Messungen der zentralen Tendenz für gruppierte Datenformeln, Übungen

Der Trendmaßnahmen zentral Sie geben den Wert an, um den sich die Daten einer Verteilung befinden. Am bekanntesten ist der durchschnittliche oder arithmetische Durchschnitt, der darin besteht, alle Werte hinzuzufügen und das Ergebnis durch die Gesamtzahl der Daten zu teilen.

Wenn die Verteilung jedoch aus einer großen Anzahl von Werten besteht und nicht ordentlich dargestellt wird, ist es nicht einfach, die erforderlichen Berechnungen durchzuführen, um die wertvollen Informationen zu extrahieren, die sie enthalten.

Abbildung 1. Zentrale Tendenzmessungen für gruppierte Daten sind ein guter Hinweis auf das allgemeine Datenverhalten

Deshalb werden sie in Klassen oder Kategorien eingeteilt, um a zu erarbeiten Verteilung von Frequenzen. Durch die Durchführung dieser vorherigen Reihenfolge der Daten ist es einfacher, die zentralen Tendenzmaßnahmen zu berechnen, darunter:

-Halb

-Median

-Mode

-Geometrisches Mittelwert

-Harmonische Mittel

Formeln

Im Folgenden haben wir die Formeln der zentralen Tendenzmaßnahmen für die gruppierten Daten:

Arithmetischer Durchschnitt

Der Durchschnitt wird am häufigsten verwendet, um quantitative Daten (numerische Werte) zu charakterisieren, obwohl er gegenüber den Extremverteilungswerten ziemlich empfindlich ist. Es wird berechnet durch:

Mit:

-X: Durchschnittliche oder durchschnittliche Arithmetik

-F_Yo: Klassenfrequenz

-M_Yo: Die Klassenmarke

-G: Klassennummer

-N: Gesamtdaten

Median

Um es zu berechnen, ist es notwendig, das Intervall zu finden, das die Beobachtung n/2 und interpolar enthält, um den numerischen Wert dieser Beobachtung mithilfe der folgenden Formel zu bestimmen:

Wo:

-C: Intervallbreite, zu der der Median gehört

-B_M: Untere Grenze des Intervalls

-F_M: Anzahl der im Intervall enthaltenen Beobachtungen

-N/2: Gesamtdaten geteilt durch 2.

-F_BM: Anzahl der Beobachtungen vor dem Intervall, das den Median enthält.

Daher ist der Median eine Positionsmaßnahme, dh den Datensatz in zwei Teile unterteilt. Sie können auch definiert werden Quartile, Deciles Und Perzentile, das unterteilt die Verteilung in vier, zehn und einhundert Teile.

Kann Ihnen dienen: Fourier -Transformation: Eigenschaften, Anwendungen, Beispiele

Mode

In den gruppierten Daten wird die Klasse oder Kategorie, die die meisten Beobachtungen enthält, gesucht. Dies ist das Modellklasse. Eine Verteilung kann zwei oder mehr Moden haben, in diesem Fall heißt sie bimodal Und Multimodal, bzw.

Sie können die Mode auch in gruppierten Daten nach der Gleichung berechnen:

Mit:

-L₁: Untergrenze der Klasse, in der Mode ist

-Δ₁: Es bleibt zwischen der Häufigkeit der modalen Klasse und der Häufigkeit der Klasse, die ihr vorausgeht.

-Δ₂: Subtrahieren Sie zwischen der Häufigkeit der modalen Klasse und der Häufigkeit der folgenden Klasse.

-C: Intervallbreite mit Mode enthalten

Harmonische Mittel

Der harmonische Mittelwert wird durch H bezeichnet. Wenn Sie einen Satz von haben N Werte x₁, X₂, X₃…, Der harmonische Mittelwert ist der inverse oder gegenseitige des arithmetischen Mittelwerts der Umkehrung der Werte.

Es ist einfacher, es durch die Formel zu sehen:

Und wenn die gruppierten Daten vorhanden sind, wird der Ausdruck in Folgendes umgewandelt:

Wo:

-H: Harmonischer Durchschnitt

-F_Yo: Klassenfrequenz

-M_Yo: Klassenmarke

-G: Klassennummer

-N = f₁ + F₂ + F₃ +..

Geometrisches Mittelwert

Wenn Sie haben N Positive Zahlen x₁, X₂, X₃… Der geometrische Mittelwert wird durch das N-ere-Produkt aller Zahlen berechnet:

Bei den gruppierten Daten kann gezeigt werden, dass der Dezimal -Logarithmus des geometrischen durchschnittlichen Protokolls G angegeben wird durch:

Wo:

-G: Geometrisches Mittelwert

-F_Yo: Klassenfrequenz

-M_Yo: Die Klassenmarke

-G: Klassennummer

-N = f₁ + F₂ + F₃ +..

Beziehung zwischen H, G und X

Es ist immer wahr, dass:

H ≤ g ≤ x

Die meisten verwendeten Definitionen

Die folgenden Definitionen sind erforderlich, um die in den vorherigen Formeln beschriebenen Werte zu finden:

Frequenz

Die Frequenz wird definiert als die Häufigkeit, mit der eine Tatsache wiederholt wird.

Bereich

Es ist der Unterschied zwischen dem Hauptfach und dem geringfügigen Wert, der in der Verteilung vorhanden ist.

Anzahl der Klassen

Um zu wissen, wie viele Klassen wir die Daten gruppieren, verwenden wir einige Kriterien, zum Beispiel Folgendes:

Kann Ihnen dienen: 17 begründete Probleme

Grenzen

Die extremen Werte jeder Klasse oder jedes Intervalls werden genannt Grenzen und jede Klasse kann beide gut definierte Grenzen haben, in diesem Fall hat sie eine untere Grenze und eine größere. Oder es kann offene Grenzen haben, wenn ein Bereich angegeben wird, zum Beispiel von Werten, die höher oder niedriger als eine bestimmte Zahl.

