Inertia -Formeln, Gleichungen und Beispiele für die Berechnung

Er Trägheitsmoment Aus einem starren Körper in Bezug auf eine bestimmte Rotationsachse stellt es seinen Widerstand dar, seine Winkelgeschwindigkeit um diese Achse zu ändern. Es ist proportional zur Masse und auch zur Position der Rotationsachse, da der Körper gemäß seiner Geometrie leichter um bestimmte Achsen drehen kann als in anderen.

Nehmen wir an, ein umfangreiches Objekt (bestehend aus vielen Partikeln), das sich um eine Achse drehen kann. Angenommen, eine Kraft wirkt F, tangential auf das Massenelement angewendet ΔM_Yo, das erzeugt ein Drehmoment oder ein Moment, das von gegeben ist τ_Netz = ∑R_Yo X F_Yo. Der Vektor R_Yo Es ist die Position von ΔM_Yo (Siehe Abbildung 2).

Abbildung 1. Trägheitsmomente mehrerer Figuren. Quelle: Wikimedia Commons.

Dieser Moment ist senkrecht zur Rotationsebene (Adresse +K = Papier lassen). Da die Stärke und die radiale Position immer senkrecht sind, bleibt das Kreuzprodukt:

τ_Netz = ∑ f_Yo R_Yo k = ∑ (δm_Yo Zu_Yo) R_Yo  k = ∑ Δm_Yo (Zu_Yo R_Yo ) k

Figur 2. Ein Teilchen, das zu einem starren Feststoff in der Rotation gehört. Quelle: Serway, r. 2018. Physik für Wissenschaft und Ingenieurwesen. Band 1. Cengage Lernen.

Beschleunigung a_Yo repräsentiert die tangentiale Komponente der Beschleunigung, da die radiale Beschleunigung nicht zum Drehmoment beiträgt. Abhängig von der Winkelbeschleunigung α können wir darauf hinweisen:

Zu_Yo = α r_Yo

Daher ist das Netto -Drehmoment wie folgt:

τ_Netz = ∑ Δm_Yo (α r_Yo²) K = (∑ R_Yo² ΔM_Yo) α k

Winkelbeschleunigung α ist für das gesamte Objekt gleich. Daher wird es nicht vom Index "I" beeinflusst und kann die Summe verlassen, was genau der Trägheitsmoment des symbolisierten Objekts mit dem Buchstaben I ist:

I = ∑ r_Yo² ΔM_Yo

Dies ist der Trägheitsmoment einer diskreten Massenverteilung. Wenn die Verteilung kontinuierlich ist, wird die Summe durch ein integrales und ersetzt und ΔM wird ein Massendifferential DM. Das Integral wird vor allem das Objekt gemacht:

I = ∫_M(R²) Dm

Die Einheiten des Trägheitsmoments im internationalen System, wenn sie kg x m sind². Es ist eine skalare und positive Menge, da es das Produkt eines Teigs durch das Quadrat einer Entfernung ist.

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Beispiele für die Berechnung

Ein erweitertes Objekt wie eine Bar, eine Scheibe, eine Kugel oder andere, deren Dichte ρ Es ist konstant und zu wissen, dass die Dichte der Massenvolumenquotient ist, das Massendifferential DM Es ist geschrieben als:

ρ = dm/dv → dm = ρDv

Wir ersetzen im Integral für den Trägheitsmoment und haben: Wir haben:

I = ∫r² ρdv = ρ ∫r²Dv

Dies ist ein allgemeiner Ausdruck, der für ein dreidimensionales Objekt gültig ist, dessen Volumen V und Position R Sie sind Funktionen von Weltraumkoordinaten X, Und Und z. Beachten Sie, dass die Dichte konstant ist, die nicht integriert ist.

Die Dichte ρ Es ist auch als volumetrische Dichte bekannt, aber wenn das Objekt sehr flach ist, können wir sehen:

Kann Ihnen dienen: Erdrotationsbewegung

- Für ein sehr feines Blatt ist die zu verwendende Dichte σ, die Oberflächendichte (Masse pro Fläche der Einheit) und gibt ist der Bereich Differential.

