Axiomatische Methode

Was ist die axiomatische Methode??

Er Axiomatische Methode Es ist ein formales Verfahren, das von der Wissenschaft verwendet wird, durch die Aussagen oder Aussagen, die als Axiome bezeichnet werden, formuliert, durch eine Selbstbehaltbarkeitsbeziehung miteinander verbunden sind und die Grundlage der Hypothesen oder Bedingungen eines bestimmten Systems sind.

Diese allgemeine Definition muss innerhalb der Entwicklung, die diese Methodik im Laufe der Geschichte hatte. Erstens gibt es eine alte oder inhaltliche Methode, die im alten Griechenland aus Euklid geboren und dann von Aristoteles entwickelt wurde.

Zweitens, bereits im neunzehnten Jahrhundert das Erscheinen einer Geometrie mit anderen Axiomen als denen von Euklid. Und schließlich die formale oder moderne axiomatische Methode, deren maximaler Exponent David Hilbert war.

Über seine Entwicklung im Laufe der Zeit hinaus war dieses Verfahren die Grundlage für die deduktive Methode unter Verwendung der Geometrie und Logik, auf der sie stammt. Es wurde auch in Physik, Chemie und Biologie verwendet.

Und sogar in Rechtswissenschaft, Soziologie und politischer Ökonomie angewendet. Derzeit ist die wichtigste Anwendungskollegin die Mathematik und die symbolische Logik sowie einige Zweige der Physik wie Thermodynamik, Mechanik, unter anderem Disziplinen.

Eigenschaften der axiomatischen Methode

Während das grundlegende Merkmal dieser Methode die Formulierung von Axiomen ist, wurden diese nicht immer auf die gleiche Weise berücksichtigt.

Es gibt einige, die definiert und willkürlich aufbauen können. Und andere nach einem Modell, in dem seine intuitiv garantierte Wahrheit berücksichtigt wird.

Um ausdrücklich zu verstehen, aus welchem ​​Unterschied und seiner Konsequenzen es besteht.

Alte oder inhalts axiomatische Methode 

Wird im alten Griechenland in Richtung des 5. Jahrhunderts etabliert.C. Sein Anwendungsbereich ist die Geometrie. Die grundlegende Arbeit dieser Phase sind die Elemente von Euklid, obwohl es in Betracht gezogen wird, dass Pythagoras vor ihm bereits die axiomatische Methode zur Welt gebracht hatten.

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So nehmen die Griechen bestimmte Tatsachen als Axiome an, ohne dass logische Beweise erforderlich sind, dh ohne Demonstration erforderlich, da sie für sie eine offensichtliche Wahrheit für sich sind.

Euclid für seinen Teil präsentiert fünf Axiome für die Geometrie:

1. Würfel zwei Punkte Es gibt eine Linie, die sie enthält oder vereint.
2. Jedes Segment kann auf beiden Seiten kontinuierlich auf einer unbegrenzten Linie erweitert werden.
3. Sie können einen Umfang zeichnen, der überall ein Zentrum und einen Radius hat.
4. Gerade Winkel sind alle gleich.
5. Wenn Sie eine geraden Linie und einen Punkt, der nicht darin liegt. Dieses Axiom ist später als Axiom von Parallelen bekannt und wurde auch als externer Punkt zu einer Linie angegeben, können Sie eine einzelne Parallele zeichnen.

Sowohl euklid als auch spätere Mathematiker sind sich jedoch einig, dass das fünfte Axiom intuitiv nicht so klar ist wie die anderen 4. Auch während der Renaissance versucht es, das Fünftel der anderen 4 abzuleiten, aber es ist nicht möglich.

Dies verursachte, dass im neunzehnten Jahrhundert, der die fünf behaupteten, Anhänger der euklidischen Geometrie und diejenigen, die die fünften bestritten hatten, diejenigen, die die nicht -eklidischen Geometrien schufen.

