Ungefähre Messung der amorphen Figuren Beispiel und Bewegung

Der Ungefähre Messung Der amorphen Figuren besteht aus einer Reihe von Methoden, die verwendet werden, um den Bereich oder den Umfang der geometrischen Figuren zu bestimmen, die keine Dreiecke, Quadrate, Kreise usw. sind. Einige sind auf drei dimensionale Zahlen ausziehbar.

Grundsätzlich besteht die Messung darin, regelmäßig ein Retikulat wie Rechtecke, Quadrate oder Trapezoide zu machen, die ungefähr die Oberfläche bedecken. Die Genauigkeit des Ansatzes des von diesen Methoden erhaltenen Bereichs nimmt mit der Finesse oder Dichte des Retikulats zu.

Abbildung 1. Steine ​​geformt wie amorphe Figuren. Quelle: pxFuel.

Die Abbildungen 1 und 2 zeigen verschiedene amorphe Figuren. Um die Fläche zu berechnen, besteht ein Retikulat aus 2 x 2 Quadraten, der wiederum in fünfundzwanzig Felder von 2/5 x 2/5 unterteilt ist.

Hinzufügen der Bereiche der Hauptquadrate und der sekundären Quadrate Die ungefähre Fläche der amorphen Figur wird erhalten.

Figur 2. Ein Retikulat, um die Fläche einer der amorphen Zahlen ungefähr zu berechnen. Quelle: f. Zapata

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Bereich unter einer Kurve

Es ist häufig erforderlich, die Fläche unter einer Kurve zwischen zwei Grenzwerten zu berechnen. In diesem Fall können anstelle eines quadratischen Retikulats rechteckige Streifen ungefähr in der Fläche unter der genannten Kurve verfolgen.

Die Summe aller rechteckigen Streifen heißt Riemanns Summe oder Summe. Abbildung 3 zeigt eine Partition des Intervalls [a, b], auf dem Sie ungefähr den Bereich unter der Kurve bestimmen möchten.

Figur 3. Aufteilung des Intervalls [A, B] in vier Subintervalen, die normalerweise aus der gleichen Breite entnommen werden. Die Höhe der Rechtecke wird durch den Wert der Kurve für einen TK bestimmt, der zu den Subintervalen gehört. Quelle: f. Zapata.

Angenommen, Sie möchten die Fläche unter der Kurve berechnen, die durch die Funktion y = f (x) gegeben ist, wobei x zum Intervall [a, b] gehört, innerhalb dessen Sie die Fläche berechnen möchten. Dafür wird eine Partition von N -Elementen innerhalb dieses Intervalls durchgeführt:

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Partition = x0 = a, x1, x2, ..., xn = b.

Dann wird die ungefähre Fläche unter der Kurve, die durch y = f (x) im Intervall [a, b] gegeben ist, durch die folgende Summe erreicht:

S = ∑_{K = 1}^N f (t_k) (X_k - X_K-1)

Wo t_k ist zwischen x_K-1 und x_k: X_K-1 ≤ t_k ≤ x_k .

Abbildung 3 zeigt die Summe von Riemann der Kurve y = f (x) im Intervall [x0, x4]. In diesem Fall wurde eine Partition von vier Subintervalen durchgeführt und die Summe die Gesamtfläche der grauen Rechtecke darstellt. 

Diese Summe stellt einen Ansatz zur Fläche unter der Kurve F zwischen den Abszisse x = x0 und x = x4 dar.

Der Ansatz in die Fläche unter der Kurve verbessert sich in dem Maße, in dem die Zahl N von Partitionen ist größer und ist in der Regel genau der Bereich unter der Kurve, wenn die Zahl N Partitionen neigen zur Unendlichkeit. 

Falls die Kurve durch eine analytische Funktion dargestellt wird, werden die Werte f (t_k) Sie werden berechnet, um diese Funktion in den Werten t zu bewerten_k. Wenn die Kurve jedoch keinen analytischen Ausdruck hat, bleiben die folgenden Möglichkeiten bestehen:

1. Nehmen Sie sich der Kurve durch eine Funktion an, zum Beispiel ein Polynom.
2. Nehmen Sie die kartesischen Koordinaten der Punkte, an denen die Kurve mit den Zeilen x = t abgefangen wird_k.

Regelmäßige Abstände

Abhängig von der Wahl des Tk -Werts im Intervall [x_k, X_K-1] Die Summe kann den genauen Wert der Fläche unter der Kurve der Funktion y = f (x) überschätzen oder unterschätzen. Das ratsamste ist, den TK -Punkt zu nehmen, an dem der fehlende Bereich ungefähr dem verbleibenden Bereich entspricht, obwohl es nicht immer möglich ist, eine solche Wahl zu treffen.  