- Und wenn es sich um einen dünnen Balken handelt, bei dem nur die Länge relevant ist, wird eine lineare Massendichte verwendet λ und eine Längedifferential nach der Achse als Referenz.

In den folgenden Beispielen gelten alle Objekte als starr (nicht verformbar) und haben eine gleichmäßige Dichte.

Trägheitsmoment eines dünnen Balkens in Bezug auf eine Achse, die durch ihre Mitte fließt

Hier berechnen wir den Trägheitsmoment eines dünnen, starren, homogenen Stab.

Erstens ist es notwendig, ein Koordinatensystem festzulegen und eine Figur mit angemessener Geometrie wie folgt zu erstellen:

Figur 3. Geometrie zur Berechnung des Trägheitsmoments eines dünnen Stabes in Bezug auf eine vertikale Achse, die durch seine Mitte geht. Quelle: f. Zapata.

Er wurde ausgewählt X Achse entlang der Bar und der Achse y als Rotationsachse. Das Verfahren zur Festlegung von Integral erfordert auch die Auswahl eines Massenunterschieds an der Stange, genannt DM, das hat eine unterschiedliche Länge Dx und befindet sich in der Position X willkürlich in Bezug auf das Zentrum x = 0.

Nach der Definition der linearen Massendichte λ:

λ = m/l

Wenn die Dichte einheitlich ist, was für M und L gültig ist, ist sie auch für DM und DX:

λ = dm/dx → dm = λdx.

Andererseits ist das Massenelement in Position X, Wenn wir diese Geometrie in der Definition ersetzen, haben wir dann ein definitives Integral, dessen Grenzen die Extreme des Balkens gemäß dem Koordinatensystem sind:

Ersetzen der linearen Dichte λ = m/l:

Um den Trägheitsmoment der Stange in Bezug auf eine andere Rotationsachse zu finden, beispielsweise eine, die durch eines seiner Enden fließt, können Sie den Steiner -Theorem verwenden (siehe Übung am Ende aufgelöst) oder eine direkte Berechnung durchführen, die dem ähnlich ist hier gezeigt, aber ordnungsgemäß geometriert die Geometrie.

Trägheitsmoment eines Albums in Bezug auf eine Achse, die durch sein Zentrum fließt

Ein sehr dünnes Album von Despicable Dicke ist eine flache Figur. Wenn der Teig gleichmäßig im Bereich A verteilt ist, ist die Massendichte σ:

σ = M/a

Soviel DM als gibt entsprechen der Masse und der Fläche des in der Abbildung gezeigten Differentialrings. Wir werden annehmen, dass sich das gesamte Satz um die Achse dreht und.

Sie können sich vorstellen, dass das Album komponiert ist, dass viele Radio -konzentrische Ringe R, jeder mit ihrem jeweiligen Trägheitsmoment. Hinzufügen der Beiträge aller Ringe, bis Sie das Radio erreichen R, Sie werden die gesamte Trägheit des Albums haben.

σ = dm/da → dm = σgibt

Figur 4. Geometrie zur Berechnung des Trägheitsmoments eines Albums in Bezug auf die axiale Achse. Quelle: f. Zapata.

Wo m den gesamten Teig des Albums repräsentiert. Der Bereich eines Albums hängt von seinem Radius R ab als:

Kann Ihnen dienen: Geschwindigkeit der Ausbreitung einer Welle

A = π.R²

Über R: abgeleitet:

Da /dr = 2 = 2π.R → da = 2π.RDR

Ersetzen des oben genannten in der Definition von i:

Nach der Bewertung der integralen Ergebnisse:

Ersetzen von σ = m/(π.R² ) bleibt übrig:

Trägheitsmoment einer soliden Kugel in Bezug auf einen Durchmesser

Ein Radius -R -Kugel kann als eine Reihe gestapelter Discs übereinander angesehen werden, wo jedes unendlich infinitesimale Massenalbum DM, Radio R und Dicke DZ, Es hat einen Moment der Trägheit von:

gab_Scheibe = (½) r²DM

Um dieses Differential zu finden, wurde die Formel des vorherigen Abschnitts einfach genommen und ersetzt M Und R von DM Und R, bzw. Ein Album wie dieses ist in der Geometrie von Abbildung 5 zu sehen.

