Gauß-Seidel-Methode Erläuterung, Anwendungen, Beispiele

Er Gauß-Seidel-Methode Es ist ein iteratives Verfahren, um ungefähre Lösungen für ein System linearer algebraischer Gleichungen mit willkürlich ausgewählter Präzision zu finden. Die Methode gilt für quadratische Matrizen mit nicht -null -Elementen in ihren Diagonalen und die Konvergenz ist garantiert, wenn die Matrix diagonal dominant ist.

Es wurde von Carl Friedrich Gauß (1777-1855) geschaffen, was 1823 eine private Demonstration für einen seiner Schüler vorlegte. Anschließend wurde es 1874 offiziell von Philipp Ludwig von Seidel (1821-1896) veröffentlicht, daher der Name beider Mathematiker.

Abbildung 1. Die Methode von Gauß-Seidel konvergiert schnell, um ein Gleichungssystem zu erhalten. Quelle: f. Zapata.

Für ein vollständiges Verständnis der Methode ist es notwendig zu wissen, dass eine Matrix diagonal dominant ist, wenn der absolute Wert des diagonalen Elements jeder Zeile größer oder gleich der Summe der Absolutwerte der anderen Elemente ist derselben Reihe.

Mathematisch wird es wie folgt ausgedrückt:

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Erklärung durch einen einfachen Fall

Um zu veranschaulichen, was die Gauß-Seidel-Methode ein einfacher Fall erfordert, in dem Sie die Werte von x und y im nachstehend gezeigten 2 × 2-System für lineare Gleichungen finden können:

5x + 2y = 1

X - 4y = 0

Schritte zum folgen

1- Erstens müssen Sie feststellen, ob die Konvergenz sicher ist. Es wird sofort beobachtet, dass es sich tatsächlich um ein diagonal dominantes System handelt, da in der ersten Reihe der erste Koeffizient einen größeren absoluten Wert hat als die anderen der ersten Reihe:

| 5 |> | 2 |

Ebenso ist der zweite Koeffizient der zweiten Reihe diagonal dominant:

| -4 |> | 1 |

2- Die Variablen x und y sind klar: 

X = (1 - 2y)/5

Y = x/4

3- Es wird ein anfänglicher willkürlicher Wert platziert, der als „Samen“ bezeichnet wird: xo = 1, me = 2.

4

Es kann Ihnen dienen: Schätzung durch Intervalle

X1 = (1 - 2 me)/5 = (1 - 2 × 2)/5 = -3/5 

Y1 = x1 / 4 = (-3/5) / 4 = -3/20 

5- Geben Sie in ähnlicher Weise fort, um die zweite Näherung der Lösung des Gleichungssystems zu erhalten:

X2 = (1 - 2 y1)/5 = (1 - 2x (-3/20))/5 = 13/50 

Y2 = x2/4 = (13/50)/4 = 13/200

6- dritte Iteration:

X3 = (1 - 2 y2)/5 = (1 - 2 (13/200))/5 = 87/500

Y3 = x3/4 = (87/500)/4 = 87/2000

7- vierte Iteration als endgültige Iteration dieses veranschaulichen Falls:

X4 = (1 - 2 y3)/5 = (1 - 2 (87/2000))/5 = 913/5000

Y4 = x4/4 = (913/5000)/4 = 913/20000

Diese Werte stimmen recht gut mit der Lösung überein, die durch andere Auflösungsmethoden gefunden wurde. Der Leser kann es mit Hilfe eines mathematischen Online -Programms schnell überprüfen.

Methodenanalyse

Wie zu sehen ist, müssen bei der Gauß-Seidel-Methode die ungefähren Werte für die vorherige Variable in demselben Schritt in der folgenden Variablen ersetzt werden. Dies unterscheidet es von anderen iterativen Methoden wie Jacobi, bei denen jeder Schritt die Ansätze für die vorherige Stufe erfordert. 

Die Methode von Gauß-Seidel ist kein paralleles Verfahren, während Gauß-Jordanien es ist. Dies ist auch der Grund, warum Gauß-Seidel-Methode eine schnellere konvergenzfreie Stufenmethode hat, als die Methode von Jordanien.

Was den diagonal dominanten Matrixzustand betrifft, ist dies nicht immer erfüllt. In den meisten Fällen reicht es jedoch aus, die Reihen des ursprünglichen Systems auszutauschen, um den Zustand zu erfüllen. Darüber hinaus konvergiert die Methode fast immer, auch wenn die diagonale Dominanzbedingung nicht erfüllt ist.

Das vorherige Ergebnis, das durch vier Iterationen der Gauß-Seidel-Methode erhalten wurde, kann auf dezimale Weise geschrieben werden:

Kann Ihnen dienen: Wie viele Symmetrieachsen hat einen Kreis??

X4 = 0,1826

Y4 = 0,04565

Die genaue Lösung für das aufgewachsene Gleichungssystem ist:

X = 2/11 = 0,1818

Y = 1/22 = 0,04545.

Also wird also mit 4 Iterationen ein Ergebnis mit Tausendstel Präzision (0,001) erzielt.

Abbildung 1 zeigt, wie aufeinanderfolgende Iterationen schnell zu der genauen Lösung konvergieren.

