De Morgan Gesetze

Wir erklären, was Morgans Gesetze sind, wir demonstrieren sie und geben Beispiele an

Abbildung 1.- Der Mathematiker Augustus von Morgan (1806-1871) und seine Gesetze der Aussagelogik. Quelle: f. Zapata.

Was sind de Morgans Gesetze?

De Morgans Gesetze sind zwei logische Gesetze, die zur Aussagelogik gehören, die vom englischen Mathematiker Augustus von Morgan (1806-1871) formuliert wurden. Sie stellen Folgendes in Bezug auf einen zusammengesetzten logischen Satz fest:

1. Das Gegenteil einer Konjunktion entspricht der Disjunktion, die mit den Gegensätzen oder Ablehnungen der Vorschläge gebildet wird, aus denen die Konjunktion besteht.
2. Die Ablehnung der Disjunktion kann als Konjunktion aus den Gegensätzen oder Ablehnungen der an der Disjunktion beteiligten Vorschläge ausgedrückt werden.

In der Notation der Aussagelogik werden die Gesetze von De Morgan auf kompakte und formalere Weise wie folgt ausgedrückt:

1. ∼ (p ∧ q) ⇔ ∼p ∨q
2. ∼ (p ∨ q) ⇔ ∼p ∧q

Was diese Gesetze zum Ausdruck bringen, ist, dass das Ergebnis entweder in der Ablehnung von Konjunktion oder Disjunktion entspricht, jedem der teilnehmenden Vorschläge getrennt zu verweigern und den Stecker zu investieren, der sie verbindet.

Für ein besseres Verständnis der Gesetze von De Morgan ist es notwendig, die Bedeutung der in der Aussagen Logik verwendeten Aussagen und Symbole zu überprüfen, um zu sehen, wie diese Gesetze bequem gelten.

Logische Notation

Das grundlegende Instrument der Aussagelogik ist die Aussagen. Ein logischer Satz ist eine Aussage, die a zulässt echter Wert, Ob es wahr oder falsch ist, aber nicht beides gleichzeitig. Darin ist keine Unklarheit erlaubt, das heißt, es kann keinen Zweifel geben.

Ein Vorschlag wird wie in den folgenden Beispielen mit einem Kleinbuchstaben bezeichnet:

• F: Mexiko -Stadt ist die Hauptstadt Mexikos (wahr).
• F: Durch Hinzufügen von 2 und 3, 4 (Falsch) wird erhalten.
• A: Alle Säugetiere sind Landtiere (falsch).

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Es gibt auch komplexere Aussagen, die durch die Verwendung einfacher Aussagen wie folgt strukturiert werden:

• F: Carlos geht ins Kino, wenn es nicht regnet.
• F: ANA ist ein Chemiker oder Meeresbiologe.
• A: Juan geht zum Abendessen oder Pedro wird das Spiel im Fernsehen sehen.

Logische Anschlüsse

Logische Anschlüsse sind Symbole, die verwendet werden, um einfache Aussagen zu verknüpfen und somit komplexere Sätze zu erstellen. In der aussagekräftigen Logik hat jeder von ihnen eine bestimmte Bedeutung.

Die am häufigsten verwendeten Steckverbinder sind Konjunktion, Disjunktion, ausschließliche Disjunktion, Ablehnung, Konditionalität und Bionditionalität.

Verbindung

Die Konjunktion wird mit einem invertierten "V" -Brief bezeichnet. Ein zusammengesetzter Satz durch eine Konjunktion wird wie folgt symbolisiert p ∧ q:

• P ∧ F: Mexiko -Stadt ist die Hauptstadt Mexikos und befindet sich in Nordamerika.

Es ist leicht zu identifizieren, dass P "Mexiko -Stadt ist die Hauptstadt Mexikos" ist und Q "in Nordamerika" ist.

Disjunktion

Zwei Arten von Disjunktionen sind unterschieden: die Schwachen und die exklusiven. A schwache Disjunktion Es wird durch ∨ und in logischer Notation symbolisiert. Beispiel für diese Art von Disjunktion ist:

• P ∨ F: Juan ist ein Fußballer oder Juan ist Tennisspieler.

Stattdessen die Exklusive Disjunktion Es wird durch Zeichen ⊻ symbolisiert und impliziert, dass einer der Aussagen zum Beispiel ausgeschlossen werden muss:

P ⊻ F: Alicia ist 20 Jahre alt oder Alicia ist 22 Jahre alt.

Der Unterschied zwischen beiden Typen ist klar, dass eine der Aussagen ausschließlich ausgeschlossen ist, da Alicia, wenn er 20 Jahre alt ist, nicht 22 Jahre alt sein kann und umgekehrt. Andererseits kann Juan in der schwachen Disjunktion gleichzeitig ein Fußballer und Tennisspieler sein.

Verweigerung

Durch das Einsetzen des Symbols ∼ einen Satz, wird dies wie in:

• F: ∼ (Veracruz ist die Hauptstadt Mexikos).

