Euler -Methode für die Verwendung von Verfahren und Übungen

Er Euler -Methode Es ist die grundlegendste und einfachste der Verfahren, die zur Suche nach ungefähren numerischen Lösungen zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung verwendet werden, vorausgesetzt, seine Anfangsbedingung ist bekannt.

Eine gewöhnliche Differentialgleichung (EDO) ist die Gleichung, die eine unbekannte Funktion einer einzelnen unabhängigen Variablen mit ihren Derivaten bezieht.

Aufeinanderfolgende Ansätze nach Eulers Methode. Quelle: Oleg Alexandrov [Public Domain]

Wenn das größte Derivat, das in der Gleichung auftritt.

Die allgemeinste Art, eine Gleichung ersten Grades zu schreiben, ist:

mit der Anfangsbedingung:

x = x₀

y = y₀

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Was ist Eulers Methode?

Die Idee der Euler -Methode besteht darin, eine numerische Lösung für die Differentialgleichung im Intervall zwischen x zu finden₀ und x_F .

Erstens ist das Intervall in N+1 Punkten nicht zustimmen:

X₀, X₁, X₂, X₃…, X_N

Die so erhalten werden:
X_Yo= x₀+ICH H

Wobei H die Breite oder den Schritt des Subintervals ist:

Je größer die Zahl n Das Ergebnis ist genauer, aber es wird eine größere Anzahl von Punkten benötigt, um das Intervall abzudecken, in dem wir nach der Lösung suchen und die Rechenzeit wächst.

Bei der Anfangsbedingung ist es auch möglich, das Ableitungen am Anfang zu kennen:

und '(x_entweder) = f (x_entweder, Und_entweder)

Diese Ableitung repräsentiert die Steigung der Linie Tangente zur Funktionskurve y (x) genau am Punkt:

Ao = (x_entweder, Und_entweder)

Anschließend erfolgt eine ungefähre Vorhersage des Wertes der Funktion y (x) am folgenden Punkt:

und (x₁) ≈ und₁

Und_1 = Und_entweder +(X₁- X_entweder) f (x_entweder, Und_entweder) = y_{entweder +} H f (x_entweder, Und_entweder)

Der nächste ungefähre Punkt der Lösung, der entsprechen würde:

ZU₁ = (x₁, Und₁)

Die Prozedur wird wiederholt, um die aufeinanderfolgenden Punkte zu erhalten

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ZU₂, ZU₃…, X_N

In der am Anfang gezeigten Abbildung repräsentiert die blaue Kurve die genaue Lösung der Differentialgleichung, und die rote repräsentiert die aufeinanderfolgenden ungefähren Punkte, die durch das Euler -Verfahren erhalten wurden.

Übung 1

Yo) Sei die Differentialgleichung:

Mit der Anfangsbedingung x = a = 0; Und_Zu= 1

Erhalten Sie durch die Euler -Methode eine ungefähre Lösung von Und In Koordinate x = b = 0.5, unterteilt das Intervall [a, b] bei n = 5 Teilen.

Lösung

Wo der Schluss gezogen wird, dass die Lösung und für Wert 0.5 ist 1.4851.

Hinweis: Zur Erkenntnis der Berechnungen wurde sie verwendet Smath Studio, Kostenloses kostenloses Gebrauchsprogramm.

Übung 2

Ii) Weiter mit der Differentialgleichung von Übung I), finden Sie die genaue Lösung und vergleichen Sie sie mit dem von der Euler -Methode erhaltenen Ergebnis. Ermitteln Sie den Fehler oder die Differenz zwischen dem genauen Ergebnis und dem ungefähren ungefähren.

Lösung

Mit der Anfangsbedingung x = a = 0; Und_Zu= 1
Die genaue Lösung ist nicht sehr schwer zu finden. Es ist bekannt, dass die Ableitung der SEN (x) -Funktion die COS (x) -Funktion ist. Daher ist die Lösung y (x):

und (x) = sin x + c

Um den Anfangszustand und (0) = 1 zu erfüllen, muss die Konstante C 1 wert sein. Als nächstes wird das genaue Ergebnis mit dem ungefähren Vergleich:

Es wird der Schluss gezogen, dass der Ansatz im berechneten Intervall drei signifikante Genauigkeitszahlen hat.

