Berechnung des jungen Moduls, Anwendungen, Beispiele, Übungen

Er Junges Modul o Elastizitätsmodul ist die Konstante, die die Zug- oder Kompressionsanstrengung auf die jeweilige Erhöhung oder Abnahme der Länge bezieht, die das an diese Kräfte eingereichte Objekt hat.

Die auf Objekte angewendeten externen Kräfte können nicht nur ihren Bewegungsstatus ändern, sondern sie können auch ihre Form ändern oder sogar brechen oder brechen.

Abbildung 1. Die Bewegungen der Katze sind voller Elastizität und Gnade. Quelle: Pixabay.

Young's Modul dient dazu, die in einem Material erzeugten Änderungen zu untersuchen, wenn eine Traktions- oder Kompressionskraft auf eine externe Ebene angewendet wird. Es ist sehr nützlich in Angelegenheiten wie Engineering oder Architektur.

Das Modell schuldet seinen Namen dem britischen Wissenschaftler Thomas Young (1773-1829), der diejenige war, die Materialstudien durchführte, in denen ein Maß für die Steifheit verschiedener Materialien vorgeschlagen wurde.

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Was ist das Modell von Young??

Das Modell von Young ist ein Starrheitmaß. In Material. Tigraan/CC BY-SA (https: // creativecommons.Org/lizenzen/by-sa/4.0)

Wie viel kann ein Objekt deform sein? Dies ist etwas, das Ingenieure oft wissen wollen. Die Antwort hängt von den Eigenschaften des Materials und den Abmessungen ab, die Sie haben.

Beispielsweise können zwei Balken aus Aluminium mit verschiedenen Abmessungen verglichen werden. Jeder hat einen anderen Bereich Querschnitt und Länge, und beide unterliegen der gleichen Traktionskraft.

Das erwartete Verhalten wird wie folgt sein:

- Eine größere Dicke (Querschnitt) der Stange, weniger Dehnung.

- Eine größere anfängliche Länge, größere endgültige Dehnung.

Dies ist sinnvoll, denn schließlich zeigt die Erfahrung darauf, dass es nicht dasselbe ist, eine Gummi -Liga zu verformen, als zu versuchen, dies mit einer Stahlstange zu tun.

Ein Parameter, der als Materialelastizitätsmodul bezeichnet wird, ist ein Hinweis auf seine elastische Reaktion.

Wie wird es berechnet?

Als Arzt wollte Young die Rolle der Elastizität von Arterien bei der guten Leistung des Durchblutung kennenlernen. Aus seinen Erfahrungen schloss er die folgende empirische Beziehung:

Der Aufwand ist proportional zur Verformung, solange die elastische Grenze des Materials nicht überschritten wird.

Es ist möglich, das Verhalten eines Materials vor der Anwendung eines Anstrengs zu gratschen, wie in der folgenden Abbildung zu sehen ist.

Figur 2. Stressdiagramm gegen Verformung für ein Material. Quelle: Selbst gemacht.

Von Ursprung bis zum Punkt

Im ersten Abschnitt, der vom Ursprung zum Punkt A übergeht, ist die Grafik eine gerade Linie. Es gibt ein gültiges Hookes Gesetz:

F = kx

Wo F Es ist die Größe der Kraft, die zum Materials in seinen ursprünglichen Zustand zurückkehrt, X Es ist die Verformung, die dies und k Es ist eine Konstante, die vom in Anstrenkweise stehenden Objekt abhängt.

Die hier betrachteten Deformationen sind klein und das Verhalten ist vollkommen elastisch.

Von A nach B

Von A bis B verhält sich das Material auch elastisch, aber die Beziehung zwischen Aufwand und Verformung ist nicht mehr linear.

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Von b bis c

Unter den Punkten B und C erfährt das Material eine dauerhafte Verformung und kann nicht in seinen ursprünglichen Zustand zurückkehren.

Von c

Wenn sich das Material von Punkt C weiter ausdehnt, erleidet es schließlich eine Pause.

Mathematisch können die Beobachtungen von Young wie folgt zusammengefasst werden:

Aufwand ∝ Deformation

Wobei die Verhältnismäßigkeitskonstante genau das Elastizitätsmodul des Materials ist:

Aufwand = Elastizitätsmodul X Deformation

Es gibt viele Möglichkeiten, Materialien zu verformen. Die drei häufigsten Arten von Anstrengungen, die ein Objekt einreichen können, sind:

- Spannung oder Dehnung.

- Kompression.

- Schneiden oder scheren.