Das wird als "Veracruz nicht die Hauptstadt Mexikos" gelesen. Andere Wege, eine Ablehnung auszudrücken, abgesehen von "No", sind Phrasen wie "Is False", "es ist eine Lüge, die" und "es ist nicht wahr, dass".

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Konditionalität

Sie sind zusammengesetzte Aussagen, die normalerweise die Wörter "Ja" und "dann ..." verwenden, um zwei Aussagen zu verknüpfen, in denen es eine Konditionalität gibt oder Implikation. Der Teil des Vorschlags, der unmittelbar nach dem "Ja" geschrieben ist vorgezogen Welle Hypothese des Vorschlags und was nach dem Begriff "dann" ist, ist das Abschluss entweder konsequent.

Das für die Konditionalität verwendete Symbol ist der Pfeil von links nach rechts "→". Daher wird eine Konditionalität zwischen zwei Aussagen als P → Q dargestellt, die als "wenn p, dann q" gelesen werden kann. Zum Beispiel:

P → F: Wenn es am Nachmittag regnet, werde ich kein Tennis spielen.

Bi-Konditionalität

In dieser Art von Proposition wird der Ausdruck „Ja und nur wenn“ zum Verbinden von zwei Aussagen, die als First- und Second Biconditional Element bezeichnet werden, verwendet. Das verwendete Symbol ist der bidirektionale Pfeil "↔".

Die beiden Vorschläge, die durch "Ja und nur dann" verbunden sind, werden jeweils aufgerufen Erste Und Zweites Mitglied und die Bi-Konditionalität von zwei Sätzen P und Q bleibt als p ↔ q. Zum Beispiel:

P ↔ F: Maria fährt gerne Fahrrad, wenn und nur wenn der Tag sonnig ist.

Demonstration der Gesetze von De Morgan

Die Gesetze von De Morgan sind Teil logischer Äquivalenzen und können durch die Wahrheitstabellen demonstriert werden, die verwendet werden, um die Wahrheit (wahrer oder falscher) Wert eines Satzes zu kennen.

Da die Konjunktion nur dann wahr ist, wenn P und Q wahr sind, lautet seine Wahrheitstabelle:

Andererseits ist der Vorschlag in Disjunktion wahr, wenn p und q wahr sind oder ob mindestens einer von ihnen ist, aber es ist falsch, wenn beide sind:

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Nun verwandelt die Verweigerung die Wahrheit in False und umgekehrt umgekehrt. In diesem Fall sind die Wahrheitswerte von ∼ (p ∧ q) und ∼ (p ∨ q) das Gegenteil der Wahrheitswerte (p ∧ q) und (p ∨ q):

Und es muss überprüft werden, dass diese Ergebnisse bei der Durchführung der jeweiligen Wahrheitstabellen von (∼ P ˅ ∼ q) und (∼ P ˄ ∼ q) erhalten werden:

Und in der Tat wird beobachtet, dass de Morgans Gesetze erfüllt sind. Jetzt werden zwei Beispiele seiner Anwendung gesehen.

Gelöstes Beispiel 1

Wenden Sie die Gesetze von De Morgan an, um den äquivalenten Ausdruck von: ∼ (∼P ˅ ∼Q) zu finden

• Lösung

Der gegebene Expression wird mit Morgan's Law verglichen (∼P ˅ ∼Q):

∼ (p ∨ q) ⇔ ∼p ∧q

Und es wird beobachtet, dass die Ablehnung in beiden Fällen bereits außerhalb der Klammern liegt, daher werden die Anweisungen des Gesetzes befolgt: Sie lehnt ∼P ab, verweigert ∼Q und der Stecker wird geändert:

∼ (∼p ˅ ∼Q) ⇔ ∼ (∼p) ∧ ∼ (∼q) ⇔ p ∧ q

Gelöstes Beispiel 2

Bestimmen Sie die äquivalente Expression von ∼ [∼p ˄ ∼ (∼Q)] ≡

• Lösung

Erstens ist die ∼Q -Verweigerung vereinfacht:

∼ [∼p ˄ ∼ (∼Q)] ⇔ ∼ [∼p ˄ q]

Da es bereits eine Ablehnung außerhalb der Halterung gibt, wird der resultierende Ausdruck mit Morgans Gesetz verglichen: ∼ (p ∧ q) ⇔ ∼p ∨q

Um ∼ [∼p ˄ q] zu lösen, müssen Sie ∼P verweigern, Q verweigern und den Stecker ändern:

∼ [∼p ˄ q] ⇔∼ (∼p) ∨ ∼Q ⇔ p ˅ ∼Q

Verweise

1. Becerra, j.M.  Unam Logic Notes.
2. Brillant. Aus Morgans Gesetzen. Erholt von: Brillant.Org.
3. Elektronik -Tutorials. Von Morgans Theorem. Erholt von: Elektronik-Tormalgas.WS.
4. López, f. Einführung in die mathematische Logik. Erholt von: YouTube.com
5. Muñoz, c. Einführung in die Logik. Abgerufen von: Websites.UCM.Ist.