Kepler -Gesetze Erklärung, Übungen, Experiment

Der Kepler -Gesetze Über die Planetenbewegung wurde der deutsche Astronom Johannes Kepler (1571-1630) formuliert. Kepler leitete sie auf der Grundlage der Arbeit seines Lehrers dänischen Astronomen Tycho Brahe (1546-1601) ab.

Brahe hat die Daten aus den planetarischen Bewegungen über mehr als 20 Jahre sorgfältig zusammengestellt, mit überraschender Genauigkeit und Genauigkeit, wenn dies berücksichtigt wird. Die Gültigkeit Ihrer Daten ist bis heute gültig.

Abbildung 1. Die Umlaufbahnen der Planeten nach Keplers Gesetzen. Quelle: Wikimedia Commons. Willow/CC by (https: // creativecommons.Org/lizenzen/bis/3.0)

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Keplers 3 Gesetze

Keplers Gesetze stellen fest:

-Erstes Gesetz: Alle Planeten beschreiben elliptische Umlaufbahnen mit der Sonne in einem der Scheinwerfer.

-Zweites Gesetz oder Gesetz desselben: Eine Linie, die von der Sonne zu einem beliebigen Planeten (fokales Radio) gerichtet ist, gleichzeitig gleiche Flächen abwickeln.

Figur 2. Gesetz der Gebiete. Quelle: Wikimedia Commons. Gonfer/cc by-sa (https: // creativecommons.Org/lizenzen/by-sa/3.0)

-Drittes Gesetz: Das Quadrat der Zeit, das ein Planet -Orbital um die Sonne nimmt, ist proportional zum Würfel seines durchschnittlichen Abstands zur Sonne.

Sei T sagte Zeit, gerufen Umlaufzeit, Und R Die durchschnittliche Entfernung dann:

T² ist proportional zu r³

T = k r³

Dies bedeutet, dass der Quotient T²/ R³ Es ist für alle Planeten gleich, was es ermöglicht, den Orbitalradius zu berechnen, wenn die Orbitalperiode bekannt ist.

Wenn T Es wird in Jahren ausgedrückt und R In astronomischen Einheiten ua*ist die Verhältnismäßigkeitskonstante K = 1 wert:

T²= r³

*Eine astronomische Einheit entspricht 150 Millionen Kilometern, was der durchschnittliche Abstand zwischen Erde und Sonne ist. Die Orbitalzeit der Erde beträgt 1 Jahr.

Das universelle Gravitationsgesetz und das dritte Gesetz von Kepler

Das universelle Gravitationsgesetz legt fest, dass die Größe der Anziehungskraft der Gravitation zwischen zwei Massenobjekten M Und M jeweils, deren Zentren eine Distanz getrennt sind R, Es wird gegeben durch:

F = g mm /r²

G ist die universelle Gravitationskonstante und sein Wert beträgt G = 6.674 x 10 ^-elf N.M²/kg² .

Jetzt sind die Umlaufbahnen der Planeten elliptisch mit einer sehr kleinen Exzentrizität.

Dies bedeutet, dass sich die Umlaufbahn nicht viel von einem Kreis entfernen, außer in einigen Fällen wie dem Zwergpluto. Wenn wir die Umlaufbahnen an die kreisförmige Form annähern, ist die Beschleunigung der Bewegung des Planeten:

Zu_C = v²/R

Angesichts der F = ma, haben:

G mm /r² = m.v²/R

Hier v Es ist die lineare Geschwindigkeit des Planeten um die Sonne, die statische und die Massenannahme M, Während der Planet ist M. So:

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Dies erklärt, dass die Planeten am weitesten von der Sonne eine niedrigere Umlaufbahngeschwindigkeit haben, da sie davon abhängt 1/√r.

Da der Abstand, in dem der Planet wandert, ungefähr die Länge des Umfangs beträgt: l = 2πr und es dauert die gleiche Zeit t, die Orbitalperiode, er wird erhalten:

V = 2πr /t

Die Ausgleich beider Ausdrücke für V A Gültiger Ausdruck für T wird erhalten², Das Quadrat der Umlaufzeit:

Und dies ist genau das dritte Gesetz von Kepler, da in diesem Ausdruck die Klammern 4π² /Gm Es ist also konstant, deshalb T² ist proportional zur Entfernung R zum Würfel angehoben.

