Kleinsten Quadrate

Wie ist die Methode der Mindestquadrate?

Die Methode von Kleinsten Quadrate Es ist eine der wichtigsten Anwendungen beim Ansatz von Funktionen. Die Idee ist, eine Kurve so zu finden. Die Funktion kann eine Linie, eine quadratische Kurve, ein Kubikum usw. sein.

Die Idee der Methode besteht darin, die Summe der Quadrate der Unterschiede in den Ordinaten (Komponente y) zwischen den von der gewählten Funktion erzeugten Punkten und den Punkten zum Datensatz zu minimieren.

Mindestquadratische Methode

Bevor wir die Methode geben, müssen wir uns zunächst klar machen, was "es besser nähert", dass sie sich nähert ". Angenommen, eine Linie wird gefragt y = b+mx, die diejenige ist, die am besten einen Satz von n Punkten darstellt, nämlich (x1, y1), (x2, y2)…, (xn, yn).

Wie in der vorherigen Abbildung gezeigt, wäre der entsprechende Wert von y für x = x1, wenn die Variablen x und y durch die Zeile y = b+mx verwandt wären, b+mx1 für x = x1. Dieser Wert unterscheidet sich jedoch vom wahren Wert von y, der y = y1 ist.

Denken Sie daran, dass in der Ebene der Abstand zwischen zwei Punkten durch die folgende Formel angegeben ist:

In diesem Sinne, um zu bestimmen, wie die Zeile y = b+mx ausgewählt wird, die sich den angegebenen Daten am besten nähert, klingt es logisch, die Auswahl der Linie zu verwenden und die Linie.

Da der Abstand zwischen den Punkten (x1, y1) und (x1, b+mx1) y1- (b+mx1) ist, wird unser Problem auf die Suche nach den Zahlen M und B reduziert, so dass die nächste Summe minimal ist:

Kann Ihnen dienen: grüner Theorem, Demonstration, Anwendungen und Übungen

Die Linie, die diesen Zustand erfüllt, wird als "Ansatz zur Linie der Mindestquadrate zu den Punkten (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)" bezeichnet.

Sobald das Problem erhalten ist, bleibt es nur noch, eine Methode zu wählen, um den Ansatz durch Mindestquadrate zu finden. Wenn die Punkte (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) alle auf der Linie y = mx+b sind, müssten wir kolineal sein und:

In diesem Ausdruck:

Schließlich, wenn die Punkte nicht kolineal sind, dann kann y-au = 0 und das Problem kann dazu führen, dass ein Vektor oder der euklidische Standard minimal ist.

Finden des minimierenden Vektors oder ist nicht so schwierig, wie Sie denken könnten. As A ist eine NX2 und U -Matrix ist eine 2 × 1 -Matrix, wir haben, dass der Au -Vektor ein Vektor in R ist^N und gehört zum Bild von a, das ein Unterraum von r ist^N Mit einer Dimension nicht mehr als zwei.

Wir werden annehmen, dass n = 3, um zu zeigen, was das Verfahren ist, das befolgt werden muss. Wenn n = 3 ist, ist das Bild eines As eine Ebene oder eine Linie, die durch den Ursprung fließt.

Lassen Sie v den Vektor minimieren. In der Abbildung stellen wir fest, dass y-au minimiert ist, wenn es orthogonal zum Bild von a ist. Das heißt, wenn V der minimierende Vektor ist, dann kommt es vor, dass:

Dann können wir das oben auf diese Weise ausdrücken:

Dies kann nur passieren, wenn:

Schließlich müssen wir: Wir müssen: Wir müssen:

Dies ist seitdem möglich, dies zu tun^TA ist invertierbar, wenn die Npunkte als Daten nicht kolineal sind.

Wenn wir nun, anstatt nach einer Zeile zu suchen²) Dass es eine bessere Annäherung an die Datenpunkte war, würde das Verfahren nachstehend beschrieben.

Kann Ihnen dienen: ganze Zahlen

Wenn die Datenpunkte in diesem Gleichnis wären, müsste dies:

Dann:

Ebenso können wir y = au schreiben. Wenn nicht alle Punkte im Gleichnis sind, haben wir, dass sich Y-Au von Null für einen Vektor u unterscheidet und unser Problem erneut ist: Finden Sie einen Vektor u in R3, so dass seine Norm || y-au || so viel wie möglich sein.

Wenn wir die vorherige Prozedur wiederholen, können wir zu dem gewünschten Vektor gelangen, ist:

Gelöste Übungen

Übung 1

Finden Sie die Linie, die den Punkten (1,4), (-2,5), (3, -1) und (4.1) am besten entspricht, und (4,1).

Lösung

Wir müssen:

Dann:

Daher schließen wir, dass die Linie, die den Punkten am besten entspricht, angegeben wird:

Übung 2

Angenommen, ein Objekt wird aus einer Höhe von 200 m fallen gelassen. Während des Sturzes werden die folgenden Maßnahmen ergriffen:

Wir wissen, dass die Höhe dieses Objekts nach Ablauf einer Zeit gegeben ist, wenn:

Wenn wir den Wert von G erhalten möchten, können wir nach einem Gleichnis suchen, der ein besserer Ansatz für die fünf Punkte in der Tabelle ist, und so hätten wir den Koeffizienten, der mit T begleitet wird² Es wird ein vernünftiger Ansatz für (-1/2) g sein, wenn die Messungen genau sind.

Wir müssen:

Und dann:

Daher werden die Datenpunkte durch den folgenden quadratischen Ausdruck angepasst:

Also musst du:

Dies ist ein Wert, der einigermaßen nahe an der richtigen ist, dh g = 9,81 m/s². Um ein genaueres G von G zu erhalten, wäre es notwendig, genauere Beobachtungen zu beginnen.

Was ist die minimale Quadratmethode für?

In den Problemen, die in natürlichen oder sozialen Wissenschaften auftreten, ist es zweckmäßig, die Beziehungen zwischen verschiedenen Variablen durch einen mathematischen Ausdruck zu schreiben.

Kann Ihnen dienen: proportionale Variation

Zum Beispiel können wir die Kosten (c), das Einkommen (i) und die Gewinne (u) durch eine einfache Formel beziehen:

In der Physik können wir die durch die Schwerkraft verursachte Beschleunigung, die Zeit, in der ein Objekt gefallen ist, und die Höhe des Objekts gesetzlich in Verbindung bringen:

Im vorherigen Ausdruck s s_entweder Es ist die anfängliche Höhe des Objekts und v_entweder ist Ihre ursprüngliche Geschwindigkeit.

Das Finden von Formeln wie diese ist jedoch keine einfache Aufgabe. Es entspricht normalerweise dem Fachmann, der mit vielen Daten arbeitet und wiederholt mehrere Experimente durchführt (um zu überprüfen, ob die erhaltenen Ergebnisse konstant sind), um Beziehungen zwischen den verschiedenen Daten zu finden.

Eine häufige Möglichkeit, dies zu erreichen.

Eine Möglichkeit, die Funktion zu finden, die die angegebenen Daten "besser nähert".

Darüber hinaus können wir dank dieser Methode, wie wir auch in der Übung gesehen haben.