Inverse Matrixberechnung und Bewegung gelöst

Der Inverse Matrix Von einer bestimmten Matrix ist es die Matrix, die sich mit den ursprünglichen Ergebnissen in der Identitätsmatrix multipliziert hat. Die umgekehrte Matrix ist nützlich, um Systeme linearer Gleichungen zu lösen, weshalb es wichtig ist, zu wissen, wie man sie berechnet.

Die Matrizen sind sehr nützlich in Physik, Ingenieurwesen und Mathematik, da sie ein kompaktes Instrument sind, um komplexe Probleme zu lösen. Der Nutzen von Matrizen wird verbessert, wenn sie invertierbar sind und auch ihre Umkehrung bekannt ist.

Abbildung 1. Eine generische 2 × 2 -Matrix und seine inverse Matrix sind gezeigt. (Vorbereitet von Ricardo Pérez)

In den Grafikverarbeitungsfeldern werden Big Data, Data Mining, maschinelles Lernen und andere effiziente und schnelle Algorithmen verwendet, um die NXN -Matrizen inverse Matrix mit N sehr groß in der Reihenfolge der Tausenden oder Millionen zu bewerten.

Um die Verwendung der umgekehrten Matrix bei der Verwaltung des Systems linearer Gleichungen zu veranschaulichen, beginnen wir mit dem einfachsten Fall aller: 1 × 1 -Matrizen.

Der einfachste Fall: Eine lineare Gleichung einer einzelnen Variablen wird berücksichtigt: 2 x = 10.

Die Idee ist, den Wert von x zu finden, aber er wird "matrixly" sein. 

Die Matrix M = (2), die den Vektor (x) multipliziert, ist eine 1 × 1 -Matrix, die zum Vektor (10) führt:

M (x) = (10)

Die Umkehrung der M -Matrix wird durch m bezeichnet^-1.

Die allgemeine Art, dieses "lineare System" zu schreiben, ist:

M x = b, wobei x der Vektor (x) und B ist der Vektor (10).

Per Definition ist die umgekehrte Matrix eine, die mit der ursprünglichen Matrix multipliziert wird, die zur Identitätsmatrix I:

M^-1 M = i

In dem betrachteten Fall Matrix m^-1 Es ist die Matrix (½), das ist m^-1 = (½) seit m^-1 M = (½) (2) = (1) = i

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Um den unbekannten Vektor x = (x) in der erhöhten Gleichung zu finden, werden beide Mitglieder mit der umgekehrten Matrix multipliziert:

M^-1 M (x) = m^-1 (10)

(½) (2) (x) = (½) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (x) = (5)

(x) = (5)

Die Gleichheit von zwei Vektoren wurde erreicht, die nur dann gleich sind, wenn ihre entsprechenden Elemente gleich sind, dh x = 5.

Berechnung der Umkehrung einer Matrix

Was die Berechnung der umgekehrten Matrix motiviert, besteht darin, eine universelle Methode für die Lösung linearer Systeme wie das folgende 2 × 2 -System zu finden:

x - 2 y = 3

-x + y = -2

Nach den im vorherigen Abschnitt untersuchten Schritten von Fall 1 × 1 schreiben wir das Gleichungssystem auf Matrix:

Figur 2. Lineares System in Matrixform.

Beachten Sie, dass dieses System wie folgt in kompakter Vektornotation geschrieben ist:

M x = b

Wo

Der nächste Schritt ist, m zu finden.

Methode 1: Durch Gaußsche Eliminierung

Die Gauß -Eliminierungsmethode wird angewendet. Dies besteht aus elementaren Operationen in den Reihen der Matrix, diese Operationen sind:

- Multiplizieren Sie eine Zeile mit einer Nicht -Null -Nummer.

- Eine andere Zeile oder das Vielfache einer anderen Zeile hinzufügen oder abziehen.

- Zeilen austauschen.

Das Ziel ist es, durch diese Operationen die ursprüngliche Matrix in die Identitätsmatrix umzuwandeln. 

