Boolesche Algebrageschichte, Theoreme und Postulate, Beispiele

Er boolsche Algebra O Booles Algebra ist die algebraische Notation zur Behandlung von binären Variablen. Deckt Studien zu einer Variablen ab, die nur zwei mögliche, komplementäre und ausschließliche Ergebnisse miteinander haben. Zum Beispiel sind die Variablen, deren einzige Möglichkeit wahr oder falsch, korrekt oder falsch ist, ein oder aus der Grundlage für die Untersuchung der Booleschen Algebra.

Boolesche Algebra bildet die Grundlage der digitalen Elektronik, was es in der Zeitgenossenschaft ziemlich präsent ist. Es wird durch das Konzept der logischen Tore bestimmt, bei dem die in traditionellen Algebra bekannten Operationen bemerkenswert betroffen sind.

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Geschichte

Die Boolesche Algebra wurde 1854 vom englischen Mathematiker George Boole (1815 - 1864) eingeführt, der ein selbstverteidiger Gelehrter dieser Zeit war. Seine Besorgnis ergab sich aus einem bestehenden Streit zwischen Augustus von Morgan und William Hamilton über die Parameter, die dieses logische System definieren.

George Boole argumentierte, dass die Definition der numerischen Werte 0 und 1 im Bereich der Logik der Interpretation entspricht Nichts und Universum bzw.

George Booles Absicht war es, durch die Eigenschaften von Algebra die Ausdrücke der Aussagelogik zu definieren, die erforderlich sind, um mit binären Variablen umzugehen.

1854 werden die wichtigsten Abschnitte der Booleschen Algebra im Buch veröffentlicht "Eine Untersuchung der Denkgesetze, auf denen mathematische Theorien der Logik und Wahrscheinlichkeit basieren. “.

Dieser merkwürdige Titel würde später als "zusammengefasst werden"Die Gesetze des Denkens "(" Die Gesetze des Denkens "). Der Titel sprang aufgrund der unmittelbaren Aufmerksamkeit, die er aus der mathematischen Gemeinschaft der Zeit hatte.

Im Jahr 1948 wandte Claude Shannon es im Design von bideren elektrischen Schaltkreisen auf. Dies diente als Einführung in die Anwendung der Booleschen Algebra innerhalb des gesamten elektronisch-digitalen Systems.

Struktur

Die Elementarwerte in dieser Art von Algebra sind 0 und 1, die falsch bzw. True entsprechen. Die grundlegenden Operationen in der Booleschen Algebra sind 3:

- Und Konjunktionsbetrieb. Durch einen Punkt dargestellt ( . ). Synonym des Produkts.

- Oder oder Disjunktion des Betriebs. Dargestellt durch ein Kreuz ( +) .Synonym der Summe.

- Keine Operation oder Denation. Dargestellt durch das Präfix nicht (nicht a). Es ist auch als Komplement bekannt.

Wenn in einem festgelegten Gesetzen der internen Komposition als Produkt und Summe definiert werden (definiert sind ( .  + ), es wird gesagt, dass die Liste (a . + ) Es ist eine Boolesche Algebra, wenn und nur dann, wenn diese Liste den Zustand eines verteilenden Retikulums erfüllt.

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Um ein verteilendes Retikulum zu definieren, müssen die Verteilungsbedingungen zwischen den gegebenen Operationen erfüllt sein:

. ist in Bezug auf die Summe verteilt +                   Zu . (b + c) = (a . b) + (a . C)

+ ist in Bezug auf das Produkt verteilt.                  A + (b) . c) = (a +b) . (A + c)

Die Elemente, aus denen das Set A besteht Universum oder Leere.

Anwendungen

Das größte Anwendungsszenario ist der digitale Zweig, in dem es dazu dient, die Schaltungen zu strukturieren, die die logischen Operationen ausmachen. Die Kunst der Einfachheit der Schaltungen zur Optimierung von Prozessen ist das Ergebnis der richtigen Anwendung und Praxis der Booleschen Algebra.

Aus der Ausarbeitung von Elektrogebern über die Datenübertragung bis zur Erreichung der Programmierung in verschiedenen Sprachen können wir häufig die Algebra von Booles in allen Arten von digitalen Anwendungen finden.

Boolesche Variablen sind in der Programmierstruktur sehr häufig. Abhängig von der verwendeten Programmiersprache wird strukturelle Operationen des Codes erfolgen, die diese Variablen verwenden. Die bedingten und Argumente jeder Sprache geben boolesche Variablen zu, um die Prozesse zu definieren.

Postulate

Es gibt Theoreme, die die strukturellen Logikgesetze der Booleschen Algebra regeln. Auf die gleiche Weise werden sie postuliert, um die möglichen Ergebnisse in verschiedenen Kombinationen von binären Variablen zu kennen, je nach der durchgeführten Operation.