Klassenmarke

Es besteht einfach aus dem Mittelpunkt des Intervall.

Intervallbreite

Die Daten können in Klassen gleicher oder unterschiedlicher Größe gruppiert werden. Dies ist die Breite oder Amplitude. Die erste Option ist die am häufigsten verwendete, da sie die Berechnungen erleichtert, obwohl es in einigen Fällen unerlässlich ist, dass Klassen eine andere Breite haben.

Die Breite C Aus dem Intervall kann es durch die folgende Formel bestimmt werden:

C = Bereich / n_C

Wo_C Es ist die Anzahl der Klassen.

Übung gelöst

Im Folgenden haben wir eine Reihe von Geschwindigkeitsmessungen in km/h mit Radar, die 50 Autos entsprechen, die durch eine Straße in einer bestimmten Stadt fuhren:

Figur 2. Tabelle für die Übung gelöst. Quelle: f. Zapata.

Lösung

Die vorgestellten Daten sind nicht organisiert. Der erste Schritt besteht darin, sie in Klassen zu gruppieren.

Schritte, um die Daten zu gruppieren und die Tabelle zu erstellen

Schritt 1

Finden Sie den Bereich R:

R = (52 - 16) km/h = 36 km/h

Schritt 2

Wählen Sie die Anzahl der Klassen n_C, Nach den angegebenen Kriterien. Da es 50 Daten gibt, können wir n wählen_C = 6.

Schritt 3

Berechnen Sie die Breite C des Intervalls:

C = Bereich /n_C = 36/6 = 6

Schritt 4

Formularklassen und Gruppendaten wie folgt: Für die erste Klasse, die eine untere Grenze für die in der Tabelle vorhandene niedrigere Wertschicht zu diesem Wert von C = 6 hinzugefügt wird, wird die Obergrenze des erste Klasse.

Es geht auf die gleiche Weise, um den Rest der Klassen zu erstellen, wie in der folgenden Tabelle gezeigt:

Kann Ihnen dienen: Was ist eine Capicúa -Nummer?? Eigenschaften und Beispiele

Jede Frequenz entspricht einer Farbe in Abbildung 2. Auf diese Weise wird sichergestellt.

Durchschnittliche Berechnung

X = (5 x 18).5 +25 x 25.0 + 10 x 31.5 + 6 x 38.0 + 2 x 44.5 + 2 x 51.0) ÷ 50 = 29.03 km/h

Mittlere Berechnung

Der Median befindet sich in Klasse 2 der Tabelle, da es die ersten 30 Verteilungsdaten gibt.

-Intervallbreite, zu der der Median gehört: C = 6

-Unterer Grenze des Intervalls, in dem der Median ist: B_M = 22.0 km/h

-Anzahl der im Intervall f enthaltenen Beobachtungen_M = 25

-Gesamtdaten geteilt durch 2: 50/2 = 25

-Anzahl der Beobachtungen vor dem Intervall, das den Median enthält: F_BM = 5

Und die Operation ist:

Median = 22.0 + [(25-5) ÷ 25] × 6 = 26.80 km/h

Mode

Mode ist auch in Klasse 2 zu finden:

-Intervallbreite: C = 6

-Untergrenze der Klasse, in der Mode gefunden wird: l₁ = 22.0

-Subtrahieren Sie zwischen der Frequenz der modalen Klasse und der Häufigkeit der Klasse, die ihr vorausgeht: δ₁ = 25-5 = 20

-Subtrahieren Sie zwischen der Häufigkeit der modalen Klasse und der folgenden Häufigkeit der Klasse: δ₂ = 25 - 10 = 15

Mit diesen Daten ist der Vorgang:

Mode = 22.0 + [20 ÷ (20 + 15)] x6 = 25.4 km/h

Berechnung des geometrischen Mittelwerts

N = f₁ + F₂ + F₃ +... = 50

log g = (5 x log 18.5 + 25 x log 25 + 10 x log log 31.5 + 6 x log 38 + 2 × log 44.5 + 2 x log 51) /50 =

log g = 1.44916053

G = 28.13 km/h

Harmonische mittlere Berechnung

1/h = (1/50) x [(5/18).5) + (25/25) + (10/31.5) + (6/38) + (2/44.5) + (2/51)] = 0.0366

H = 27.32 km/h

Zusammenfassung der zentralen Tendenzmaßnahmen

Die Variableneinheiten sind KM/H:

-Medien: 29.03

-Median: 26.80

-Mode: 25.40

-Geometrische Medien: 28.13

-Harmonisches Mittelwert: 27.32

Verweise

1. Berenson, m. 1985. Statistiken für Verwaltung und Wirtschaftswissenschaften. Inter -American s.ZU.
2. Canavos, g. 1988. Wahrscheinlichkeit und Statistik: Anwendungen und Methoden. McGraw Hill.
3. Devore, j. 2012. Wahrscheinlichkeit und Statistik für Ingenieurwesen und Wissenschaft. 8. Auflage. Cengage.
4. Levin, r. 1988. Statistiken für Administratoren. 2. Auflage. Prentice Hall.
5. Spiegel, m. 2009. Statistiken. Schaum -Serie. 4 Ta. Auflage. McGraw Hill.
6. Behandlung von gruppierten Daten. Geborgen von: itchihuahua.Edu.mx.
7. Walpole, r. 2007. Wahrscheinlichkeit und Statistik für Ingenieurwesen und Wissenschaft. Pearson.