In diesem Fall werden in Matrix m genau dieselben Operationen zur Identitätsmatrix angewendet. Wenn es nach mehreren Operationen in den R -Zeilen in die einheitliche Matrix transformiert wird, wird die Einheit, die ursprünglich war, in die umgekehrte Matrix von M umgewandelt, dh m^-1.

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1- Wir beginnen den Prozess, indem wir die Matrix M und daneben die Einheitsmatrix schreiben:

2- Wir fügen die beiden Zeilen hinzu und das Ergebnis wird in die zweite Reihe gestellt. Auf diese Weise erhalten wir im ersten Element der zweiten Zeile einen Nullpunkt:

3- Wir multiplizieren die zweite Zeile mit -1, um 0 und 1 in der zweiten Reihe zu erhalten:

4- Die erste Reihe wird mit ½ multipliziert:

5- Der zweite und der erste fügt hinzu und das Ergebnis befindet sich in der ersten Reihe:

6- Um den Prozess zu beenden, wird die erste Zeile mit 2 multipliziert, um in der ersten Identitätsmatrix und in der zweiten die umgekehrte Matrix der ursprünglichen Matrix m zu erhalten:

Das heißt:

Systemlösung

Sobald die umgekehrte Matrix erhalten wurde, wird das Gleichungssystem durch Anwenden der umgekehrten Matrix in beiden Mitgliedern der kompakten Vektorgleichung aufgelöst:

M^-1M x = m^-1B

X = m^-1B

Das bleibt explizit so:

Dann wird die Matrix -Multiplikation durchgeführt, um Vektor X zu erhalten:

Methode 2: durch angehängte Matrix

In dieser zweiten Methode wird die umgekehrte Matrix basierend auf der angehängten Matrix der ursprünglichen Matrix berechnet ZU.

Nehmen wir an, eine Matrix von:

wohin_{Ich, j} Es ist das Element der Zeile Yo und die Spalte J der Matrix ZU.

Die Anhaftung der Matrix ZU Es wird genannt Adj (a) Und seine Elemente sind:

ANZEIGE_{Ich, j} = (-1)^(i+j) ... ai, j ..

Wo Ai, j Es ist die komplementäre Nebenmatrix, die durch Eliminieren von Zeile I und Spalte J aus der ursprünglichen Matrix erhalten wird ZU. Balken â ... zeigen, dass die Determinante berechnet wird, das heißt ... ai, j .. Es ist die Determinante der komplementären Nebenmatrix.

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Inverse Matrixformel

Die Formel, um die umgekehrte Matrix basierend auf der angehängten Matrix der ursprünglichen Matrix zu finden, lautet wie folgt:

Das heißt die umgekehrte Matrix von ZU, ZU^-1, ist die Transponierung der Bindung von ZU geteilt durch die Determinante von ZU.

Die transponierten ZU^Teiner Matrix ZU Es ist diejenige, die durch den Austausch von Rängen gegen Spalten erhalten wird, dh die erste Zeile wird zur ersten Spalte und die zweite Zeile zur zweiten Spalte und so weiter, bis die N -Zeilen der ursprünglichen Matrix.

Übung gelöst

Sei die Matrix zum nächsten:

Jedes einzelne der Elemente der angehängten Matrix von a: adj (a) wird berechnet

Dies führt dazu, dass die beigefügte Matrix von a, adj (a) wie folgt lautet:

Dann wird die Determinante der Matrix A, det (a) berechnet:

Schließlich wird die umgekehrte Matrix von A erhalten:

Verweise

1. Anthony Nicolaides (1994) Determinanten & Matrizen. Veröffentlichung passieren.
2. AWOL ASSEN (2013) Eine Studie zur Berechnung der Determinanten von 3 × 3
3. Casteleiro Villalba m. (2004) Einführung in die lineare Algebra. ESIC Editorial.
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5. Jenny Olive (1998) Mathematik: Der Überlebensführer eines Schülers. Cambridge University Press.
6. Richard J. Brown (2012) 30-Sekunden-Mathematik: Die 50 am meisten umwerfenden Theorien in Mathematik. Ivy Press Limited.
7. Matrix. Lap Lambert Academic Publishing.