Anwendungen

Die Gauß-Seidel-Methode ist nicht nur auf 2 × 2 Lineargleichungssystem begrenzt. Das obige Verfahren kann verallgemeinert werden, um ein lineares System von zu beheben N Gleichungen mit N Unbekannte, die matrixly wie folgt dargestellt werden:

ZU X = B

Wo ZU Es ist eine Matrix n x n, während X Es sind die Vektor -N -Komponenten der zu berechnenden Variablen; Und B Es ist ein Vektor, der die Werte unabhängiger Begriffe enthält.

Um die Abfolge der Iterationen zu verallgemeinern, die im veranschaulichenden Fall auf ein n x n -System angewendet werden, die die Variable berechnen möchten Xi, Die folgende Formel gilt:

In dieser Gleichung:

- k Es ist der Index für den in der Iteration erhaltenen Wert k.

-K+1 Gibt den neuen Wert im folgenden an.

Die endgültige Anzahl von Iterationen wird bestimmt, wenn der in der Iteration erhaltene Wert erhalten wird K+1 unterscheidet sich von der erhaltenen unmittelbar zuvor in einer Menge ε, die genau die gewünschte Präzision ist.

Beispiele für die Gauß-Seidel-Methode

- Beispiel 1

Schreiben Sie einen allgemeinen Algorithmus, mit dem Sie den ungefähren Lösungsvektor berechnen können X eines linearen Systems von NXN -Gleichungen, angesichts der Koeffizientenmatrix ZU, Der Vektor unabhängiger Begriffe B, Die Anzahl der Iterationen (ichter) und der anfängliche oder „Samen“ des Vektors X.

Lösung

Der Algorithmus besteht aus zwei "für" Zyklen, eine für die Anzahl der Iterationen und die andere für die Anzahl der Variablen. Es wäre wie folgt:

Für k ∊ [1 ... iter]

Denn ich ∊ [1… n]

X [i]: = (1/a [i, i])*(b [i] - ∑_{J = 1}^N(A [i, j]*x [j]) + a [i, i]*x [i])

Kann Ihnen dienen: Dezimalnotation

- Beispiel 2

Überprüfen Sie den Betrieb des vorherigen Algorithmus, indem Sie sich bei der mathematischen Software bewerben Smath Studio kostenlos und kostenlos, für Windows und Android verfügbar. Nehmen Sie als Beispiel den Fall der 2 × 2-Matrix, die uns dazu veranlasste, die Gauß-Seidel-Methode zu veranschaulichen.

Lösung

Figur 2. System von Gleichungen von Beispiel 2 x 2 mithilfe von Software Smath Studio. Quelle: f. Zapata.

- Beispiel 3

Wenden Sie den Gauß-Seidel-Algorithmus für das folgende 3 × 3-Gleichungssystem an, das zuvor so geordnet wurde, dass die diagonalen Koeffizienten dominant sind (d. der gleichen Reihe):

9 x1 + 2 x2 - x3 = -2

7 x1 + 8 x2 + 5 x3 = 3

3 x1 + 4 x2 - 10 x3 = 6

Verwenden Sie den Nullvektor als Samen und betrachten Sie fünf Iterationen. Kommentar zum Ergebnis.

Lösung

Figur 3. Lösung des Gleichungssystems des aufgelösten Beispiels 3 unter Verwendung von SMATH Studio. Quelle: f. Zapata.

Für dasselbe System mit 10 Iterationen anstelle von 5 werden die folgenden Ergebnisse erzielt: x1 = -0.485; X2 = 1.0123; X3 = -0.3406

Dies zeigt an, dass es mit fünf Iterationen ausreicht, um drei Präzisionsdezimalstellen zu erhalten, und dass die Methode schnell an die Lösung vermittelt wird.

- Beispiel 4

Finden Sie mittels des angegebenen Gauss-Seidel-Algorithmus die Lösung des nachstehend auftretenden 4 × 4-Gleichungssystems:

10 x1 - x2 + 2 x3 + 0 x4 = 6

-1 x1 + 11 x2 - 1 x3 + 3 x4 = 25

2 x1 - 1 x2 + 10 x3 - 1 x4 = -11

0 x1 + 3 x2 - 1 x3 + 8 x4 = 15

Verwenden Sie diesen Samen, um die Methode zu starten:

x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 und x4 = 0

Betrachten Sie 10 Iterationen und schätzen Sie den Fehler des Ergebnisses im Vergleich zur Iterationsnummer 11 ab.

Lösung

Figur 4. Lösung des Gleichungssystems des aufgelösten Beispiels 4 unter Verwendung von SMATH Studio. Quelle: f. Zapata.

Im Vergleich zur folgenden Iteration (Nummer 11) ist das Ergebnis identisch. Die größten Unterschiede zwischen den beiden Iterationen sind in der Größenordnung von 2 × 10^-8, Das bedeutet, dass die gezeigte Lösung eine Genauigkeit von mindestens sieben Dezimalstellen hat.

Verweise

1. Iterative Lösungsmethoden. Gauß-Seidel. Erholt von: cimat.mx
2. Numerische Methoden. Gauß-Seidel. Erholt von: Test.Cua.UAM.mx
3. Numerisch: Gauß-Seidel-Methode. Erholt von: Lernen Sie in Linea.Du.Edu.CO
4. Wikipedia. Gauß-Seidel-Methode. Abgerufen von: in. Wikipedia.com
5. Wikipedia. Gauß-Seidel-Methode. Geborgen von: ist.Wikipedia.com