Nicht -euklidische axiomatische

Sie sind genau Nikolai Ivánovich Lobachevski, János Bolyai und Johann Karl Friedrich Gauß, die die Möglichkeit des Aufbaus ohne Widerspruch sehen, eine Geometrie, die von anderen Axiom -Systemen als denen von Eukliden stammt. Dies zerstört den Glauben an die absolute oder priori -Wahrheit der Axiome und der Theorien, die von ihnen stammen.

Daher werden Axiome als Ausgangspunkte einer bestimmten Theorie konzipiert. Auch Ihre Wahl und das Problem seiner Gültigkeit auf die eine oder andere Weise, beziehen sich auf Fakten außerhalb der axiomatischen Theorie.

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Auf diese Weise erscheinen geometrische, algebraische und arithmetische Theorien, die durch die axiomatische Methode aufgebaut sind.

Diese Phase gipfelt mit der Schaffung von axiomatischen Arithmetiksystemen wie Giuseppe Peano im Jahr 1891; David Huberts Geometrie im Jahr 1899; Alfred North Whitehead und Bertrand Russells Prädikataussagen in England im Jahr 1910; Die axiomatische Theorie von Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo setzt 1908 ein.

Moderne oder formale axiomatische Methode

Es ist David Hubert, der mit der Vorstellung einer formalen axiomatischen Methode beginnt und zu ihrem Höhepunkt David Hilbert führt.

Es ist genau Hilbert, der die wissenschaftliche Sprache formalisiert und ihre Aussagen als Formeln betrachtet oder Sequenzen unterzeichnet, die an sich keine Bedeutung haben. Sie erwerben nur eine Bedeutung in einer bestimmten Interpretation.

In "Die Grundlagen der GeometrieErklären Sie das erste Beispiel dieser Methodik. Von hier aus wird die Geometrie zu einer Wissenschaft reiner logischer Konsequenzen, die aus einer Hypothese oder einem Axiome -System extrahiert werden, besser artikuliert als das euklidische System.

Dies liegt daran, dass in der axiomatischen Theorie des alten Systems auf den Beweisen von Axiomen beruht. In der Grundlage der formalen Theorie wird es durch die Demonstration der Nichtkontrollierung seiner Axiome gegeben.

Schritte der axiomatischen Methode

Das Verfahren, das eine axiomatische Strukturierung innerhalb wissenschaftlicher Theorien durchführt, erkennt:

• A-die Wahl einer bestimmten Menge an Axiomen, dh eine Reihe von Sätzen einer bestimmten Theorie, die akzeptiert werden, ohne demonstriert zu werden.
• B-Die Konzepte, die Teil dieser Aussagen sind.
• C.
• D.

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Beispiele

Diese Methode kann durch die Demonstration der beiden bekanntesten Euklid -Theoreme verifiziert werden: der Kategorie -Theorem und der Höhe.

Beide entstehen aus der Beobachtung dieses griechischen Geometer. Diese Dreiecke ähneln einander und gleichzeitig mit dem Herkunftsdreieck. Dies bedeutet, dass ihre jeweiligen Homologen proportional sind.

Es ist ersichtlich, dass die kongruenten Winkel in den Dreiecken auf diese Weise die Ähnlichkeit zwischen den drei Dreiecken bestehen, die gemäß den AAA -Ähnlichkeitskriterien beteiligt sind. Dieses Kriterium argumentiert, dass, wenn zwei Dreiecke alle ihre gleichen Winkel haben, ähnlich sind.

Sobald gezeigt wird, dass die Dreiecke ähnlich sind, können die im ersten Satz angegebenen Anteile festgestellt werden. Die gleichen Staaten, in denen in einem Rechteckdreieck das Maß für jedes Kateto ein mittlerer geometrischer Proportional zwischen der Hypotenuse und der Projektion des Katetos ist.

Der zweite Satz ist die Höhe. Es gibt an, dass jedes Rechteck -Dreieck die Höhe, die gemäß der Hypotenuse gezogen wird.

Natürlich haben beide Theoreme zahlreiche Anwendungen weltweit nicht nur im Bereich des Lehrens, sondern auch in Engineering, Physik, Chemie und Astronomie.