Die endgültige Gleichung für die Orbitalperiode wird durch Extrahieren von Quadratwurzeln erhalten:

Berechnung der Masse der Sonne

Wie viel kostet die Masse der Sonne?? Es ist möglich, durch diese Gleichung herauszufinden. Wir wissen, dass die Orbitalperiode der Erde ein Jahr beträgt und der Umlaufradius 1 UA beträgt, entspricht 150 Millionen Kilometern, sodass wir alle notwendigen Daten haben.

In unserer vorherigen Gleichung klären wir klar M, aber nicht bevor sie alle Werte in das internationale Einheitensystem umwandeln, wenn:

1 Jahr = 3.16 x 10⁷ Sekunden.

1 ua = 150 Millionen km = 1.5 x 10^elf M.

Und indem wir die Daten in der Gleichung ersetzen, erhalten wir eine ziemlich erfolgreiche Schätzung der Sonne der Sonne in 2.0 x 10 ³⁰ kg.

Übungen

Obwohl Kepler nur die Planeten im Sinn hatte, als er seine berühmten Gesetze abgeleitet hat, gilt diese auch für die Bewegung von Satelliten und den anderen Leichen des Sonnensystems.

- Übung 1

Zu wissen, dass die Umlaufbahn des Jupiters 5 ist.19 -mal größer als die der Erde, finden Sie die Orbitalperiode des Jupiter.

Lösung

Nach der Definition der astronomischen Einheit stammt Jupiter aus der Sonne 5.19 UA, daher nach Keplers drittem Gesetz:

T²= r³= (5.19)³ Jahre

Deshalb T = (5.19)^3/2  Jahre = 11.8 Jahre

- Übung 2

Halley Comet besucht alle 75 die Sonne.3 Jahre. Finden:

a) die Hauptverkehrsumgebung seiner Umlaufbahn.

b) das Maß des Apeliums, wenn das Perihel 0 misst 0.568 ua.

Lösung

Halley Comet besucht alle 75 die Sonne.3 Jahre. Finden:

a) die Hauptverkehrsumgebung seiner Umlaufbahn.

b) das Maß des Apeliums, wenn das Perihel 0 misst 0.568 ua.

Lösung für

Wenn ein Planet oder ein anderer Stern der Sonne am nächsten ist, wird gesagt, dass er in der ist Perihelio, Und wenn es weiter ist, in Blattläuse. Im Sonderfall einer kreisförmigen Umlaufbahn ist R im dritten Gesetz von Kepler der Radius der Umlaufbahn.

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In der elliptischen Umlaufbahn ist der himmlische Körper jedoch mehr oder weniger von der Sonne entfernt, da es sich um den halb -major -„A“ handelt, der Durchschnitt zwischen der Schrotper und dem Perihel:

Figur 3. Aflio und Perihelio. Quelle: Wikimedia Commons. Pearson Scott Foresman / Public Domain

Daher ersetzen wir R durch ein im dritten Gesetz von Kepler, das für Halley in:

T²= a³→ a = (t)²³ → a = (75.3) ²³ Ua = 17.832 ua

Lösung b

A = ½ (Perihelio + Apelio)

17.832 = ½ (0.568+ Aflio) → Aflio = 2 x 17.832 - 0.568 UA = 35.10 ua.

Experiment

Analysieren Sie die Bewegung der Planeten erfordert Wochen, Monate und sogar Jahre sorgfältiger Beobachtung und Registrierung. Im Labor kann jedoch ein sehr einfaches Experiment durchgeführt werden, um zu beweisen, dass das Gesetz von Keplers Gleichen erfüllt ist.

Dazu ist ein physikalisches System erforderlich, bei dem die Kraft, die die Bewegung regiert. Ein solches System besteht aus einer Masse, die an ein langes Seil gebunden ist und das andere Ende des festen Fadens zu einer Unterstützung.

Der Teig trennt einen kleinen Winkel seiner Gleichgewichtsposition und wird einen leichten Impulse gedruckt, so dass er eine ovale (fast elliptische) Bewegung auf der horizontalen Ebene ausführt, als wäre er ein Planet um die Sonne.

Auf der vom Pendel beschriebenen Kurve können wir beweisen, dass es gleiche Flächen zu gleichen Zeiten fegen, ja:

-Wir betrachten Vektorradios, die vom Zentrum der Anziehung (anfänglicher Gleichgewichtspunkt) bis zur Position der Masse reichen.

