Trigonometrische Grenzen, wie man sie löst, gelöste Übungen

Der Trigonometrische Grenzen Sie sind Grenzen der Funktionen, so dass diese Funktionen durch trigonometrische Funktionen gebildet werden.

Es gibt zwei Definitionen, die bekannt sein müssen, um zu verstehen, wie die Berechnung einer trigonometrischen Grenze durchgeführt wird. Diese Definitionen sind:

- Grenze einer "f" -Funktion, wenn "x" tendenziell "B" tendiert: Es besteht darin, den Wert zu berechnen, zu dem sich F (x) als "x" nähert "B", ohne "B" zu behaupten.

- Trigonometrische Funktionen: Trigonometrische Funktionen sind die Sinus-, Cosinus- und Tangentenfunktionen, die durch Sünde (x), cos (x) bzw. tan (x) gekennzeichnet sind.

Die anderen trigonometrischen Funktionen stammen aus den drei oben genannten Funktionen.

Funktionen Grenzen

Um das Konzept einer Funktionslimit zu klären, werden wir einige Beispiele mit einfachen Funktionen vorstellen.

- Die Grenze von f (x) = 3, wenn "x" tendiert zu "8" ist gleich "3", da die Funktion immer konstant ist. Es spielt keine Rolle, wie viel "x" wert ist, der Wert von F (x) wird immer "3" sein.

- Die Grenze von f (x) = x-2, wenn "x" tendiert zu "6" ist "4", beträgt "4". Da sich "x" nahe an "6" ist, nähert sich "x-2" "6-2 = 4".

- Die Grenze von g (x) = x², wenn "x" zu "3" neigt, gleich 9, da sich "x" "3" nähert, dann nähert sich "x²" "3² = 9".

Wie in den vorherigen Beispielen festgestellt werden kann, besteht die Berechnung einer Grenze zur Bewertung des Werts, zu dem „X“ in der Funktion tendiert, und das Ergebnis wird der Wert der Grenze sein, obwohl dies nur für kontinuierliche Funktionen zut.

Gibt es kompliziertere Grenzen??

Die Antwort ist ja. Die vorherigen Beispiele sind die einfachsten Beispiele für Grenzen. In Berechnungsbüchern sind die Hauptgrenzeübungen diejenigen, die eine Unbestimmtheit vom Typ 0/0, ∞/∞, ∞ -∞, 0*∞, (1)^∞, (0)^0 und (∞)^0 erzeugen.

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Diese Ausdrücke werden als Unbestimmtheit bezeichnet, da sie Ausdrücke sind, die mathematisch Sinn ergeben.

Darüber hinaus kann das Ergebnis bei der Lösung der Unbestimmungen abhängig von den Funktionen, die an der ursprünglichen Grenze beteiligt sind, jeweils unterschiedlich sein.

Beispiele für einfache trigonometrische Grenzen

Um Grenzen zu lösen, ist es immer sehr nützlich, die Grafiken der beteiligten Funktionen zu kennen. Unten finden Sie die Grafiken der Funktionen der Sinus, Cosinus und Tangenten.

Einige Beispiele für einfache trigonometrische Grenzen sind:

- Berechnen Sie die Grenze ohne (x), wenn "x" zu "0" tendiert.

Wenn Sie das Diagramm sehen, können Sie sehen, dass sich die Grafik der Brust auch "0 0" nähert, wenn sich "x" "0" nähert (sowohl links als auch rechts), nähert sich auch die Grafik der Brust "0". Daher ist die Grenze der Sünde (x), wenn "x" zu "0" tendiert, "0".

- Berechnen Sie die Grenze von cos (x), wenn "x" zu "0" tendiert.

Beobachtung des Diagramms des Cosinus Es ist zu sehen, dass, wenn "x" in der Nähe von "0" liegt, der Disingagi des Cosinus nahe "1" liegt. Dies impliziert, dass die Grenze von cos (x), wenn "x" zu "0" tendiert, gleich "1" ist.

Eine Grenze kann existieren (eine Zahl), wie in den vorherigen Beispielen der Fall, aber es kann auch passieren, dass es nicht wie im folgenden Beispiel gezeigt existiert.

- Die Grenze von tan (x), wenn "x" zu "π/2" links tendiert, ist gleich "+∞", wie in der Grafik zu sehen ist. Andererseits ist die Grenze von Tan (x), wenn "x" zu "-π/2" rechts tendiert, gleich "-∞".

Trigonometrische Grenzen der Identität

Zwei sehr nützliche Identitäten, wenn trigonometrische Grenzen berechnet werden, sind:

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- Die Grenze von "sin (x)/x", wenn "x" tendiert zu "0" neigt, ist gleich "1".

- Die Grenze von "(1-cos (x))/x", wenn "x" zu "0" tendiert "0" entspricht "0".

Diese Identitäten werden sehr oft verwendet, wenn Sie eine Art unbestimmt.

Gelöste Übungen

Lösen Sie die folgenden Grenzen mit den oben beschriebenen Identitäten.

- Übung 1

Berechnen Sie die Grenze von "f (x) = ohne (3x)/x", wenn "x" zu "0" tendiert.

Wenn die Funktion „F“ in "0" bewertet wird, wird eine Unbestimmtheit vom Typ 0/0 erhalten. Daher müssen wir versuchen, diese Unbestimmtheit mithilfe der beschriebenen Identitäten zu lösen.

Der einzige Unterschied zwischen dieser Grenze und Identität ist die Zahl 3, die innerhalb der Sinusfunktion erscheint. Um die Identität anzuwenden, muss die Funktion „F (x)“ wie folgt umgeschrieben werden "3*(ohne (ohne (3x))/3x)". Jetzt sind sowohl das Brustargument als auch der Nenner gleich.

Wenn also "x" zu "0" tendiert, ist die Verwendung von Identität "3*1 = 3". Daher ist die Grenze von F (x), wenn "x" zu "0" tendiert, gleich "3".

- Übung 2

Berechnen Sie die Grenze von "g (x) = 1/x - cos (x)/x", wenn "x" zu "0" tendiert.

Wenn "x = 0" in g (x) eine Unbestimmtheit des Typs ∞ -∞ ersetzt wird. Um es zu lösen, werden die Fraktionen subtrahiert, was als Ergebnis "(1-cos (x))/x" ergibt.

Wenn nun die zweite trigonometrische Identität angewendet wird, ist die Grenze von G (x), dass "x" zu "0" tendiert.

- Übung 3

Berechnen Sie die Grenze von "H (x) = 4tan (5x)/5x", wenn "x" zu "0" tendiert.

Wiederum, wenn H (x) in „0“ bewertet wird, wird eine Unbestimmtheit vom Typ 0/0 erhalten.

Umschreiben Sie als (5x) wie ohne (5x)/cos (5x) Es stellt sich heraus, dass h (x) = (ohne (5x)/5x)*(4/cos (x))).

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Verwenden Sie die Grenze von 4/cos (x), wenn „x“ zu „0“ tendiert, gleich „4/1 = 4“ und die erste trigonometrische Identität erhalten, dass die Grenze von H (x), wenn „x“ tendiert "0" entspricht "1*4 = 4".

Überwachung

Trigonometrische Grenzen sind nicht immer leicht zu lösen. In diesem Artikel wurden nur grundlegende Beispiele gezeigt.

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