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Nehmen Sie TK am Ende

Am praktischsten ist es dann, reguläre Intervalle von breitem Δx = (b - a)/n zu verwenden, wobei a und b die minimalen und maximalen Werte der Abszisse sind, während n die Anzahl der Unterabteilungen ist.

In diesem Fall nähert sich der Bereich unter der Kurve von:

Fläche = f (a+Δx)+f (a+2δx)+…+f [a+(n-1] Δx+f (b)*Δx

Im vorherigen Ausdruck wurde TK am rechten Ende des Subintervals genommen.

Nehmen Sie TK am linken Ende

Eine weitere praktische Möglichkeit besteht darin, den TK -Wert am linken Ende zu nehmen. In diesem Fall wird die Summe, die dem Bereich annähert, ausgedrückt als:

Fläche = [f (a)+f (a+Δx)+…+f (a+(n-1) Δx)*Δx

TK als zentraler Wert

Wenn TK als zentraler Wert des regulären Subintervals der Δx -Breite ausgewählt wird, ist die Summe, die sich der Fläche unter der Kurve annähert,:

Fläche = [f (a+Δx/2)+f (a+3δx/2)+…+f (b-Δx/2)]*Δx

Jeder dieser Ausdrücke tendiert um den genauen Wert, soweit die Anzahl der Unterteilungen willkürlich groß ist, dh Δx tend. 

Beispiel

Abbildung 2 zeigt eine amorphe Figur, deren Kontur den Steinen von Bild 1 ähnlich ist. Um seine Fläche zu berechnen, wird es auf einem Retikulat mit Hauptquadrändern von 2 x 2 Einheiten auf das Quadrat platziert (z. B. können sie 2 cm² sein).

Und da jedes Quadrat in 5 x 5 Unterteilungen unterteilt ist, hat jede Unterteilung eine Fläche von 0,4 x 0,4 Quadratmeter (0,16 cm²).

Die Abbildung in der Abbildung würde wie folgt berechnet:

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Fläche = 6 x 2 cm² + (13 + 20 + 8 + 7 + 29 + 4 + 5 + 18 + 26 + 5) x 0,16 cm²

Das heißt:

Fläche = 12 cm² + 135 x 0,16 cm² = 33,6 cm².

Übung gelöst

Berechnen Sie ungefähr die Fläche unter der Kurve, die durch die Funktion f (x) = x angegeben ist² Wette a = -2 bis B = +2. Schreiben Sie dazu die Summe für n reguläre Partitionen des Intervalls [a, b] und nehmen Sie dann die mathematische Grenze für den Fall, dass die Anzahl der Partitionen tendenziell unendlich ist. 

Lösung

Erstens wird das Partitionsintervall als definiert als 

Δx = (b - a)/n. 

Dann ist die Summe für das Recht, die der Funktion F (x) entspricht, wie folgt:

A = -2 und b =+2 wird ersetzt, so dass das Intervall oder der Schritt Δx = 4/n ist. In diesem Fall die Summe für die Funktion f (x) = x² Ist:

 Das quadratische Binomial wird entwickelt: 

[-2 +(4i/n)]² = 4 - 16 I /N + (4 /N)² Yo²

Und dann wird es in der Summe ersetzt:

Die Trennung der Summierungen und das Einnehmen der konstanten Mengen als ein gemeinsamer Faktor jeder Summe wird erhalten:

 Der erste der Summe, der zweite ist:

Und der dritte ist:

Ersetzen im Ausdruck der Summe, die Sie haben:

S (f, n) = 16 - 64 (n+1)/2n+64 (n+1) (2n+1)/6n²

Bei der Auswahl eines großen Wertes für N haben Sie einen guten Ansatz für den Bereich unter der Kurve. In diesem Fall ist es jedoch möglich, den genauen Wert zu erreichen, der die mathematische Grenze einnimmt, wenn N neigt, unendlich zu sein:

Fläche = lim_{N-> ∞}[16 - 64 (n+1)/2n+64 (n+1) (2n+1)/6n²]

Fläche = 16 - (64/2)+ (64/3) = 16/3 = 5.3333.

Verweise

1. Casteleiro, J. M. 2002. Umfassende Berechnung (illustrierte Ausgabe). Madrid: ESIC Editorial.
2. Larson, r. 2010. Berechnung einer Variablen. 9na. Auflage. McGraw Hill.
3. Purcell, e. 2007. Berechnung mit analytischer Geometrie. 9na. Auflage. Pearson Ausbildung.
4. Unican. Geschichte des Konzepts des Integrals. Wiederhergestellt von: Repository.Unican.Ist
5. Uis. Riemann Summen. Erholt von: Mathematik.Uis.Edu.CO
6. Wikipedia. Bereich. Geborgen von: ist.Wikipedia.com