-Und wir brüten zwischen zwei aufeinanderfolgenden Momenten gleicher Dauer in zwei verschiedenen Bereichen der Bewegung.

Je länger der Pendelfaden und desto niedriger der Winkel, der vom vertikalen Abstand abgibt.

Dann nähert sich der beschriebene Oval einer Ellipse, wie beispielsweise die, die die Planeten reisen.

Materialien

-Unabhängiger Thread

-1 Teig oder Metallkugel weiß gestrichen, das als Pendel -Linsen fungiert

-Herrscher

-Förderer

-Bildkamera mit automatischer Blitzscheibe

-Unterstützung

-Zwei Beleuchtungsquellen

-Ein Blatt Papier oder schwarzer Karton

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Verfahren

Die Montage der Figur ist erforderlich, um Fotos von mehreren Blitzen des Pendels zu machen, wenn ihre Flugbahn folgt. Dazu müssen Sie die Kamera direkt über das Pendel und das automatische Blitzalbum vor das Objektiv stellen.

Figur 4. Pendelbaugruppe, um zu überprüfen. Quelle: PSSC Laboratory Guide.

Auf diese Weise werden Bilder in regelmäßigen Zeitintervallen des Pendels erhalten, zum Beispiel alle 0.1 oder alle 0.2 Sekunden, die es ermöglichen, die Zeit zu wissen, die es brauchte, um von einem Punkt zum anderen zu wechseln.

Sie müssen auch die Masse des Pendels bequem beleuchten und die Lichter auf beide Seiten legen. Die Linse muss weiß gestrichen werden, um den Kontrast auf dem Hintergrund zu verbessern, der aus einem erweiterten schwarzen Papier auf dem Boden besteht.

Jetzt müssen Sie überprüfen. Dafür wird ein Zeitintervall ausgewählt und die vom Pendel in diesem Intervall besetzten Punkte sind auf dem Papier markiert.

Auf dem Bild wird eine Linie von der Mitte des Ovals zu diesen Punkten gezogen, sodass wir die ersten Bereiche vom Pendel übersehen lassen, was ungefähr ein elliptischer Sektor ist wie der unten gezeigte:

Abbildung 5. Bereich eines elliptischen Sektors. Quelle: f. Zapata.

Berechnung des elliptischen Abschnittsbereichs

Die Winkel werden mit dem Förderer gemessen θ_entweder Und θ₁, Und diese Formel wird verwendet, um S, den Bereich des elliptischen Sektors zu finden:

S = f (θ₁) - f (θ_entweder)

Mit F (θ) gegeben durch:

Beachten Sie, dass Zu Und B Sie sind die Semi -Senijes größer bzw. minderjährig. Der Leser sollte nur sorgfältig die Semi -Hemin und Winkel messen, da es Online -Taschenrechner gibt, um diesen Ausdruck leicht zu bewerten.

Wenn Sie jedoch darauf bestehen, die Berechnung von Hand zu machen, müssen Sie sich daran erinnern, dass der Winkel θ in Grad gemessen wird. Zum Zeitpunkt der Eingabe der Daten in den Taschenrechner müssen die Werte jedoch in Radianes ausgedrückt werden.

Dann müssen Sie ein weiteres Punktpaar markieren, in das das Pendel das gleiche Zeitintervall investiert hat, und den entsprechenden Bereich zeichnen, wobei der Wert mit demselben Verfahren berechnet wird.

Überprüfung des Gesetzes gleicher Bereiche

Schließlich bleibt zu überprüfen.

Weicht die Ergebnisse ein wenig von dem, was erwartet wird? Sie müssen bedenken, dass alle Maßnahmen von ihrem jeweiligen experimentellen Fehler begleitet werden.

Verweise

1. Keisan Online -Taschenrechner. Bereich eines elliptischen Sektorrechners. Erholt von: Keisan.Casio.com.
2. Opentax. Keplers Gesetz der Planetenbewegung. Abgerufen von: openStax.Org.
3. PSSC. Laborphysik. Redaktion zurückgekehrt. Erholt aus: Bücher.Google.CO.
4. Palen, s. 2002. Astronomie. Schaum -Serie. McGraw Hill.
5. Pérez r. Einfaches System mit zentraler Kraft. Erholt von: FrancePhysics.Blogspot.com
6. Stern, d. Die drei Kepler -Gesetze der Planetenbewegung. Erholt von: Phy6.Org.