Summe (+)

Der Bediener Oder dessen logisches Element ist Union (U) für binäre Variablen wie folgt definiert:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Produkt (.)

Der Bediener Und dessen logisches Element ist die Schnittstelle (∩) für binäre Variablen wie folgt:

0 . 0 = 0

0 . 1 = 0

1 . 0 = 0

1 . 1 = 1

Entgegengesetzt (nicht)

Der Bediener Nicht dessen logisches Element ist das Komplement (x) 'für binäre Variablen wie folgt definiert:

Nicht 0 = 1

Nicht 1 = 0

Viele der Postulate unterscheiden sich von ihren Äquivalenten in herkömmlichen Algebra. Dies liegt an der Domäne der Variablen. Zum Beispiel kann die Zugabe von Universumelementen in Booleschen Algebra (1 + 1) nicht das konventionelle Ergebnis von 2 ergeben, da es nicht zu den Elementen des binären Komplexes gehört.

Theoreme

Zero -Regel und Einheit

Jede einfache Operation, die ein Element mit binären Variablen beinhaltet, wird definiert:

0 + a = a

1 + a = 1

0 . A = 0

1 . A = a

Gleiche Befugnisse oder Idiven

Operationen zwischen gleichen Variablen sind definiert als:

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A + a = a

ZU . A = a

Ergänzung

Jeder Betrieb zwischen einer Variablen und ihrer Komplement wird definiert als:

A + nicht a = 1

ZU . Nicht a = 0

Involution oder doppelte Ablehnung

Die gesamte doppelte Ablehnung wird als natürliche Variable angesehen.

Nicht (nicht a) = a

Kommutativ

A + b = b + a; Sommer der Summe.

ZU . B = b . ZU ; Produktkommutivität.

Assoziativ

A + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c; Summe Assoziativität.

ZU . (B . C) = (a . B) . C = a . B . C; Produktassoziativität.

Verteilt

A + (b) . C) = (a + b) . (A + c); Summe in Bezug auf das Produkt verteilen.

ZU . (B + c) = (a . B) + (a + c); Produktverteilung in Bezug auf die Summe.

Absorptionsgesetze

Es gibt viele Absorptionsgesetze zwischen mehreren Referenzen, einige der bekanntesten sind:

ZU . (A + b) = a

ZU . (Nicht a + b) = a . B

Nicht a (a + b) = nicht a . B

(A + b) . (A + nicht b) = a

A + a . B = a

A + nicht a . B = a + b

Nicht a + a . B = nicht A + B

ZU . B + a . Nicht b = a

Morgans Theorem

Es handelt sich um Transformationsgesetze, die Variablenpaare verwalten, die zwischen den definierten Operationen der Booleschen Algebra interagieren ( + . ).

NOTIZ . B) = nicht a + nicht b

Nicht (a +b) = nicht a . Nicht B

A + b = nicht (nicht a + nicht b)

ZU . B = nicht (nicht a . Nicht B)

Dualität

Alle Postulate und Theoreme haben die Kraft der Dualität. Dies impliziert, dass durch den Austausch der Variablen und Operationen der resultierende Satz verifiziert wird. Das heißt, beim Austausch von 0 für 1 und und und und und umgekehrt; Es wird ein Ausdruck erstellt, der ebenfalls vollständig gültig ist.

Zum Beispiel, wenn Sie das Postulat nehmen

1 . 0 = 0

Und Dualität wird angewendet

0 + 1 = 1

Ein weiteres perfekt gültiges Postulat wird erhalten.

Karnaugh -Karte

Karnaughs Karte ist ein Diagramm, das in Booleschen Algebra verwendet wird, um die logischen Funktionen zu vereinfachen. Es besteht aus einer zweidimensionalen Anordnung, die den Wahrheitstabellen der Aussagelogik ähnelt, ähnlich. Daten für echte Tabellen können direkt auf der Karnaugh -Karte verkörpert werden.

Karnaughs Karte kann Prozesse mit bis zu 6 Variablen beherbergen. Für Funktionen mit einer größeren Anzahl von Variablen wird die Verwendung von Software zur Vereinfachung des Prozesses empfohlen.

Vorgeschlagen 1953 von Maurice Karnaugh wurde es als festes Werkzeug im Bereich Boole eingerichtet.

Beispiele

Boolesche Algebra dient dazu, logische Türen in einer Schaltung zu reduzieren, wobei die Priorität darin besteht. Dies liegt an der Rechenverzögerung, die jede Tür vermutet hat.

Im folgenden Beispiel werden wir die Vereinfachung eines logischen Ausdrucks bis zu seinem minimalen Ausdruck unter Verwendung der Theoreme und Postulate der Booleschen Algebra beobachten.

