt, die es 1820 entdeckten: Jean Marie Biot (1774-1862) und Felix Savart (1791-1841). Um dies zu erreichen, mussten sie die Intensität und Form des Magnetfelds untersuchen, das durch zahlreiche Stromverteilungen erzeugt wurde.

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Formel

Der mathematische Ausdruck des Biot-Savart-Gesetzes lautet wie folgt:

Es hält Analogien mit seinem Äquivalent zur Berechnung des elektrischen Feldes: Coulombs Gesetz, nur dass das Magnetfeld dB in p ist aufrecht zum Flugzeug, in dem sich der Draht befindet. Wir können dies in Abbildung 1 sehen.

Der vorherige Ausdruck kann auch wie folgt geschrieben werden:

In beiden Ausdrücken, R Es ist der Positionsvektor, der aus dem ID -Stromelement gerichtet istS bis zu dem Punkt, an dem Sie das Feld berechnen möchten.

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Für seinen Teil, R Mit einem Circumflejo -Akzent ist es der einheitliche Vektor, der in die gleiche Richtung und Richtung gerichtet ist, aber mit einem Modul gleich 1. Der Vektor R Es wird wie folgt dargestellt:

Aus diesem Grund durch Ersetzen in der vorherigen Gleichung -derjenige, der r hat³ Im Nenner wird der Ausdruck R sofort erreicht² Im Nenner.

Zusätzlich zu den oben genannten Vektoren enthält die Formel die Konstante μ_entweder, Forderung Vakuumpermeabilität und deren Wert ist:

μ_entweder = 4π x10^-7 T.m/ a.

Wenn wir den Magnetfeldvektor berechnen möchten, muss die gesamte aktuelle Verteilung integriert werden, für die wir die Daten zu seiner Geometrie benötigen:

Das Vektorprodukt und die rechte Handregel

Das Biot-Savart-Gesetz umfasst ein Vektorprodukt zwischen ID-VektorenS Und R. Das Ergebnis eines Vektorprodukts zwischen zwei Vektoren ist ebenfalls ein Vektor.

In diesem Fall das ID -VektorproduktmodulS X R IS: (ids) ·r · senθ, wobei θ der Winkel zwischen ID istS Und R, Wie in Abbildung 1 gezeigt.

Auf diese Weise die Größe des Feldes dB Es wird gegeben durch:

Die Richtung und Bedeutung können mit der Regel der rechten Hand bestimmt werden, die in dieser Abbildung dargestellt wird:

Figur 2. Rechte Handregel für Biot-Savart-Gesetz. Quelle: Wikimedia Commons.

Wir laden den Leser ein, seine rechte Hand den Vektoren der Abbildungen 1 und 2 zu positionieren. Für Abbildung 1 muss der Indexfinger nach links verweisen, folgt nach IDS oder idl, Der Mittelfinger zeigt nach dem Vektor R Einheitlich.

Und schließlich ist der Daumen aufgerichtet und dies ist die Richtung des Magnetfeldes.

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Demonstration des Biot-Savart-Gesetzes

Das biot-savart-Gesetz ist experimentell, was bedeutet, dass seine Formulierung aus vielen Beobachtungen über das Verhalten des Magnetfelds herrührt, das durch Stromkabel erzeugt wird.

Biot- und Savart -Beobachtungen

Dies waren die Beobachtungen französischer Wissenschaftler über das Magnetfeld DB:

-Die Größe von DB ist umgekehrt proportional zu R².

-Es ist auch direkt proportional zur Größe des Stromelements, das als ID bezeichnet wirdS Und auch zu Sen θ, wobei θ der Winkel zwischen den Vektoren d istS Und R.

-DB ist senkrecht zu beiden IDS -die Richtung des Stroms- R.

-Vielfältig von dB ist tangential für einen Funkkreis R Draht -zentriert. Mit anderen Worten, Feld B, das durch ein aktuelles Segment erzeugt wird.

-Die Bedeutung, in der es sich dreht B Es wird durch die rechte Daumenregel angegeben: Der rechte Daumen wird auf die Richtung des Stroms gerichtet und die verbleibenden vier Finger werden nach der Zirkulation des Feldes um den Draht gekräuselt.