Übung 3

III) Betrachten Sie die Differentialgleichung und ihre nachstehend angegebenen Anfangsbedingungen:

und '(x) =- y²

= 0; Und₀ = 1

und (x) .5]. Schritt verwenden .1.

Lösung

. , Ein kostenloses und kostenloses Gebrauchsprogramm.

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Drei Spalten (a, b, c) sind in der Tabelle der Abbildung dargestellt X , Und, und die dritte Spalte die Ableitung Und'.

Zeile 2 enthält die Anfangswerte von X, UND, UND' .

Der Wert des Wertes 0.1 Es wurde in die absolute Positionszelle platziert ($ D $ 4).

Der anfängliche Y0 -Wert ist in Zelle B2 und Y1 in Zelle B3. Zu berechnen und₁

Und_1 = Und_entweder +(X₁- X_{entwederentweder}, Und_entweder) = y_{entweder +} H f (x_entweder, Und_entweder)

Diese Tabellenkalkulationsformel wäre Nummer B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.

In ähnlicher Weise wäre Y2 in Zelle B4 und seine Formel ist in der folgenden Abbildung dargestellt:

Die Abbildung zeigt auch den Diagramm der genauen Lösung und die Punkte A, B, ..., p der ungefähren Lösung mittels der Euler -Methode.

. .

Newtons zweites Gesetz wird oft als sekundäre Differentialgleichung ausgedrückt:

Wo X repräsentiert im Moment die Position eines Objekts T. Dieses Objekt hat eine Masse M und ist einer Kraft ausgesetzt F. Die Funktion F Es hängt mit Stärke und Masse wie folgt zusammen:

 Obwohl die Euler -Methode im Prinzip so konzipiert wurde.

Es kann Ihnen dienen: Analytische Geometrie

Um die Euler -Methode anzuwenden, sind Anfangszeitwerte erforderlich T, Geschwindigkeit v und Position X.

Die folgende Tabelle erläutert, wie aus den Anfangswerten T1, v1, x1 eine Annäherung der V2 -Geschwindigkeit und der x2 -Position im Moment T2 = T1+Δt erhalten werden kann in der Methode von Euler.

Übung 4

Iv) Eines der grundlegenden Probleme in der Mechanik ist die eines Massenblocks, der an eine Feder (oder eine Feder) der elastischen Konstante kunden kann.

Newtons zweites Gesetz für dieses Problem wäre wie folgt:

Um zu vereinfachen, wird es in diesem Beispiel M = 1 und K = 1 genommen. Finden Sie ungefähre Lösungen für die Position X Und die Geschwindigkeit v Nach Euler -Methode im Zeitintervall [0, π/2] das Intervall in 12 Teilen unterteilt.

Nehmen Sie 0 als Anfangsmoment, Anfangsgeschwindigkeit 0 und Anfangsposition 1.

Lösung

Die numerischen Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle angezeigt:

Die Grafiken der Position und die Geschwindigkeit zwischen den Augen der Augen 0 und 1 sind ebenfalls angezeigt.44.

Vorgeschlagene Übungen für zu Hause

Übung 1

Verwenden Sie eine Tabelle, um eine ungefähre Lösung unter Verwendung der Euler -Methode für die Differentialgleichung zu bestimmen:

und '= -exp (-y) mit den Anfangsbedingungen x = 0, y = -1 im Intervall x = [0, 1]

Beginnen Sie mit einem Schritt von 0,1. Diagramm das Ergebnis.

Übung 2

Finden Sie durch Verwendung einer Tabelle numerische Lösungen in der folgenden Gleichung zweiten Grades, wobei und es eine Funktion der unabhängigen Variablen t ist.

und "= - 1/y² mit der Anfangsbedingung t = 0; y (0) = 0,5; und '(0) = 0

Finden Sie die Lösung im Intervall [0,5; 1.0] mit einem Schritt von 0,05.

Diagramm das Ergebnis: und vs t; und 'vs t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t

Verweise

1. Eurlers Methode.Entnommen aus Wikipedia.Org
2. Euler Solver. Genommen von.Smath.com