Ein Versuch, welche Materialien üblicherweise ausgesetzt sind, beispielsweise in ziviler Konstruktion oder Automobilteilen, ist die Traktion.

Formeln

Wenn ein Objekt der Länge l gedehnt oder angespannt ist, wird eine Traktion durchgeführt, die eine Variation seiner Länge verursacht. Ein Schema dieser Situation ist in Abbildung 3 dargestellt.

Dies erfordert, dass eine Kraft der Größe F pro Flächeneinheit auf ihre Enden angewendet wird, um Dehnung zu verursachen, so dass seine neue Länge zu L + DL wird.

Die Anstrengungen, das Objekt zu verformen, ist genau diese Kraft pro Flächeneinheit, während die Einheitliche Verformung erlebt ist ΔL/l.

Figur 3. Ein Objekt, das sich Traktion oder Dehnung unterzieht, erfährt eine Dehnung. Quelle: Selbst gemacht.

Bezeichnet das Modul von Young als UND, und nach dem, was oben gesagt wurde:

 Warum wird die einheitliche Deformation speziell ausgewählt und nicht einfach eine Deformation zum Trocknen?

Die Antwort lautet in der Tatsache, dass die Einheitsdeformation die relative Verformung in Bezug auf die ursprüngliche Länge angibt. Es ist nicht dasselbe wie eine 1 -m -Stange -Dehnung oder Scrollen 1 cm, so dass eine Struktur von 100 Metern Länge gleichermaßen 1 cm verformt ist.

Für das ordnungsgemäße Funktionieren von Teilen und Strukturen ist eine Toleranz in Bezug auf relative Verformungen zulässig.

Gleichung zur Berechnung der Verformung

Wenn die vorherige Gleichung wie folgt analysiert wird:

Es ist leicht, sich selbst davon zu überzeugen, dass sie für eine bestimmte Kraft F den Beobachtungen erfüllt, die Young gemacht hat und dass sie oben beschrieben wurden:

- Eine größere Fläche des Querschnitts, geringere Verformung.

- Eine größere Länge, größere Verformung.

- Ein höheres junges Modul, geringere Verformung.

Die Aufwandseinheiten entsprechen Newton/Quadratmeter (N/M)²). Sie sind auch die Druckeinheiten, die im internationalen System Pascal heißen. Einheitliche Deformation ΔL/l stattdessen ist dimensionlos, da es sich um den Quotienten zwischen zwei Längen handelt.

Die englischen Systemeinheiten sind LB/PLG² Und sie werden auch sehr häufig verwendet. Der Konvertierungsfaktor, der von einem zum anderen wechselt, lautet: 14: 14.7 lb/plg² = 1.01325 x 10⁵ Pa

Dies führt zum jungen Modul auch Druckeinheiten. Schließlich kann die vorherige Gleichung ausgedrückt werden, um zu klären UND:

Anwendungen

In der Wissenschaft der Material. Die Eigenschaften des zu verwendenden Materials sind in der davon erwarteten Antwort entscheidend.

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Um das beste Material zu wählen, ist es notwendig, die Bemühungen zu kennen, denen ein bestimmtes Stück unterzogen wird. und wählen Sie folglich das Material aus, das mit dem Design die beständigsten Eigenschaften aufweist.

Zum Beispiel muss der Flügel eines Flugzeugs resistent, leicht und flexibel sein. Die in den Gebäuden verwendeten Materialien müssen den seismischen Bewegungen in hohem Maße widerstehen, aber sie müssen auch etwas Flexibilität haben.

Die Ingenieure, die die Flügel der Flugzeuge und auch diejenigen, die die Baumaterialien wählen.

Es ist möglich, die Messungen durchzuführen, um die relevantesten elastischen Eigenschaften eines Materials in spezialisierten Labors zu bestimmen. Daher gibt es standardisierte Beweise, auf die die Stichproben eingereicht werden, auf die verschiedene Anstrengungen angewendet werden, und dann die resultierenden Deformationen messen.

Beispiele

Wie oben erwähnt, UND Es hängt nicht von der Größe oder Form des Objekts ab, sondern von den Eigenschaften des Materials.

Ein weiterer sehr wichtiger Hinweis: Damit die oben angegebene Gleichung anwendbar ist, muss das Material sein isotrop, Das heißt, seine Eigenschaften müssen in seiner gesamten Erweiterung unveränderlich bleiben.

Nicht alle Materialien sind Isotropos: Es gibt deren elastische Reaktion von bestimmten Richtungsparametern abhängig.