Nicht (ab + a + b) . Nicht (a + nicht b)

Nicht [A (B + 1) + B] . Nicht (a + nicht b); Faktor der A mit gemeinsamem Faktor.

Kann Ihnen dienen: Berechnung von Ansätzen mit Differentialen

Nicht [a (1) + b] . Nicht (a + nicht b); Durch Satz A + 1 = 1.

Nicht (a + b) . Nicht (a + nicht b); Von Theorem a . 1 = a

( NOTIZ . Nicht B) . [ NOTIZ . Nicht (nicht b)];

Durch Theorem von Morgan nicht (a + b) = nicht a . Nicht B

( NOTIZ . Nicht B) .  ( NOTIZ . B); Durch doppelte Ablehnung Theorem nicht (nicht a) = a

NOTIZ . Nicht B . NOTIZ . B; Algebraische Gruppe.

NOTIZ . NOTIZ . Nicht B . B; Produktkommutivität zu . B = b . ZU

NOTIZ . Nicht B . B; Von Theorem a . A = a

NOTIZ . 0; Von Theorem a . Nicht a = 0

0; Von Theorem a . 0 = 0

ZU . B . C + nicht a + a . Nicht B . C

ZU . C . (B + nicht b) + nicht a; Faktorisierung (a . C) mit gemeinsamem Faktor.

ZU . C . (1) + nicht a; Durch Satz A + nicht a = 1

ZU . C + nicht a; Durch Null -Regelsatz und Einheit 1 . A = a

Nicht a + c ; Gesetzlich von Morgan bis + nicht a . B = a + b

Für diese Lösung muss das Morgans Gesetz ausgedehnt werden, um zu definieren:

Nicht (nicht a) . C + nicht a = nicht a + c

Weil nicht (nicht a) = a durch Involution.

Vereinfachen Sie die logische Funktion

NOTIZ . Nicht B . Nicht c + nicht a . Nicht B . C + nicht a . Nicht C bis zu seinem minimalen Ausdruck

NOTIZ . Nicht B . (Nicht c + c) + nicht a . Nicht C; Faktorisieren (nicht a . Nicht b) mit gemeinsamem Faktor

NOTIZ . Nicht B . (1) + nicht a . Nicht C; Durch Satz A + nicht a = 1

(NOTIZ . Nicht b) + (nicht a . Nicht C);  Durch Null -Regelsatz und Einheit 1 . A = a

Nicht a (nicht b + nicht c); Factoring nicht ein mit gemeinsamem Faktor

NOTIZ . Nicht B . C); Durch Gesetze von Morgan nicht (a . B) = nicht a + nicht b

Nicht [a + (b) . C)] Durch Gesetze von Morgan nicht (a . B) = nicht a + nicht b

Eine der 4 fetthaltigen Optionen stellt eine mögliche Lösung dar, um den Schaltungsniveau zu verringern

Vereinfachen Sie die logische Funktion bis zu ihrem minimalen Ausdruck

( ZU . Nicht B .  C + a . Nicht B . B . D+ nicht a . Nicht B) . C

( ZU . Nicht B . C + a . 0 . D + nicht a . Nicht B) . C; Von Theorem a . Nicht a = 0

( ZU . Nicht B . C + 0 + nicht a . Nicht B) . C; Von Theorem a . 0 = 0

( ZU . Nicht B . C + nicht a . Nicht B) . C; Durch Satz a + 0 = a

ZU . Nicht B . C . C + nicht a . Nicht B . C; Durch Verteiligkeit des Produkts in Bezug auf die Summe

ZU . Nicht B . C + nicht a . Nicht B . C; Von Theorem a . A = a

Nicht B . C (a + nicht a) ; Faktorisieren (nicht b . C) mit gemeinsamem Faktor

Nicht B . C (1); Durch Satz A + nicht a = 1

Nicht B . C; Durch Null -Regelsatz und Einheit 1 . A = a

Verweise

1. Boolesche Algebra und seine J -Anwendungen. Eldon Whitesitt. Continental Redaktionsfirma, 1980.
2. Mathematik und Ingenieurwesen in Informatik. Christopher J. Van Wyk. Institut für Computerwissenschaften und Technologie. Nationales Büro für Standards. Washington, d. C. 20234
3. Mathematik für Informatik. Eric Lehman. Google Inc.
   F Thomson Leighton Department of Mathematics und das Labor für Informatik und AI, Massachussetts Institute of Technology; Akamai Technologies.
4. Elemente der abstrakten Analyse. Mícheál O'Searcoid PhD. Abteilung für Mathematik. University College Dublin, Beldfield, Dublind.
5.  Einführung in die Logik und die Methodik der deduktiven Wissenschaften. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University Press.