Alle diese Beobachtungen werden im zuvor beschriebenen mathematischen Ausdruck des Gesetzes kombiniert.

Biot-Savart-Rechtsanträge

Wenn die aktuelle Verteilung eine hohe Symmetrie aufweist, kann Integral leicht aufgelöst werden. Sehen wir uns einige Fälle an:

Geradliniger und dünner Draht

Ein geradliniger Draht mit Länge l transportiert einen Strom I, wie der in der Figur erscheint.

Es zeigt die notwendige Geometrie für die Berechnung des Feldes. Dies ist senkrecht zum Blatt des Papiers, ausgeschlossen in die Ebene, wenn der Strom von links nach rechts fließt und ansonsten eingehalten wird (überprüfen Sie es mit der rechten Handregel).

Kann Ihnen dienen: ParamagnetismusFigur 3.- Links die zur Berechnung des Magnetfelds erforderlich. Rechts die Winkel, die die Position von P in Bezug auf die Enden des Segments bestimmen. Quelle: Serway, r. Physik für Wissenschaft und Ingenieurwesen.

Sei k  Der Einheitsvektor in Richtung senkrecht zur Ebene nach Durchführung des Integrationsprozesses ist das Magnetfeld, das der Draht in p erzeugt,:

Kreisspira

Die Radiokreisschleife Zu Es transportiert einen Strom, wie in der Abbildung gezeigt und erzeugt ein Magnetfeld DB -in dunkel grün- am Punkt p auf der axialen Achse in einem Abstand X aus der Mitte.

Figur 4.- Geometrie zur Berechnung des Feldes, das durch die kreisförmige Spase am Punkt P an der Axialachse erzeugt wird. Quelle: Wikimedia Commons.

Ein weiteres aktuelles Element, das sich auf der gegenüberliegenden Seite befindetB (hellgrün), so dass seine vertikale Komponente mit dem ersten abgebrochen wird.

Das Ergebnis ist, dass das Netto -Magnetfeld horizontal ist und nur in diese Komponenten integriert ist, was zu:

Übung gelöst

Es gibt einen extrem langen Draht, der einen Strom von 2 zum Fließen transportiert, wie im Bild gezeigt. Berechnen Sie die Größe des Magnetfelds in einem radialen Abstand von 5 cm vom Draht.

Abbildung 5.- Magnetfeldleitungen eines geradlinigen Drahtsegments, das Strom transportiert. Quelle: Wikimedia Commons.

Lösung

Da es sich um einen sehr langen Draht handelt, können wir den Ausdruck für das geradlinige Segment nehmen und θ machen₁= 0º und θ₂ = 180º für Grenzwinkel. Dies reicht für die Länge des Drahtes aus, um Unendlichkeit zu speichern.

Auf diese Weise werden wir das Feld haben::

Das vereinfacht:

Jetzt ersetzen wir die Werte der Anweisung:

I = 2 a

R = 5 x10^-2 M

μ_entweder= 4π x10^-7 T.m/ a

Die Richtung und der Sinn von B Sie sind in Abbildung 5 dargestellt, in der die Richtung, die das Blatt verlässt k.

Verweise

1. Bauer, w. 2011. Physik für Ingenieurwesen und Wissenschaften. Band 1. Mc Graw Hill.
2. Figueroa, d. 2005. Serie: Physik für Wissenschaft und Ingenieurwesen. Band 6. Elektromagnetismus. Herausgegeben von Douglas Figueroa (USB).
3. Giancoli, d.  2006. Physik: Prinzipien mit Anwendungen. 6. Ed Prentice Hall.
4. Resnick, r. 1999. Physisch. Vol. 1. 3. Aufl. in Spanisch. Kontinentaler Redaktionsgesellschaft s.ZU. von c.V.
5. Sears, Zemansky. 2016. Universitätsphysik mit moderner Physik. 14. Ed. Band 1.
6. Serway, r., Jewett, J. 2008. Physik für Wissenschaft und Ingenieurwesen. Band 2. 7. Ed. Cengage Lernen.