Die in den vorherigen Segmenten analysierte Verformung ist nur eine der vielen, denen ein Material eingereicht werden kann. Zum Beispiel ist es in Bezug auf Kompressionsanstrengungen das Gegenteil der Spannungsaufwand.

Die angegebenen Gleichungen gelten für beide Fälle und fast immer für die Werte von UND Sie sind gleich (isotrope Materialien).

Eine bemerkenswerte Ausnahme ist konkret oder zement, was sich einer besseren Komprimierung als Traktion widersetzt. Daher muss es verstärkt werden, wenn Dehnungswiderstand erforderlich ist. Stahl ist das dafür angegebene Material.

Als Beispiele für Strukturen im Rahmen der Bemühungen sind die Spalten von Gebäuden und Bögen, klassische Bauelemente in vielen alten und modernen Zivilisationen.

Figur 4. Pont Julien, ein römischer Bau von Jahr 3 bis.D.C. Im Süden Frankreichs.

Gelöste Übungen

Übung 1

Ein 2 Stahldraht.0 m lange auf einem Musikinstrument hat einen Radius von 0.03 mm. Wenn das Kabel unter einer Spannung von 90 n steht: Wie viel ändert sich seine Länge?Tatsache: Das junge Stahlmodul ist 200 x 10⁹ N/m²

Lösung

Es ist notwendig, den Querschnitt A = πr zu berechnen² = π. (0.03 x 10^-3 M)² = 2.83 x 10^-9 M²

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Der Aufwand ist die Spannung pro Flächeneinheit:

Daher ΔL = 0.16 x 2 m = 0.32 m

Da das Seil unter Spannung steht, bedeutet dies, dass es sich verlängert.

Die neue Länge ist l = l_entweder + Dl, wo l_entweder Es ist die anfängliche Länge:

L = 2.32 m

Übung 2

Eine Marmorsäule, deren Querschnittsbereich 2 ist.0 m² Hält eine Masse von 25.000 kg. Finden:

a) Die Anstrengung in der Spalte.

b) einheitliche Deformation.

c) Wie viel kostet die Säule, wenn ihre Höhe 12 m beträgt?

Tatsache: Junges Marmormodul ist 50 x 10⁹ N/m²

Lösung

A) Der Aufwand in der Säule ist auf das Gewicht der 25000 kg zurückzuführen:

P = mg = 25000 kg x 9.8 m/s² = 245.000 n

Daher ist die Anstrengung:

B) Die Einheitsdeformation ist ΔL/l:

c) ΔL ist die Variation der Länge, gegeben durch:

ΔL = 2.45 x 10^-6 x 12 m = 2.94 x10^-5 M = 0.0294 mm.

Es wird nicht erwartet, dass die Marmorsäule signifikant ist. Beachten Sie, dass das junge Modul zwar in Marmor niedriger ist als in Stahl und dass die Säule auch eine viel größere Kraft unterstützt, seine Länge fast variiert, fast.

Andererseits im Seil des vorherigen Beispiels die viel spürbare Variation, obwohl der Stahl ein viel größeres junges Modul hat.

In der Säule greift seine große Kreuzungsfläche ein, und deshalb ist sie viel weniger deformierbar.

Über Thomas Young

1822 Porträt von Thomas Young. Thomas Lawrence / Public Domain

Das Elastizitätsmodul erhält seinen Namen zu Ehren von Thomas Young (1773-1829), British Scientific Vielseitig, der in zahlreichen Gebieten große Beiträge zur Wissenschaft geleistet hat.

Als Physiker untersuchte Young nicht nur die wellige Natur des Lichts, die mit dem berühmten Doppelschlitzexperiment enthüllt wurde, sondern auch ein Arzt, Linguist und sogar dazu beigetragen, einen Teil der ägyptischen Hieroglyphen des berühmten Rosetta -Steins zu entschlüsseln.

Er war Mitglied der Royal Society, der Royal Academy of Sciences von Schweden, der American Academy of Arts and Sciences oder der Academy of Sciences of France, unter anderem edle wissenschaftliche Institutionen.

Es ist jedoch bemerkenswert, dass das Konzept des Modells bereits zuvor von Leonhar Euler (1707-1873) entwickelt wurde und dass Wissenschaftler wie Giordano Riccati (1709-1790) bereits ein Experiment durchgeführt haben, das die Jungen in die Praxis umgesetzt hat Modell.

Verweise

1. Bauer, w. 2011. Physik für Ingenieurwesen und Wissenschaften. Band 1. Mac Graw Hill. 422-527.
2. Giancoli, d.  2006. Physik: Prinzipien mit Anwendungen. Sechste Ausgabe. Prentice Hall. 238-249.