Abbildung 5. Geometrie zur Berechnung des Trägheitsmoments einer festen Radiuskugel in Bezug auf eine Achse, die durch einen Durchmesser fließt. Quelle: f. Zapata.

Indem alle Momente infinitesimaler Trägheit gestapelter Scheiben hinzugefügt werden, wird der Moment der gesamten Trägheit der Kugel erhalten:

Yo_Kugel = ∫di_Scheibe

Das entspricht:

I = ∫_Kugel (½) r²DM

Um das Integral zu lösen, müssen Sie ausdrücken DM richtig. Wie immer wird es aus der Dichte erreicht:

ρ = m/v = dm/dv → dm = ρ.Dv

Das Volumen einer Differentialscheibe ist:

DV = Basisfläche x Höhe

Die Höhe des Albums ist die Dicke DZ, Während der Basisbereich ist πr², Deshalb:

DV = πr²DZ

Und das Ersetzen in den integrierten Aussagen wäre Folgendes:

I = ∫_Kugel(½) r²Dm = ∫ (½) r²(ρπr²Dz)

Aber vor der Integration muss es müssen. Durch den Pythagoras -Theorem:

R² = r² + z² → R² = R² - z²

 Das führt uns zu:

I = ∫_Kugel(½) ρ r²(πr²dz) = ∫_Kugel(½) ρ π r⁴DZ= ∫_Kugel(½) ρ π (r² - z²)² DZ

Um die gesamte Sphäre zu integrieren, stellen wir fest, dass Z zwischen -R und R variiert, deshalb:

Wissend, dass ρ = m/v = m/[(4/3) πr³] Schließlich wird es nach Vereinfachung erhalten:

Trägheitsmoment eines festen Zylinders in Bezug auf die axiale Achse

Für dieses Objekt ist eine Methode, die der für die Kugel verwendete Methode ähnelt, nur diesmal einfacher, wenn der Zylinder für Funkzylindrische Schalen vorgestellt wird R, Dicke DR und Größe H, Als ob sie die Schichten einer Zwiebel wären.

Abbildung 6. Geometrie zur Berechnung des Trägheitsmoments eines festen Radiuszylinders r Respekt auf die Axialachse. Quelle: Serway, r. 2018. Physik für Wissenschaft und Ingenieurwesen. Band 1. Cengage.

Die Lautstärke Dv einer zylindrischen Schicht ist:

DV = 2π.Rl.DR

Daher ist die Cascaron -Masse:

Kann Ihnen dienen: Mikroskopische Skala: Eigenschaften, Zählen Sie Partikel, Beispiele

Dm = ρ.Dv = ρ. 2π.R.L.DR

Dieser Ausdruck wird in der Definition des Trägheitsmoments ersetzt:

 Angesichts dessen ρ = m / (π.R²L) bleibt übrig:

Die vorherige Gleichung zeigt an, dass das Trägheitsmoment des Zylinders nicht von seiner Länge abhängt, sondern nur von seiner Masse und seinem Radius. Ja L Veränderte sich, der Trägheitsmoment in Bezug auf die axiale Achse würde weiterhin gleich sein. Aus diesem Grund, Yo des Zylinders fällt mit dem des zuvor berechneten dünnen Albums zusammen.

Trägheitsmoment eines rechteckigen Blechs in Bezug auf eine Achse, die durch ihre Mitte fließt

Der Achse y Horizontal wie eine Rotationsachse. Die folgende Abbildung zeigt die notwendige Geometrie zur Durchführung der Integration:

Abbildung 7. Geometrie zur Berechnung des Trägheitsmoment. Quelle: f. Zapata.

Das rot angegebene Flächenelement ist rechteckig. Seine Fläche ist die Basis x Höhe, deshalb:

da = a.DZ

Daher ist das Massenunterschied:

Dm = σ.da = σ.(Zu.Dz)

Was den Abstand des Flächenelements zur Rotationsachse betrifft, ist es immer immer z. Wir ersetzen das alles im Integral des Trägheitsmoments:

Jetzt wird die Oberflächenmassendichte σ ersetzt durch:

σ = m/ab

Und es ist definitiv so:

Beachten Sie, dass es wie das der dünnen Balken ist.

Trägheitsmoment eines quadratischen Blattes in Bezug auf eine Achse, die durch ihre Mitte führt

Für ein Quadrat an der Seite L, Im vorherigen Ausdruck gültig für ein Rechteck, den Wert von B durch den einen L:

Theoreme des Trägheitsmoments

Es gibt zwei besonders nützliche Theoreme, um die Berechnung von Trägheitsmomenten in Bezug auf andere Achsen zu vereinfachen, die ansonsten kompliziert sein könnten, um den Mangel an Symmetrie zu finden. Diese Theoreme sind:

Steiners Theorem

Auch genannt Parallelachse Theorem, bezieht den Trägheitsmoment in Bezug auf eine Achse mit einer anderen, die durch den Massenzentrum des Objekts fließt, solange die Achsen parallel sind. Um es anzuwenden, muss der Abstand D zwischen den beiden Achsen und natürlich der Masse des Objekts bekannt sein.

Sei Yo_z der Trägheitsmoment eines erweiterten Objekts in Bezug auf Z, ich Achse_Cm Der Moment der Trägheit in Bezug auf eine Achse, die durch das Massenzentrum (cm) des Objekts fließt, wird dann erfüllt, dass:

Yo_z = I_Cm + Md²

Oder in der Notation der folgenden Abbildung: Yo_{z '} = I_z + Md²

Abbildung 8. Steiner -Theorem oder Parallelachsen. Quelle: Wikimedia Commons. Jack Siehe [CC BY-SA (https: // creevecommons.Org/lizenzen/by-sa/3.0)]]

Senkrechter Achsen -Theorem

Dieser Satz gilt für flache Oberflächen und sagt: Der Trägheitsmoment eines flachen Objekts um eine Achse senkrecht zu ihm ist die Summe der Trägheitsmomente um zwei Achsen senkrecht zur ersten Achse:

Yo_z = I_X + Yo_Und

Abbildung 9. Senkrechter Achsen -Theorem. Quelle: f. Zapata.

Wenn das Objekt Symmetrie so hat, dass Yo_X Und Yo_Und Sie sind gleich, dann wird es erfüllt, dass:

Yo_z = 2i_X

Übung gelöst

Finden Sie den Trägheitsmoment der Stange in Bezug auf eine Achse, die durch eines seiner Enden fließt, wie in Abbildung 1 (unten und rechts) und Abbildung 10, und 10.

Abbildung 10. Trägheitsmoment einer homogenen Stange um eine Achse, die durch ein Ende fließt. Quelle: f. Zapata.

Lösung:

Wir haben bereits den Trägheitsmoment der Bar um eine Achse, die durch sein geometrisches Zentrum fließt. Da die Messlatte homogen ist, liegt ihr Massenzentrum an diesem Punkt, so dass dies uns sein wird Yo_Cm Steiners Theorem aufzutragen.

Wenn die Länge der Stange ist L, Die Z -Achse befindet sich in einem Abstand d = l/2, deshalb:

Yo_z = I_Cm + Md²= (1/12) ml²+M (l/2)²= (1/3) ml²

Verweise

1. Bauer, w. 2011. Physik für Ingenieurwesen und Wissenschaften. Band 1. Mc Graw Hill. 313-340
2. Rex, a. 2011. Grundlagen der Physik. Pearson. 190-200.
3. Parallelachse Theorem. Erholt von: Hyperphysik.Phy-astr.GSU.Edu.
4. Serway, r. 2018. Physik für Wissenschaft und Ingenieurwesen. Band 1. Cengage.
5. Sevilla University. Trägheitsmoment der kugelförmigen Feststoffe. Erholt von: Laplace.uns.Ist.
6. Sevilla University. Trägheitsmoment eines Teilchensystems. Erholt von: Laplace.uns.Ist.
7. Wikipedia. Parallelachse Theorem. Abgerufen von: in.Wikipedia.Org